2009年高考辽宁卷解析几何综合题的解题研究.doc

S1（5090908）中数高中第10期发稿杜安利2009年高考辽宁卷解析几何综合题的解题研究徐 明（江苏省东海县教师进修学校） 解题教学是数学教学的重要组成部分,正如波利亚所说:“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”因为通过解题教学,不仅可以强化学生对数学基础知识的理解和基本技能的掌握,还可以发展学生的思维能力,提高学生的数学素质.但数学教师如何才能让解题教学不落入“题海”之中?关键是教师要对选择的每一个数学问题作全面的解题研究,使每一道例题都能真正体现它的思维训练价值,使学生能举一反三、触类旁通.本文针对2009年高考数学辽宁卷中的解析几何综合题,谈点自己的解题体会,与同仁探讨.一、题案2009年高考数学辽宁卷文科第22题（理科第20题)的题目及原解答如下。已知椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线 EF的斜率为定值.并求出这个定值.解：(1)由题意c=1,可设椭圆方程为=1。因为点A在椭圆上,所以=1,解得b2=3,b2=-(舍去).所以椭圆C的方程为=1.(2)设AE的方程为y=k(x-1)+,代入=1，得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k2)-12=0,设E(xE,yE), F(xF,yF)。因为点A(1,)在椭圆上,所以xE=,yE=kxE+-k。又因为直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式以-k代k,可得xF=,yF= -kxF+k,所以直线EF的斜率kEF=,即直线EF的斜率为定值.二、解题研究1. 本质寻根在解题教学中,教师要善于引导学生分析问题,破译问题的条件和结论的内涵与外延,寻求条件与结论的关联与差异，进而认清问题的本质,建构合理的解题思路.首先,我们分析问题的结论.“证明直线 EF的斜率为定值.并求出这个定值”其推理论证过程应该是一个运算过程,即运用解析法求得直线EF的斜率,说明其斜率是一个常数.其次,我们分析问题的条件.“ E、F是椭圆C上的两个动点”这是直线EF的动因,但动中有静,“直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数”是这一动态中的平衡(定性). 最后,我们寻求条件与结论的关联.由动到静,直线EF的斜率必与定点A的坐标有关,而直线EF的斜率计算过程必然以直线AE的斜率为介质,联结两个定量(椭圆与定点A).因此我们可以猜测,本题案的本质属性是:A是椭圆上的一个定点,对于椭圆上的任意两个动点E、F,若直线AE与AF的斜率互为相反数,则直线EF的斜率为定值.命题1:已知P(x0,y0)(y00)是椭圆=1上的定点,过P作斜率互为相反数的两条直线,分别交椭圆于A、B两点,则直线AB的斜率为定值.证明:不妨设PA的斜率为k,则PB的斜率为k(k0),因此直线PA的方程为y-y0=k(xx0), 直线PB 的方程为y-y0=-k(xx0).由,得(b2+a2k2)x2+2k(y0-kx0)a2x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0. (*)设A(xA,yA)，B (xB,yB)。因为点P(x0,y0)在椭圆上,所以x0是方程(*)的一个根,所以x0xA=,即xA=,同理xB=.所以直线AB的斜率kAB=.又因为,所以a2b2-a2y02=b2x02,故kAB=. 2. 背景溯源华罗庚先生指出: “取法乎上得其中,取法乎中得其下.”在解题教学中,教师不仅要能分析问题的结构,揭示问题的本质,还需要有高屋建瓴的认知能力.对于一道数学问题,不一定需要每一位学生都去弄清问题的深层次的数学背景,但身为教师却必须习惯于把握问题的源与流. 唯其如此,教师才能游刃有余地驾驭课堂,应对课堂上那些善于钻“牛角尖”的学生的奇思妙想.实际上,本题可以认为是基于如下性质编写而成的.命题2:已知P是椭圆=1上任意一点(异于长轴端点),PA、PB和PC分别是椭圆的两条割线与切线.若割线PA、PB的斜率互为相反数,则切线PC与割线AB的斜率也互为相反数. 证明:对于方程=1,求关于x的导数得+y=0,所以y = -.由导数的几何意义,知点P(x0,y0)(y00)处的切线斜率kPC=-,由式知kAB=,故kAB=-kPC.CTPAB1234图1进一步我们还可以看到,椭圆的这一性质又是由圆的平面几何性质类比而来的。圆的几何性质:如图1,已知P是圆上任意一点,PA、PB与PC分别是该圆的两条割线与切线,若1=2,则3=4. 证明:由三角形外角性质知1=A+3,2=BPC+4,由圆的切线性质知A=BPC (弦切角等于弦所对圆周角) ,因为1=2,所以3=4.3. 解法探究数学是思维的体操,数学思维需要通过解题训练达成,但思维品质并不以解题多寡论.如果说认真审题,全面、深刻理解问题的条件与结论的实质以及它们的关联,是培养学生思维深刻性的一个重要途径,那么从多方面考虑、多角度观察,把握问题的整体性质,抓住问题的基本特征与特殊因素,放开思路探索问题解法的多样性,就是培养学生思维广阔性的重要手段.本题中,条件与结论的核心要素是“斜率”,而圆锥曲线上两点间的斜率可以通过“点差法”处理.自然联想到通过“设而不求”给出命题1的另解. 证明:设A(x1,y1)，B (x2,y2),则,。两式相减,得.所以kAB=,同理kPA=,kPB=.因为kPA+kPB=0,所以,即. 两式相减,得x0(y1+y2)+y0(x1+x2)=0,即, 代入式,得kAB=.4. 变式反思解题教学还应使学生养成一种反思的习惯,反思可以使经验升华和理性化,产生认识上的飞跃.教师针对数学问题不仅要注意一题多解,还要注意引导学生从“变换”的思想角度去联想、拓展、纵向挖掘、横向延伸,争取做到一题多变、多题一解.这对强化数学思想方法,提高数学解题的能力都十分有益.(1)逆向思考.由命题1知,过椭圆上的一个定点P作斜率互为相反数的两条割线PA、PB,则直线AB的斜率为定值,也就是说随着割线PA、PB斜率的不同取值,可以得到一族平行直线AB.反过来,如果作椭圆的一族平行直线AB,那么是否在椭圆上存在定点P,使直线PA、PB的斜率之和为零呢?命题3:已知动直线l的斜率为定值k,若直线l与椭圆C:=1交于两个动点A、B,则椭圆C上存在定点P,使得直线PA、PB的斜率之和为零.证明:设椭圆C上存在点P(x0,y0)(y00),使得直线PA、PB的斜率互为相反数,则kPA= -kPB.由式同样可得k=,与。联立方程组解得或均为定值.(2)类比联想.通过类比,我们还可以考虑命题1在双曲线、抛物线中是否有类似结论.命题4: 已知P(x0,y0)(y00)是双曲线=1上的定点,过P作斜率互为相反数的两条直线,分别交双曲线于A、B两点,则直线AB的斜率为定值-.命题5: 已知P(x0,y0)(y00)是抛物线y2=2px(p0)上的定点,过P作斜率互为相反数的两条直线,分别交抛物线于A、B两点,则直线AB的斜率为定值-.证明同样仿照命题1,这里从略.(3)拓展引申.命题1给出过定点的两条割线(斜率互为相反数)的性质,进一步拓展,又可以考虑任意两条割线(斜率互为相反数)是否有相似的性质.xyABCDO3214图2命题6:已知AB、CD是椭圆=1的两条割线.若直线AB、CD的斜率互为相反数,则直线AC、BD的斜率也互为相反数. 证明:如图2,由直线AB和直线CD的斜率互为相反数,可设直线AB的方程为kx-y+m=0，直线CD的方程为kx+y+n=0.则过直线AB和直线CD与椭圆=1的四个交点A、B、C、D的曲线系方程为(kx-y+m)(kx+y+n)+l(b2x2+a2y2-a2b2)=0,即 (lb2+k2)x2+(la2-1)y2+(kn+km)x+(m-n)y+mn-la2b2=0 . (*)令lb2+k2=la2-1,得l=,此时lb2+k2=la2-1=0,即存在l=,使(*)方程为圆的方程,所以A、B、C、D四点共圆.由圆的几何性质知ABD=ACD。因为1=ABD+3,2=ACD+4,而由直线AB、CD的斜率互为相反数,知1=2,所以3=4,故直线AC、BD的斜率互为相反数,由此可知:当椭圆