2013高三数学一轮精品复习学案：函数及其表示.doc

高三数学一轮精品复习学案：函数及其表示【高考目标定位】一、考纲点击1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。3了解简单的分段函数，并能简单应用。二、热点、难点提示1本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图象、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。2以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的表达式、对应法则，仍是明年高考考查的重要内容。【考纲知识梳理】一、函数与映射的概念函数映射两集合设是两个非空数集设是两个非空集合对应关系如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。名称称为从集合到集合的一个函数称为从集合到集合的一个映射记法，对应是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。二、函数的其他有关概念（1）函数的定义域、值域在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素定义域、值域和对应关系（3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。【热点、难点精析】一、求函数的定义域1、确定函数的定义域的原则（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。2、确定函数定义域的依据（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；（5）若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)定义域由不等式ag(x)b解出;(6)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域。3、例题解析考点1 函数的概念设f:xx2是集合A到集合B的映射,如果B=1,2,则AB等于( )A. B.1 C.或2 D.或1下列是映射的是（ ）abceabcefabcefgabcefabefg 图1 图2 图3 图4 图5(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5已知,下列对应关系能构成从A到B的映射的是( ) A . B. C . D. xy0(C)xy0(B)xy0(A)xy0(D)判断下列图象能表示函数图象的是（ ）设函数，则 。，那么f(f(2)= ；如果，那么实数= 。已知f(x)=若f(x)=3,则x的值是( )A.1 B.1或 C.1, D. 考点2 同一个函数试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。考点3 求定义域一 具体函数函数的定义域是_ 函数的定义域是_ 二 抽象函数已知函数的定义域是，求函数的定义域。已知函数的定义域是，求函数的定义域。考点4 求函数的解析式1、函数的解析式的求法（1）待定系数法。若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法。（2）换元法。已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围.（3）解方程组法。已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x)、f()等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)2、例题解析（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求；解：（1）配凑法：，（或）；（2）换元法：令（），则，；（3）待定系数法：设，则，；（4）方程组法： 把中的换成，得 ，得。考点5 求函数值域求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为注：上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。考点6 函数图象及其应用(2010新课标全国)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)(2010天津)若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）考点7 分段函数（绝对值函数）及实际应用题相关链接（1）解决分段函数的基本原则是分段进行（分段函数分段处理）；（2）对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式；（3）对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值。一、求值例1（2005浙江理3）设f(x)，则ff()( )(A) (B) (C) (D) 解析：因|1，故f()=|-1|-2=-，又因|-|1，故f(-)=，所以选（B）。二、作图象例2（2005湖北理文4 ）函数的图象大致是（ ）解析：函数的定义域为（0，+），则，分段画出，故选（D）。三、解方程例3（2005山东理6文7）（7）函数，若,则的所有可能值为（ ）（A）（B）-（C）1，-（D）1，解析：因为10，则=1。当-10时，原条件化为=1，=+2，（kZ），因为-11，则x0的取值范围是（ ）（A）（1，1） （B）（1，）（C）（，2）（0，） （D）（，1）（1，）解析：1）当x00时，f(x0)=1，得x0，所以x0；2）当时，则，得，所以。综上x0或，故选（D）。例5（2004浙江理文13） 已知则不等式5的解集是 . 解析：1）当即时，原不等式化为，得，所以；2）当即时，原不等式化为恒成立，所以。综上得，所以不等式的解集是。五、求解析式例6（2005广东9）在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x)和y=g(x)的图象象关于直线y=x对称，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平