4.10 正切函数的图象和性质(二).doc

高中数学教案 第三章 三角函数（第30课时） 课 题：4.10正切函数的图象和性质（二）教学目标：1.掌握正切函数的性质；2.掌握性质的简单应用；3.会解决一些实际问题.教学重点：正切函数的性质的应用教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT正切函数，且的图象，称“正切曲线”余切函数ycotx，x(k，k+)，kZ的图象（余切曲线）正切函数的性质： 1定义域：，2值域：R 3当时，当时4周期性：5奇偶性：奇函数。6单调性：在开区间内，函数单调递增。余切函数ycotx，x(k，k+)，kZ的性质：1定义域：2值域：R，3当时，当时4周期： 5奇偶性：奇函数6单调性：在区间上函数单调递减。二、讲解范例：例1 用图象解不等式解：利用图象知，所求解为亦可利用单位圆求解。例2求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。解：由得，所求定义域为 值域为R，周期，是非奇非偶函数。在区间上是增函数。例3作出函数且的简图。解：例4求下列函数的定义域1、 2、解：1、2例5 已知函数y=sin2x+cos2x-2. (1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象. (2)求这个函数的周期和单调区间. (3)求函数图象的对称轴方程. (4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的. 解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2(1)列表 x02-20-2-4-2其图象如图示 (2)=. 由-+2k2x+2k，知函数的单调增区间为 -+k,+k,kZ. 由+2k2x+2k，知函数的单调减区间为 +k,+k,kZ. (3)由2x+=+k得x=+. 函数图象的对称轴方程为x=+,(kZ). (4)把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y2=sin(x+)的图象； 再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y3=sin (2x+)的图象； 再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin (2x+)的图象； 最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin (2x+)-2的图象. 评注：(1)求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式. (2)对于函数y=Asin(x+)的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值. (3)第(4)问的变换方法不惟一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序！例6 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+B. (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20() (2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(x+)+B的半个周期的图象. =14-6=. 又由图可得 y=10sin(x+)+20. 将x=6，y=10代入上式得：sin(+)=-1 故所求的解析式为 y=10sin(x+)+20，x6,14. 评注：本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，匠心独具. 此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A，和B，它们的计算方法为： 与周期有关，可通过T=求得，而关键一步在于如何确定？通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于的简单三角方程，但到底取何值值得考虑.若得方程sin=，那么是取，还是取呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上，若在上升的曲线上，就取，否则就取，而不能同时取两个值.例7 a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解. 分析：所给方程的特征较明显，即是关于sinx与cosx的奇式方程，通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解. 解法一：原方程可化为： sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a(sin2x+cos2x) 即(1-a)sin2x+2sinxcosx-(2+a)cos2x=0. (1)当a1时，cosx0, 方程两边同除以cos2x得(1-a)tan 2x+2tanx-(2+a)=0. tanxR.0.即4+4(1-a)(2+a)0. 即a2+a-30.又a1, a,1(1, (2)当a=1时，原方程化为2sinxcosx-3cos2x=0, 此方程有实根. 综合(1)、(2)可得a,时，原方程有实数根. 解法二：(用函数观点) 当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x值域中的数值时，原方程有实根.因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域. y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x =1+sin2x-3cos2x =1+sin2x-(1+cos2x) =sin2x-cos2x-=sin(2x-)- . 其中 y. 即a时，原方程有实数根. 评注：解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点.通过函数思想来解方程.函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性.EFEF例8 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在 上.设矩形AGHM的面积为S，HCF=，请将S表示为的函数，并指出当点H在 的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ 分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解. 解：延长GH交CD于N，则NH=40 sin,CN=40 cos. HM=ND=50-40 cos,AM=50-40 sin. 故S=(50-40 cos)(50-40 sin) =10025-20(sin+cos)+16sincos(0).令t=sin+cos=sin(+). 则sincos=且t1, S=10025-20t+8(t2-1)=800(t-)2+450. 又t1, .当t=1时，Smax=500. 此时sin(+)=1sin (+)=. + +=或. 即=0或=. EF答：当点H在 的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大值是500 m2.三、课堂练习：1利用单位圆中的三角函数线：（1）证明当0x时tanxx，（2）解方程tanxx，（x）（1）证明：如图xAP，角x的正切线为AT即tanxA，由扇形AOPA即xtanx（0x）又由于yx与ytanx为奇函数，当0x时，xtanx（2）解：由（1）结论，得当x0时xtanx又x0是方程xtanx的解.因此方程xtanx在（，）内有惟一解即x0.2已知f(x)=tanx，对于x1，x2（0，）且x1x2.试证证明：0x1 0x2x1x2且x1x2 cos（x1x2）1即1cos（x1x2）2cosx1cosx2 ， 说明：通过本题的证明可知函数ytanx的图象，当x（0，）时是下凸的，同样可以证明函数ytanx的图象当x（，0）时是上凸的.3求函数ytan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间，内的图象.解：（1）要使函数ytan2x有意义，必须且只须2x，Z即x，Z函数ytan2x的定义域为xR，x，Z（2）设2x，由x，Z知，Zytan的值域为（，）即ytan2x的值域为（，）（3）由tan2（x）tan（2x）tan2xytan2x的周期为（4）函数ytan2x在区间，的图象如图四、小结： 讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如ytan(x)，x (kZ)的周期T；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的.五、课后作业：1.函数y的定义域是( )A.x0x） B.x2kx2k，kZC.xkxk，kZ D.xkxk，kZ解析：由logtanx0，得0tanx1根据ytanx在x(，)上的图象可知0x结合周期性，可知原函数的定义域为：xkxk，kZ答案：C2.求函数y的定义域.解：cotxsinxsinxcosx函数的定义域由确定解之得2k-x2k，且xk，(kZ)从而原函数的定义域为：2k，2k(2k，2k (kZ)3.如果、(，)且tancot，那么必有( )A. B.C. D.解：tancottantan(、(，)，(，)又ytanx在(，)上是增函数 即答案：C4.函数ylg(tanx)的增函数区间是( )A.(k，k)(kZ) B.(k，k)(kZ)C.(2k，2k)(kZ) D.(k，k)(kZ)解：函数ylg(tanx)为复合函数，要求其增函数区间则要满足tanx0，且ytanx是增函数的区间解之得kxk (kZ)原函数的增函数区间为：(k，k)(kZ)答案：B5.试讨论函数ylogatanx的单调性.解：ylogatanx可视为ylogau与utanx复合而成的，复合的条件为tanx0，即x(k，k)(kZ)当a1时，ylogau在u(0，)上单调递增；当x(k，k)时，uta