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概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 习题及题解习题及题解 沈志军沈志军盛子宁盛子宁 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 1 1 1 1 设事件 设事件BA 及及BA 的概率分别为的概率分别为qp 及及r 试求 试求 BAPBAPABP及及 ABP 2 2 2 2 若 若CBA 相互独立 试证明 相互独立 试证明 CBA 亦必相互独立 亦必相互独立 3 3 3 3 试验 试验E为掷为掷 2 2 2 2 颗骰子观察出现的点数 每种结果以颗骰子观察出现的点数 每种结果以 21 xx记之 其中记之 其中 21 x x分别表示分别表示 第一颗 第二颗骰子的点数 设事件第一颗 第二颗骰子的点数 设事件 10 2121 xxxxA 事件事件 2121 xxxxB 试求 试求 ABP和和 BAP 4 4 4 4 某人有某人有 5 5 5 5 把钥匙把钥匙 但忘了开房门的是哪一把但忘了开房门的是哪一把 只得逐把试开只得逐把试开 问问 1 1 1 1 恰好第三次恰好第三次 打开房门锁的概率 打开房门锁的概率 2 2 2 2 三次内打开的概率 三次内打开的概率 3 3 3 3 如果 如果 5 5 5 5 把里有把里有 2 2 2 2 把房门钥匙 则在三把房门钥匙 则在三 次内打开的概率又是多少 次内打开的概率又是多少 5 5 5 5 设有甲设有甲 乙两袋乙两袋 甲袋中装有甲袋中装有n个白球个白球 m个红球个红球 乙袋中装有乙袋中装有N个白球个白球 M个个 红球 今从甲袋中任意取一个放入乙袋中 再从乙袋中任意取一个 问取到白球的概率是红球 今从甲袋中任意取一个放入乙袋中 再从乙袋中任意取一个 问取到白球的概率是 多少 多少 6 6 6 6 在时间间隔在时间间隔 5 5 5 5 分钟内的任何时刻分钟内的任何时刻 两信号等可能地进入同一收音机两信号等可能地进入同一收音机 如果两信号进如果两信号进 入收音机的间隔小于入收音机的间隔小于 30303030 秒 则收音机受到干扰 试求收音机不受干扰的概率 秒 则收音机受到干扰 试求收音机不受干扰的概率 7 7 7 7 甲 乙两船欲停靠同一码头 它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的 甲 乙两船欲停靠同一码头 它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的 各自在码头上停留的时间依次是各自在码头上停留的时间依次是 1 1 1 1 小时和小时和 2 2 2 2 小时 试求一船要等待空出码头的概率 小时 试求一船要等待空出码头的概率 8 8 8 8 某仓库同时装有甲某仓库同时装有甲 乙两种警报系统乙两种警报系统 每个系统单独使用的有效率分别为每个系统单独使用的有效率分别为 0 92 0 93 0 92 0 93 0 92 0 93 0 92 0 93 在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为 0 150 150 150 15 试求下列事件的概率试求下列事件的概率 1 1 1 1 仓库发生 仓库发生 意外时能及时发出警报意外时能及时发出警报 2 2 2 2 乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵 乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵 9 9 9 9 设 设BA 为两随机变量 试求解下列问题 为两随机变量 试求解下列问题 1 1 1 1 已知已知6 1 3 1 BAPBPAP 求 求 BAP 2 2 2 2 已知已知2 1 3 1 4 1 BAPABPAP 求 求 BAP 10101010 先把长为先把长为l的木棍折断为两部分的木棍折断为两部分 再把较大的那一部分折断成两部分再把较大的那一部分折断成两部分 试求所得三试求所得三 部分能成三角形的概率 部分能成三角形的概率 11111111 甲甲 乙乙 丙三人向同一飞机射击丙三人向同一飞机射击 假设他们的命中率都是假设他们的命中率都是4 0 又若只有一人命中又若只有一人命中 时时 飞机坠毁的概率为飞机坠毁的概率为2 0 若恰有二人命中时若恰有二人命中时 飞机坠毁的概率为飞机坠毁的概率为6 0 若三人同时命中若三人同时命中 则飞机必然坠毁 试求则飞机必然坠毁 试求 1 1 1 1 飞机坠毁的概率 飞机坠毁的概率 2 2 2 2 若飞机已经坠毁 则坠毁的飞机是因 若飞机已经坠毁 则坠毁的飞机是因 为恰有二人命中的概率 为恰有二人命中的概率 12121212 今有 门高射炮独立地向一飞机射击 每门炮能击中飞机的概率为 今有 门高射炮独立地向一飞机射击 每门炮能击中飞机的概率为6 0 同 同 时各射一弹 试求飞机被击中的概率时各射一弹 试求飞机被击中的概率 欲以 欲以99 以上的把握击中飞机 试问至少要 以上的把握击中飞机 试问至少要 布置多少门炮同时射击 布置多少门炮同时射击 13131313 某工厂有职工某工厂有职工4745名名 每名职工生日在一年中某一天的概率为每名职工生日在一年中某一天的概率为365 1 试求下列试求下列 事件的概率事件的概率 恰有 名职工生日在同一天 恰有 名职工生日在同一天 A 至少有 名职工生日在同一天 至少有 名职工生日在同一天 B 14141414 假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为p 1 且各发动机故障与否是且各发动机故障与否是 相互独立的相互独立的 如果至少有如果至少有 50的发动机正常的发动机正常 飞机可成功飞行飞机可成功飞行 问对于多大的问对于多大的p 个发 个发 动机比 个发动机更为保险 动机比 个发动机更为保险 15151515 设事件 设事件CBA 满足 满足 0 8 1 4 1 BCPABPACPCPBPAP 试求试求CBA 三事件至少有一发生的概率 三事件至少有一发生的概率 16161616 某地区气象资料表明 邻近的甲 乙两城市中的甲市全年雨天比例为 某地区气象资料表明 邻近的甲 乙两城市中的甲市全年雨天比例为 12 乙市 乙市 全年雨天比例为 甲 乙两市至少的一城市为雨天比例为全年雨天比例为 甲 乙两市至少的一城市为雨天比例为 8 16 试求下列事件的概 试求下列事件的概 率率 甲甲 乙两市同为雨天乙两市同为雨天 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天 在乙市无在乙市无 雨的条件下甲市亦无雨 雨的条件下甲市亦无雨 17171717 某地以英文字母及阿拉伯数字组成 位牌照某地以英文字母及阿拉伯数字组成 位牌照 试求下列事件的概率试求下列事件的概率 牌照的牌照的 前 位是英文字母 后 位是阿拉伯数字 前 位是英文字母 后 位是阿拉伯数字 A 牌照中有 位是英文字母 另外 牌照中有 位是英文字母 另外 位是阿拉伯数字 位是阿拉伯数字 B 18181818 甲甲 乙两个乒乓球运动员进行单打比赛乙两个乒乓球运动员进行单打比赛 如果每赛一局甲胜的概率为如果每赛一局甲胜的概率为6 0 乙胜的乙胜的 概率为概率为4 0 比赛既可采用三局两胜制比赛既可采用三局两胜制 也可以采用五局三胜制也可以采用五局三胜制 问采用哪种赛制对甲更有问采用哪种赛制对甲更有 利 利 19191919 平面上画有平行线若干平面上画有平行线若干 其间距交替地等于其间距交替地等于5 1厘米及厘米及 8 8 8 8 厘米厘米 今任意地向平面投今任意地向平面投 掷一半径为掷一半径为5 2厘米的圆片 试求该圆与任一平行线不相交的概率 厘米的圆片 试求该圆与任一平行线不相交的概率 20202020 甲甲 乙两人相约于一小时内在某地会面乙两人相约于一小时内在某地会面 商定先到者等候商定先到者等候 10101010 分钟分钟 过时即可离去过时即可离去 试求他们能会到面的概率 试求他们能会到面的概率 21212121 平面上画有距离为平面上画有距离为 0 aa的平行线若干条的平行线若干条 今向此平面任意投一长为今向此平面任意投一长为 all 的的 小针 试求小针与平行线之一相交的概率 小针 试求小针与平行线之一相交的概率 22222222 若 若BA 相互独立 则 相互独立 则 1 1 1 1 BA 独立独立 2 2 2 2 BA 独立独立 3 3 3 3 BA 独立 独立 23232323 当掷五枚硬币时 已知至少出现两个正面 求正面数刚好是三个的条件概率 当掷五枚硬币时 已知至少出现两个正面 求正面数刚好是三个的条件概率 24242424 掷三颗骰子 若已知没有两个相同的点数 试求至少有一个一点的概率 掷三颗骰子 若已知没有两个相同的点数 试求至少有一个一点的概率 25252525 设事件 设事件BA 的概率分别为的概率分别为 3 1 和和 2 1 试求下列三种情况下 试求下列三种情况下 BAP的值 的值 1 1 1 1 A与与B互斥互斥 2 2 2 2 BA 3 3 3 3 8 1 ABP 26262626 将 将 3 3 3 3 个球随机地放入个球随机地放入 4 4 4 4 个杯子中去 求杯子中球数的最大值分别为个杯子中去 求杯子中球数的最大值分别为 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 的概的概 率 率 27272727 袋中有 袋中有 12121212 个球 其中个球 其中 8 8 8 8 个白球 个白球 4 4 4 4 个黑球 现从中任取两个 求个黑球 现从中任取两个 求 1 1 1 1 两个均为 两个均为 白球的概率 白球的概率 2 2 2 2 两个球中一个是白的 另一个是黑球的概率 两个球中一个是白的 另一个是黑球的概率 3 3 3 3 至少有一个黑球的 至少有一个黑球的 概率 概率 28282828 将 将 10101010 本书随意放在书架上 求 其中指定的本书随意放在书架上 求 其中指定的 5 5 5 5 本书放在一起的概率 本书放在一起的概率 29292929 甲 乙二班共有 甲 乙二班共有 70707070 名同学 其中女同学名同学 其中女同学 40404040 名 设甲班有名 设甲班有 30303030 名同学 而女生名同学 而女生 1 1 1 15 5 5 5 名 求 在碰到甲班同学时 正好碰到一名女同学的概率 名 求 在碰到甲班同学时 正好碰到一名女同学的概率 30303030 设一仓库中有 设一仓库中有 10101010 箱同种规格的产品 其中由甲 乙 丙三厂生产的分别有箱同种规格的产品 其中由甲 乙 丙三厂生产的分别有 5 5 5 5 箱箱 3 3 3 3 箱箱 2 2 2 2 箱箱 三厂产品的次品率依次为三厂产品的次品率依次为 0 1 0 2 0 30 1 0 2 0 30 1 0 2 0 30 1 0 2 0 3 从这从这 10101010 箱中任取一箱箱中任取一箱 再从这箱中任取再从这箱中任取 一件产品 求 取得正品的概率 一件产品 求 取得正品的概率 31313131 某工厂有甲 乙 丙三个车间生产同一型号的螺钉 各车间的产量分别占该厂螺 某工厂有甲 乙 丙三个车间生产同一型号的螺钉 各车间的产量分别占该厂螺 钉产品的钉产品的 25 25 25 25 35 35 35 35 40 40 40 40 各车间成品中次品分别为各车间产量的 各车间成品中次品分别为各车间产量的 5 5 5 5 4 4 4 4 2 2 2 2 今 今 从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品 问它是甲 乙 丙三个车间生产的概率从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品 问它是甲 乙 丙三个车间生产的概率 是多少 是多少 32323232 有产品有产品 100100100100 件件 其中其中 10101010 件次品件次品 90909090 件正品件正品 现从中任取现从中任取 3 3 3 3 件件 求求 其中至少有一其中至少有一 件次品的概率 件次品的概率 33333333 100100100100 人参加数理化考试 其结果是 数学人参加数理化考试 其结果是 数学 10101010 人不及格 物理人不及格 物理 9 9 9 9 人不及格 化学人不及格 化学 8 8 8 8 人不及格人不及格 数学数学 物理两科都不及格的有物理两科都不及格的有 5 5 5 5 人人 数学数学 化学两科都不及格的有化学两科都不及格的有 4 4 4 4 人人 物理物理 化学两科都不及格的有化学两科都不及格的有 4 4 4 4 人 三科都不及格的有人 三科都不及格的有 2 2 2 2 人 问全部及格的有多少人 人 问全部及格的有多少人 34343434 两台机器加工同样的零件 第一台机器的产品次品率是 两台机器加工同样的零件 第一台机器的产品次品率是 0 050 050 050 05 第二台机器的产品 第二台机器的产品 次品率是次品率是 0 020 020 020 02 两台机器加工出来的零件放在一起 并且已知第一台机器加工的零件数量 两台机器加工出来的零件放在一起 并且已知第一台机器加工的零件数量 是第二台机器加工出来的零件数量的两倍 从这些零件中任取一件 求 此零件是合格品是第二台机器加工出来的零件数量的两倍 从这些零件中任取一件 求 此零件是合格品 的概率 如果任意取出一件 经检验是次品 求 它是由第二台机器生产的概率 的概率 如果任意取出一件 经检验是次品 求 它是由第二台机器生产的概率 35353535 有枪有枪 8 8 8 8 支支 其中其中 5 5 5 5 支经过试射校正支经过试射校正 3 3 3 3 支未经过试射校正支未经过试射校正 校正过的枪校正过的枪 击中靶的击中靶的 概率是概率是 0 80 80 80 8 未经校正的枪 击中靶的概率是 未经校正的枪 击中靶的概率是 0 30 30 30 3 今任取一支枪射击 结果击中靶 问此 今任取一支枪射击 结果击中靶 问此 枪为校正过的概率是多少 枪为校正过的概率是多少 36363636 某射手射击一发子弹命中某射手射击一发子弹命中 10101010 环的概率为环的概率为 0 70 70 70 7 命中命中 9 9 9 9 环的概率为环的概率为 0 30 30 30 3 求求 该射手该射手 射击三发子弹而得到不小于射击三发子弹而得到不小于 29292929 环成绩的概率 环成绩的概率 37373737 设设5 0 1 0 BPAPBA 试求试求 BAPABP BAP 及及 BAP 38383838 已知 已知3 0 7 0 BAPAP 求 求 ABP 39393939 某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是 某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是p 如果在比赛中他试举三 如果在比赛中他试举三 次 求 他打破世界纪录的概率 次 求 他打破世界纪录的概率 40404040 工厂生产的某种产品的一级品率是 工厂生产的某种产品的一级品率是 40 40 40 40 问需要取多少件产品 才能使其中至少 问需要取多少件产品 才能使其中至少 有一件一级品的概率不小于有一件一级品的概率不小于 95 95 95 95 41414141 假设每个人的生日在任何月份内是等可能的 已知某单位中至少有一个人的生日 假设每个人的生日在任何月份内是等可能的 已知某单位中至少有一个人的生日 在一月份的概率不小于在一月份的概率不小于 0 960 960 960 96 问该单位有多少人 问该单位有多少人 42424242 从 从 5 5 5 5 双不同尺码的鞋子中任取双不同尺码的鞋子中任取 4 4 4 4 只 问只 问 4 4 4 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是只鞋子中至少有两只配成一双的概率是 多少 多少 43434343 仪器中有三个元件仪器中有三个元件 它们损坏的概率是它们损坏的概率是 0 10 10 10 1 并且损坏与否相互独立并且损坏与否相互独立 当一个元件当一个元件 损坏时 仪器发生故障的概率是损坏时 仪器发生故障的概率是 0 250 250 250 25 当两个元件损坏时 仪器发生故障的概率是 当两个元件损坏时 仪器发生故障的概率是 0 60 60 60 6 当当 三个元件损坏时三个元件损坏时 仪器发生故障的概率是仪器发生故障的概率是 0 950 950 950 95 当三个元件都不损坏时当三个元件都不损坏时 仪器不发生故障仪器不发生故障 求 仪器发生故障的概率 求 仪器发生故障的概率 44444444 在套圈游戏中在套圈游戏中 甲甲 乙乙 丙每投一次套中的概率分别是丙每投一次套中的概率分别是 0 1 0 2 0 30 1 0 2 0 30 1 0 2 0 30 1 0 2 0 3 已知三个人中已知三个人中 某一个人投圈某一个人投圈 4 4 4 4 次而套中一次 问此投圈者是谁的可能性最大 次而套中一次 问此投圈者是谁的可能性最大 45454545 在 在 40404040 个同规格的零件中误混入个同规格的零件中误混入 8 8 8 8 个次品 必须逐个查出 求 正好查完个次品 必须逐个查出 求 正好查完 22222222 个零个零 件时 挑全了件时 挑全了 8 8 8 8 个次品的概率 个次品的概率 46464646 设事件 设事件A与与B相互独立 两事件中只有相互独立 两事件中只有A发生及只有发生及只有B发生的概率都是发生的概率都是 4 1 求 求 AP与与 BP 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1 1 1 1 一大楼装有 一大楼装有 5 5 5 5 个同类型的供水设备 调查表明在任一时刻个同类型的供水设备 调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率每个设备被使用的概率 为为1 0 问在同一时刻 问在同一时刻 1 1 1 1 恰有 恰有 2 2 2 2 个设备被使用的概率 个设备被使用的概率 2 2 2 2 至少有 至少有 3 3 3 3 个设备被使用的个设备被使用的 概率 概率 3 3 3 3 至多有 至多有 3 3 3 3 个设备被使用的概率 个设备被使用的概率 2 2 2 2 设有一批产品共 设有一批产品共 100100100100 件 其中有件 其中有 95959595 件正品 件正品 5 5 5 5 件次品 现从中随机地抽取件次品 现从中随机地抽取 10101010 件 件 试以观察抽得的次品数为随机变量 写出其分布律 并求次品数试以观察抽得的次品数为随机变量 写出其分布律 并求次品数X不超过不超过 3 3 3 3 的概率 的概率 3 3 3 3 设 设X的分布律为的分布律为 X012 p0 30 60 1 求求X的分布函数 的分布函数 4 4 4 4 设随机变量 设随机变量X的分布函数为的分布函数为 arctan XP 2 2 2 2 若要 若要1 0 xXP 则 则x应在什么范围内 应在什么范围内 6 6 6 6 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 其它0 111 2 2 xx xf 求求X的分布函数 的分布函数 7 7 7 7 设随机变量 设随机变量X的概率密度为 的概率密度为 其它0 212 10 xx xx xf求求X的分布函数 的分布函数 8 8 8 8 设连续型随机变量 设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 11 10 00 2 x xkx x xF 试求试求 1 1 1 1 系数 系数k 2 2 2 2 X的概率密度的概率密度 3 3 3 3 3 13 0 XP 9 9 9 9 设随机变量 设随机变量X的分布函数为的分布函数为 51 50 25 00 2 x x x x xF 试求试求 1 1 1 1 X的概率密度的概率密度 2 2 2 2 X落在 落在 3 3 3 3 6 6 6 6 内的概率 内的概率 10101010 随机变量 随机变量X的概率密度为的概率密度为 xkexf x 试求试求 1 1 1 1 系数 系数k 2 2 2 2 10 1000 100 100 2 x x x xf 设某仪器内装有三个这样的电子管 试求设某仪器内装有三个这样的电子管 试求 1 1 1 1 试用的最初 试用的最初 150150150150 小时内没有小时内没有 1 1 1 1 个电子管损个电子管损 坏的概率坏的概率 2 2 2 2 这段时间内只有 这段时间内只有 1 1 1 1 个电子管损坏的概率 个电子管损坏的概率 12121212 设随机变量 设随机变量X的分布律为的分布律为 X 10123 p1 121 41 61 125 12 试求试求 1 1 1 1 12 XY的分布律的分布律 2 2 2 2 2 1 XY的分布律 的分布律 13131313 设 设X的概率密度为的概率密度为 00 0 x xxe xf x 设各周的需要量是相互独立的设各周的需要量是相互独立的 求求 1 1 1 1 两周两周 2 2 2 2 三周的需要量三周的需要量 的概率密度 的概率密度 21212121 设 设X是一个随机变量 在 是一个随机变量 在 1 1 1 1 1 1 1 1 上服从均匀分布 求 上服从均匀分布 求 XY 的概率密度 的概率密度 22222222 设 设 4 5 NX求求 1 1 1 1 3 XP 2 2 2 2 使 使 cXPcXP 的 的 注 注 9999 0 4 9987 0 3 9772 0 2 8413 0 1 5 0 0 23232323 同时掷两颗骰子同时掷两颗骰子 观察它们出现的点数观察它们出现的点数 记记X为两颗骰子出现的最大点数为两颗骰子出现的最大点数 试求试求X 的分布律 的分布律 24242424 某批产品的次品率为某批产品的次品率为 1 41 41 41 4 现对这批产品进行测试现对这批产品进行测试 以以X表示首次测得正品的测试表示首次测得正品的测试 次数 求次数 求X的分布律 的分布律 25252525 设连续型随机变量 设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 其它0 10 2 xxxc xf 试求试求 1 1 1 1 常数 常数c 2 2 2 2 5 00 XP 3 3 3 3 X的分布函数 的分布函数 26262626 电话总机在 电话总机在 1 1 1 1 小时内平均接到小时内平均接到 60606060 次呼唤 试问在次呼唤 试问在 30303030 秒内秒内 1 1 1 1 次呼唤也没有接到的次呼唤也没有接到的 概率有多大 概率有多大 27272727 对某一目标进行射击 直到击中时为止 若每次射击的命中率为 对某一目标进行射击 直到击中时为止 若每次射击的命中率为p 试求射击次 试求射击次 数的分布律 数的分布律 28282828 设盒中有 设盒中有 5 5 5 5 个球 其中个球 其中 3 3 3 3 个黑球 个黑球 2 2 2 2 个白球 从中随机抽取个白球 从中随机抽取 3 3 3 3 个球 求个球 求 抽得白抽得白 球个数球个数 X的概率分布 的概率分布 29292929 某射手每次射击打中目标的概率都是 某射手每次射击打中目标的概率都是8 0 现在他连续射击 现在他连续射击 30303030 次 求 他至少打次 求 他至少打 中两次的概率 中两次的概率 30303030 某射手每次打中目标的概率都是某射手每次打中目标的概率都是8 0 现在他连续向一个目标射击现在他连续向一个目标射击 直到第一次击直到第一次击 中目标为止 求 他射击次数不超过中目标为止 求 他射击次数不超过 5 5 5 5 次就能把目标击中的概率 次就能把目标击中的概率 31313131 设随机变量 设随机变量X的概率分布为的概率分布为 3 2 1 3 1 iCiXP i 试求试求 1 1 1 1 常数 常数 C 2 2 2 2 4 2 1 XP 32323232 已知随机变量 已知随机变量X的分布律为的分布律为 2 1 0 2 1 1 kkXP k 试求 试求 cos XY 的分布律 的分布律 33333333 设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 7 7 7 7 的泊松分布 问在月初进货时应的泊松分布 问在月初进货时应 进多少件此种商品 才能保证当月此种商品不脱销的概率为进多少件此种商品 才能保证当月此种商品不脱销的概率为999 0 34343434 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为pn 的二项分布的二项分布 问当问当k为何值时能使为何值时能使 kXP 最大 最大 35353535 同时投掷两颗骰子 直到至少有一颗骰子出现六点为止 试求 投掷次数 同时投掷两颗骰子 直到至少有一颗骰子出现六点为止 试求 投掷次数X的分的分 布 布 36363636 一台仪器在一台仪器在 10000100001000010000 个工作小时内平均发生个工作小时内平均发生 10101010 次故障次故障 试求试求 在在 100100100100 个工作小时内个工作小时内 故障不多于两次的概率 故障不多于两次的概率 37373737 设随机变量 设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 2 1 2 0sin 00 x xxA x xF 试求 常数试求 常数A及及 6 XP 39393939 设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 160 2 N 为使为使80 0 200120 XP 问允问允 许许 的最大值是多少 的最大值是多少 40404040 设测量两地间的距离时带有随机误差 设测量两地间的距离时带有随机误差X 其概率密度函数为 其概率密度函数为 240 1 3200 2 2 a ax axa a x BA ax xF 试求试求 1 1 1 1 常数常数BA 2 2 2 2 随机变量随机变量X落在落在 2 2 aa 内的概率内的概率 3 3 3 3 X的概率密度函数的概率密度函数 44444444 将三封信逐封随机地投入编号分别为将三封信逐封随机地投入编号分别为 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 的四个空邮筒的四个空邮筒 设随机变量设随机变量X表表 示示 不空邮筒中的最小号码不空邮筒中的最小号码 例如 例如 3 X 表示第表示第 1 1 1 1 2 2 2 2 号邮筒中未投入信号邮筒中未投入信 而第而第 3 3 3 3 号号 邮筒中至少投入了一封信邮筒中至少投入了一封信 试求 试求 1 1 1 1 随机变量 随机变量X的分布律的分布律 2 2 2 2 X的分布函数的分布函数 xF 45454545 设随机变量 设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 1000 1000 10000 100 0100 10000 100 x x x x x xp 如果三颗炸弹全部投下去 问敌方铁路被破坏的概率是多少 如果三颗炸弹全部投下去 问敌方铁路被破坏的概率是多少 47474747 设随机变量 设随机变量X服从标准正态分布 服从标准正态分布 XY21 试求 试求 Y的概率密度函数 的概率密度函数 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 1 1 1 1 袋中装有四个球袋中装有四个球 分别编号为分别编号为 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 现不放回地任取两次现不放回地任取两次 每次抽取一个球每次抽取一个球 以以YX 分别记第一次和第二次所取球的编号 求分别记第一次和第二次所取球的编号 求 YX的分布律 的分布律 2 2 2 2 设二维连续型随机变量 设二维连续型随机变量 YX的概率密度为的概率密度为 YXP 3 3 3 3 将一硬币连掷三次将一硬币连掷三次 以以X表示三次中出现正面的次数表示三次中出现正面的次数 Y表示在三次中出现正面的表示在三次中出现正面的 次数与出现反面的次数的差的绝对值 试求二维随机变量次数与出现反面的次数的差的绝对值 试求二维随机变量 YX的分布律 的分布律 4 4 4 4 已知二维随机变量的联合概率密度为 已知二维随机变量的联合概率密度为 其它0 0 0 32 yxAe yxf yx 试求试求 1 1 1 1 常数 常数A的值的值 2 2 2 2 20 10 YXP 3 3 3 3 YX的分布函数 的分布函数 5 5 5 5 设 设 YX在矩形区域在矩形区域20 10 yx内服从均匀分布 求内服从均匀分布 求 YX的概率密度与的概率密度与 分布函数 分布函数 6 6 6 6 设 设 YX的概率密度为的概率密度为 7 7 7 7 设 设 YX在由在由x轴 轴 y轴及直线轴及直线22 yx所围成的三角形区域上服从均匀分布所围成的三角形区域上服从均匀分布 求求 YX关于关于X及关于及关于Y的边缘概率密度 的边缘概率密度 8 8 8 8 设 设 YX的概率密度为的概率密度为 其它0 0 10 xyxAx yxf 求求 1 1 1 1 常数 常数A 2 2 2 2 关于 关于X及关于及关于Y的边缘概率密度 的边缘概率密度 9 9 9 9 设 设 YX的联合分布律如表所示 的联合分布律如表所示 Y X 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 565656560 0 0 0 24242424 1 1 1 10 0 0 0 141414140 0 0 0 06060606 判断判断X与与Y是否相互独立 是否相互独立 10101010 一电子器件包含两个部分一电子器件包含两个部分 分别以分别以X Y记这两部分的寿命记这两部分的寿命 单位单位 小时小时 设设 YX 的分布函数为的分布函数为 其它0 0 01 01 001 001 0 yxeee yxF yxyx 问问 1 1 1 1 X与与Y是否相互独立 是否相互独立 2 2 2 2 求 求 120 120 YXP 11111111 设二维随机变量 设二维随机变量 YX的概率密度为的概率密度为 其它0 1 20 106 xyxxy yxf 问问 1 1 1 1 X与与Y是否相互独立 是否相互独立 2 2 2 2 求 求 1 00 05 5 y ye yf y Y 求 求 1 1 1 1 YX的联合概率密度的联合概率密度 2 2 2 2 XYP 13131313 设 设 YX在三角形区域在三角形区域1 0 0 yxyxD上服从均匀分布 上服从均匀分布 求求YXZ 的概率密度 的概率密度 14141414 对某种电子装置的输出测量对某种电子装置的输出测量 5 5 5 5 次次 设观察值设观察值 5 4 3 2 1 iXi是相互独立且服从同是相互独立且服从同 一分布 其概率密度为一分布 其概率密度为 5 4 3 2 1 00 0 4 8 2 i x xe x xf x Xi 求 求 4 max 54321 XXXXXP 15151515 设 设YX 是相互独立的随机变量 其分布律分别为是相互独立的随机变量 其分布律分别为 2 1 0 2 1 0 jjqjYPkkpkXP 证明随机变量证明随机变量YXZ 的分布律为的分布律为 i l ijiqlpiZP 0 1 0 16161616 在一简单电路中在一简单电路中 两电阻两电阻 1 R和和 2 R串联联接串联联接 设设 1 R和和 2 R相互独立相互独立 它们的概率密它们的概率密 度分别为度分别为 其它其它0 100 50 10 0 100 50 10 21 y y yf x x xf RR 求总电阻求总电阻 21 RRR 的概率密度 的概率密度 17171717 设 设 YX的概率密度为的概率密度为 其它0 1 20 101 xyx yxf 求求YXZ 的概率密度 的概率密度 18181818 设随机变量设随机变量YX 相互独立相互独立 X在在 0 0 0 0 1 1 1 1 上服从均匀分布上服从均匀分布 Y在在 0 0 0 0 2 2 2 2 上服从上服从 均匀分布 求均匀分布 求 max 1 YXZ 和和 min 2 YXZ 的概率密度 的概率密度 19191919 将三个球随机地放入三个盒子内将三个球随机地放入三个盒子内 每个球可放入任一盒子中每个球可放入任一盒子中 记记YX 分别为放入分别为放入 第一个 第二个盒子中球的个数 求二维随机变量第一个 第二个盒子中球的个数 求二维随机变量 YX的分布律 的分布律 20202020 设随机变量 设随机变量 YX的概率密度为的概率密度为 其它0 20 10 3 2 yx xy x yxf 求求 1 1 1 1 1 YXP 2 2 2 2 YX的分布函数的分布函数 3 3 3 3 YX关于关于X及关于及关于Y的边缘概的边缘概 率密度率密度 4 4 4 4 判断 判断X与与Y是否相互独立 是否相互独立 21212121 设 设 YX的概率密度为的概率密度为 其它0 1 0 1 xxy yxf 求 求 YX关于关于X及关于及关于Y的边缘概率密度 的边缘概率密度 22222222 设 设X Y是相互独立的随机变量 分别服从参数为是相互独立的随机变量 分别服从参数为 21 的泊松分布 的泊松分布 证明 证明 YXZ 服从参数为服从参数为 21 的泊松分布 的泊松分布 23232323 设 设G表示平面上的区域 它是由抛物线表示平面上的区域 它是由抛物线 2 xy 和直线和直线xy 所夹的区域所夹的区域 YX 服从服从G上的均匀分布 求联合概率密度与边缘概率密度 并问上的均匀分布 求联合概率密度与边缘概率密度 并问X与与Y是否相互独立 是否相互独立 24242424 离散型随机变量离散型随机变量 YX的概率分布如下表所示的概率分布如下表所示 试求边缘分布试求边缘分布 并问并问X与与Y是否是否 相互独立 相互独立 XY0 0 0 01 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5 5 56 6 6 6 0 0 0 00 2020 2020 2020 2020 1740 1740 1740 1740 1130 1130 1130 1130 0620 0620 0620 0620 0490 0490 0490 0490 0230 0230 0230 0230 0040 0040 0040 004 1 1 1 10 0 0 00 0990 0990 0990 0990 0640 0640 0640 0640 0400 0400 0400 0400 0310 0310 0310 0310 0200 0200 0200 0200 0060 0060 0060 006 2 2 2 20 0 0 00 0 0 00 0310 0310 0310 0310 0250 0250 0250 0250 0180 0180 0180 0180 0130 0130 0130 0130 0080 0080 0080 008 3 3 3 30 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0010 0010 0010 0010 0020 0020 0020 0020 0040 0040 0040 0040 0110 0110 0110 011 25252525 设随机变量 设随机变量 YX为连续型的 其联合概率密度为为连续型的 其联合概率密度为 其他0 20 xyxxyxkx yxf 试求试求 1 1 1 1 常数 常数k 2 2 2 2 边缘密度函数 边缘密度函数 3 3 3 3 问 问X与与Y是否相互独立 是否相互独立 26262626 设设X与与Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量 X服从服从 0 0 0 0 2 2 2 2 上均匀分布上均匀分布 Y服从参数服从参数为为 2 2 2 2 的指数分布 试求的指数分布 试求 XYP 27272727 设设X与与Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量 X服从服从 0 0 0 0 1 1 1 1 上均匀分布上均匀分布 Y服从参数服从参数为为 1 1 1 1 的指数分布 试求的指数分布 试求YXZ 的概率密度函数 的概率密度函数 28282828 设二维随机变量 设二维随机变量 YX的联合概率密度为的联合概率密度为 25 16 222 yx A yxf 试求试求 1 1 1 1 常数 常数A 2 2 2 2 YX的联合分布函数 的联合分布函数 29292929 设随机变量设随机变量X与与Y是相互独立是相互独立 都服从标准正态分布都服从标准正态分布 1 0 N 试求试求 3 XYP 30303030 设二维随机变量 设二维随机变量 YX的联合概率密度为的联合概率密度为 ae a yfe a xf a y Y a x X 试求试求YXZ 的概率密度函数 的概率密度函数 38383838 随机变量 随机变量 1 X与与 2 X相互独立 且相互独立 且 2 222 2 111 NXNX 试证明 试证明 2 2 2 12121 NXXZ 39393939 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立 都服从都服从 0 0 0 0 1 1 1 1 上的均匀分布上的均匀分布 求求YXZ 的分布 的分布 40404040 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立 都服从都服从 aa 上的均匀分布上的均匀分布 求求XYZ 的概率密的概率密 度函数 度函数 41414141 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立 都服从参数为都服从参数为 1 1 1 1 的指数分布的指数分布 求求 Y X Z 的概率密度的概率密度 函数 函数 42424242 若随机变量 若随机变量X只取一个值 试证明 只取一个值 试证明 X与任何随机变量与任何随机变量Y都相互独立 都相互独立 第四章第四章 数字特征 大数定律和中心极限定理数字特征 大数定律和中心极限定理 1 1 1 1 设随机变量的概率密度为 设随机变量的概率密度为 2 0 2 cos 2 x xxA xf 求求 1 1 1 1 常数 常数A 2 2 2 2 XD 2 2 2 2 设随机变量 设随机变量X的概率密度为的概率密度为 XDXD 令 令 XD XEX Y 求 求 YDYE 5 5 5 5 已知 已知1 2 0 3 1 22 XYEYEYEXEXE 求 求 YXD 6 6 6 6 证明 证明 0 XD的充要条件是的充要条件是CCXP 1 为常数 为常数 7 7 7 7 设设 YX在圆域在圆域1 22 yx内服从均匀分布内服从均匀分布 求求 cov YX 并判断并判断YX 是否相是否相 互独立 互独立 8 8 8 8 设二维随机变量 设二维随机变量 YX的分布律为的分布律为 X Y 1 1 1 10 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 8 1 8 1 8 1 0 0 0 0 8 1 0 0 0 0 8 1 1 1 1 1 8 1 8 1 8 1 验证 验证 X和和Y不相关 但不相关 但X和和Y不是相互独立的不是相互独立的 9 9 9 9 设二维随机变量 设二维随机变量 YX的概率密度为的概率密度为 10 1 6 i i XP的近似值 的近似值 注 注 9332 0 5 1 9032 0 3 1 8630 0 1 1 8413 0 1 12121212 把三个球随机地放入三个盒子中去 每个球可投入任一盒子中 记 把三个球随机地放入三个盒子中去 每个球可投入任一盒子中 记X为空盒子的为空盒子的 个数 求个数 求 XDXE 13131313 设 随 机 变 量 设 随 机 变 量X的 分 布 律 为的 分 布 律 为 2 1 1 kpqkXP k 其 中 其 中 pqp 1 10是常数 则称是常数 则称X服从参数为服从参数为p的几何分布 求的几何分布 求 XDXE 14141414 一本书 一本书 500500500500 页中有页中有 100100100100 个印刷错误 设每页错误个数服从泊松分布个印刷错误 设每页错误个数服从泊松分布 1 1 1 1 随机地 随机地 取一页取一页 求这一页上错误不少于求这一页上错误不少于 2 2 2 2 个的概率 个的概率 2 2 2 2 随机地取随机地取 4 4 4 4 页页 求这求这 4 4 4 4 页上错误不少页上错误不少于于 5 5 5 5 个的概率 个的概率 3 3 3 3 随机地取 随机地取 8 8 8 8 页 求这页 求这 8 8 8 8 页上错误不少于页上错误不少于 5 5 5 5 个的概率 个的概率 15151515 共有 共有n把看上去样子相同的钥匙 其中只有一把能打开上的锁 用它们去试开门把看上去样子相同的钥匙 其中只有一把能打开上的锁 用它们去试开门 上的锁 设抽取钥匙是相互独立且等可能的 若每把钥匙经试开一次后除去 试用下面两上的锁 设抽取钥匙是相互独立且等可能的 若每把钥匙经试开一次后除去 试用下面两 种方法求试开次数种方法求试开次数X的数学期望的数学期望 1 1 1 1 写出 写出X的分布律的分布律 2 2 2 2 不写出 不写出X的分布律 的分布律 16161616 设二维随机变量 设二维随机变量 YX的概率密度为的概率密度为 其它0 1 20 106 xyxxy yxf 求 求 XYEYDXE 17171717 设二维随机变量 设二维随机变量 YX的分布律为的分布律为 Y X 0 0 0 01 1 1 12 2 2 23 3 3 3 1 1 1 10 0 0 0 8 3 8 3 0 0 0 0 3 3 3 3 8 1 0 0 0 00 0 0 0 8 1 求求 XY YX cov 18181818 设 设 YX的概率密度为的概率密度为 00 0 4 2 2 3 2 x xe a x xf a x 这里 这里 0 aa是参数 试求分子运动速率是参数 试求分子运动速率X的期望及方差 的期望及方差 25 25 25 25 自动生产线在调整之后出现次品的概率为自动生产线在调整之后出现次品的概率为p 生产中若出现次品时立即进行调整 生产中若出现次品时立即进行调整 求两次调整之间生产的合格品数的数学期望及方差 求两次调整之间生产的合格品数的数学期望及方差 26 26 26 26 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 12 21 xx exf 试求试求X的数学期望及方差 的数学期望及方差 27 27 27 27 设设X为随机变量 为随机变量 C为常数且为常数且 XEC 试证明 试证明 2 CXEXD 28 28 28 28 设某校车上有设某校车上有 50505050 名职工 自校门开出 有名职工 自校门开出 有 10101010 个停车点 如果某停车点没人下车 个停车点 如果某停车点没人下车 则不停车则不停车 设每位职工在每个停车点下车是等可能的设每位职工在每个停车点下车是等可能的 X表示停车次数表示停车次数 试求试求X的数学期的数学期 望 望 29 29 29 29 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立 且相互独立 且 0 0 22 NYNX 求 求 2222 YXDYXE 30 30 30 30 设随机变量设随机变量 10021 XXX 相互独立相互独立 且都服从参数为且都服从参数为 1 1 1 1 的泊松分布的泊松分布 试利用中心试利用中心 极限定理计算极限定理计算 100 1 120 i i XP 31 31 31 31 船舶在某海区航行船舶在某海区航行 已知每遭受一次波浪的冲击已知每遭受一次波浪的冲击 纵摇角度大于纵摇角度大于 0 6的概率为的概率为 3 1 p 若船舶遭受若船舶遭受了了90009000900090000 0 0 0次波浪冲击次波浪冲击 问其中问其中有有29500 305029500 305029500 305029