理论物理基础教程刘连寿第五篇第一章答案.pdf

P305 1 计算下列各种频率的谐振子的能量子 a HZ50 的带电谐振子 b HZ1010 的微波 c HZ1015 的光波 进而指出为什么普通振子的能量不显分立性 答 a JHZSJh 3234 10 31 350 10 63 6 b Jh 241034 10 63 610 10 63 6 c Jh 191534 10 63 610 10 63 6 普通振子的能量子很小 它的能量变化很小 近似是连 续变化的 2 计算下列粒子的德布罗意波长 a 能量为 100eV 的自由电子 b 被 15 10V 电子差加速的质子 c 以速度 1m S 1 运动的质量为 1Kg 的质点 d KT300 时 以麦克斯韦分布的最概然速度运动的中子 进而指出在普通条件下观察不到粒子的波动性 答 a o AmmEhph23 110 23 12 10 b 4222 cmcpE 2 2 1 mcuqE 所以质子的速度 无限趋近于光速 因为总能量远大于静能 2 mc 此时 m 可以 忽略 pcE muqhcEhcph 21 10 24 1 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 c o Ammvhph 2434 10 63 610 63 6 d m Tk v B p 2 o p Ammvhph78 110 78 1 10 在普通条件下 实物粒子的波长很小 所以不表现出波 动性 P336 1 证明动量算符 riL v h 和哈密顿算符 2 2 rUmPH v v 是厄 米算符 证明 riL v h 所以 y z z yipzpyL yzx h z x x ziLy h x y y xiLz h 对于一个分量 x L 来说 d y v z z v yuivd y z z yiuvdLu x hh d y v zuid z v yui hh d y v zuid z v yui hh d y u zvivuzid z u yvivuyi z z z z hhhh 因为在 z时 u v都趋于 0 所以第一项和第三项都为 0 所以 上式变为 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 d y u zvid z u yvi hh d y u z z u yvi h d y u z z u yiv h duLv x 所以 x L 为厄米算符 同理可得 y L z L 为厄米算符 riL v h v 为的 x L y L z L 合矢量 L v 为厄米算符 2 2 rUmPH v v 对于一个分量 x H 来说 2 2 xUmPH xx 因为PPP 动量为厄米算符 所以 xxxx HxUmPxUmPH 2 2 22 同理可得 y H z H 也一样 所以 HH 哈密顿算符也是厄米算符 2 若F 不是厄米的 证明 FF 和 FFi是厄米的 并且可 写成 2 2 FF i FF F 证明 F 不是厄米的 但是 duFvvdFuvdFuvdFuvdFFu vdFuduFv vdFuduFvduFvduFvduFFv PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 所以 duFFvvdFFu FF 是厄米算符 同理 duFvivdFuivdFuivdFuivdFFiu vdFuiduFvi vdFuiduFviduFviduFvidiuFFv 所以 duFFivvdFFiu FFi是厄米的 因为F FFFFFF i FF 2 2 2 2 2 2 所以 可以写成 2 2 FF i FF F 3 利用在宽为 a 的势箱中形成驻波的条件 势箱宽度等于 半波长的整数倍 求势箱中粒子的能谱 解 4 波尔原子模型假定 氢原子中的电子在绕核的圆形轨道上 运动 将电子看成在这圆形轨道上传播的波 利用波的稳定 性条件 即驻波条件 求氢原子的基态能量 5 证明力学量 F 有连续谱的情况下 在状态 tr v 中测 F 得值 f的概率密度函数 f 的公式 rdtrrc ff vvv 3 2 ff c 1 2 dfcdf ff PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 证明 F 有连续谱时f drtctr ff vv 两边同时乘以 并对全空间积分 可得 rdf drtcrrdtrr ffff vvvvvv 3 3 f drdrrtc fff vvv 3 f dfftcf f dfftcf tcf rdtrrc ff vvv 3 dfff f 1df f 0 f 而 rdfdrcff drcdfff ffff vvv 3 rdfdf drfrcc ffff vvv 3 rdfdf drfrcc ffff vvv 3 rdrrdfffdcc ffff vvv 3 ffdfffdcc ff fdfcf 2 又 rdfdrcf drcrd ffff vvvv 3 3 1 rdfdf drrcc ffff vvv 3 rdrrdff dcc ffff vvv 3 ffdff dcc ff dfcf 2 比较可以知道 2 ff c 而且 1 2 dfcdf ff PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 6 一维运动粒子的状态是 0 x Axe x 0 0 求 a 粒子动量的概率分布函数 b 粒子的平均动量 解 一维运动粒子的动量算符的本征函数为 h h 2 1 xip p x x ex 在0 x时将波函数用本征函数展开 xpx x dppcAxe x 其中 0 3 2 1 dxAxeerdxpc xxip px x x h h v 0 2 dxxe A xipx x h h 2 0 0 dxexe ip A xipxip x xx hh h h h 0 0 1 h hh x xip x xip x ipe Lim e x Lim xx 2 0 22 x xip x x ip A dxe ip A pc x h h hh h h h 其概率分布函数 2 222 2 2 1 2 hh x x p A pcP dx 1 32 4 A 2 222 3 12 hh x p P 粒子的平均动量为 xx x xxxx dpp p A dpppcp 2 222 2 21 2 h h PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 2 2 222 2 2 11 2 x x dp p A h h 0 1 4 222 2 x p A h h 7 求绕固定轴转动的刚性转子的能量本征值和本征函数 提示 平面转子的能量算符为 2222 2 2 IILH z h 其 中 I 为绕 z 轴的转动惯量 解 能量本征方程为 EH E I 2 22 2 h 0 2 22 2 h IE ikik BeAe h 2IEk 根据标准条件中单值的要求 2 可以得到 nIEk h 2 3 2 1 0 n 能量本征值为 I n En 2 22h 3 2 1 0 n 相应的本征函数为 in e A ik eB 可见存在两重简并 由归一化条件可得 2 0 1d BA h 2 1 所以 相应的本征函数为 in e h2 1 in e h2 1 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 8 粒 子 在 一 维 无 限 深 势 箱 中 运 动 状 态 波 函 数 为 cos sin 2 axaxAx 求粒子能量的可能值和相应的概 率 解 粒子在一维无限深势箱中运动的能量本征函数为 sin 2 a nx a n 5 3 1 n 能量本征值为 2 222 2ma n En h 5 3 1 n 将状态波函数 cos sin 2 axaxAx 用本征函数展开 有 nn nnn a nx a ccx sin 2 a nn dxc 0 a dxaxaxAanxa 0 2 cos sin sin 2 a dxaxaxanxaA 0 2 2cos 1 sin sin 2 a dx a x a x ax a nx a A 0 sin 3 sin 4 1 sin 2 1 sin 2 a dx a x a x a nx a A 0 sin 3 sin sin 2 4 a dx a xn a xn a xn a xn a A 0 3 cos 3 cos 1 cos 1 cos 2 1 2 4 a A 2 8 仅当1 n或者3 n 2 22 1 2ma E h 2 22 3 2 9 ma E h PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 又 dx 1 1 cos sin 422 axaxA aA 16 2 2 2 n c 1 n或者3 n 取值几率 2 12 3 2 131 ccPP 9 若f 的本征值 f 是 4 重简并的 四个独立的本征函数为 1 2 3 4 它们不相互正交 试求对应这个本征值的一组四 个相互正交的本征函数 解 设 11 1122 k 且 1 2 3 4 相互正交 1 2 正交 0 11121112121 kk 0 1 0 11 11 21 1 k 同理 可设 231233 kk 3 2 正交 且 1 3 正交 0 23 0 13 由上式可以解得 11 31 2 k 22 32 3 k 同理 可设 16253444 kkk 同样利用正交关系 得 到 33 43 4 k 22 42 5 k 11 41 6 k 所以 得到的一组正交归一的本征函数为 11 1 11 21 22 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 2 22 32 1 11 31 33 3 33 43 2 22 42 1 11 41 44 10 若F 和G 可对易 在它们的本征值有简并的的情况下 证 明它们有共同的本征函数系 证明 设本征值 n f有 d 个本征函数 nj dj 3 2 1 设nj j ijni c di 3 2 1 显然 ni 仍然是F 的本征函数 对应的本征值仍是 n f 假设 nini gG 则 nj j ijnj j ij cgGc 两边同时乘以 nj 并积分 得到 dcgdGc nj j j nijnj j j nij 令 j jnjj n GdG 则 j j j ij j j jij cgGc 可得 0 j j j j jij gGc 上面的线性齐次方程组要有非零解的条件是 0 j jj j gG 所以 方程组有 d 个实根 1 g 2 g d g 将这 d 个根代回方 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 程 中 每次可得一组 ij c dj 3 2 1 因此 可以实现 nini gG 其中nj j ijni c 所以 F 和G 有共同的本征函数系 ni 11 证明角动量算符L v 的各个笛卡儿分量之间 以及它们和 2 L v 之间有如下的对易关系 zyx LiLLh xzy LiLLh yxz LiLLh 0 222 zyx LLLLLL 证明 yzzxzxyzxyyxyx pzpypxpzpxpzpzpyLLLLLL 22 y z z y z x x z z x x z y z z y hh 2222 z x y z x z y z z x z y x z z y hhhh 2222 y z z x z y z x y z x z z y x z hhhh zy zx xy z z yx zx yz x y 2 2 2 22 2 2 2 2 22 hhhhh y x zy zx xy z z yx zx yz 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 hhhhh y x x y 22 hh z Lih 同理可证其余两式 zyx LiLLh xzy LiLLh yxz LiLLh 另外 2222222 xzxyxxxzyxx LLLLLLLLLLLL 22 zxzzyxyxyyyxxzxy LLLLLLLLLLLLLLLL 0 yzzyzyyz LLiLLiLLiLzLihhhh PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 同理可证明其余两式 解二 lm mlilmi pxL 且 l lijlji xixL h l lijlji pipL h lm mlijlmji pxLLL lmk lkimk k mkilkjlm xpipxi hh k ikjkikjk xppxi h ijij xppxi h 而且 lmn nmlmnijl l iijl pxL mn nmjminjnim px n ijjinjinnijn pxpxpxpx l iijlji LiLL h 12 证明 im erfr 3 sin 是 2 L v 和 z L的共同的本征函数 并求 相应的本征值 证明在此状态 x L y L没有确定值 证明 sin 1 sin sin 1 2 2 2 22 h v L sin12 sin 9 322 merf im h 3 m 时 上式 2 12h PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 im erfr 3 sin 是 2 L v 的本征函数 本征值为 2 12h hhhh3sin 3 mimerfiiL im z im erfr 3 sin 是 z L的本征函数 本征值为h3 im x erfimiiL sincoscotsincossin3 coscot sin 32 hh im y erfimiiL sinsincotcoscossin3 sinc