热力学与统计物理(IMU) 之廿三(7.1).pdf

1 December 13 2006 统计热力学教案 7 1 2 时 第七章第七章 量子统计法量子统计法 Quantum statistical Methods 本章讨论近独立粒子组成量子系统 首先导出不同统计性 质的全同粒子按能级的分布 然后研究一些较简单的例子 本章讨论近独立粒子组成量子系统 首先导出不同统计性 质的全同粒子按能级的分布 然后研究一些较简单的例子 7 1 量子统计分布 7 1 量子统计分布 Quantum statistical Distributions 巨配分函数巨配分函数 量子统计法量子统计法 热力学公式 热力学公式 1 巨配分函数1 巨配分函数 Grand Partition Function 多数量子系粒子数不守恒 我们用巨正则系综研究 考虑 N 粒子组成的理想量子气体 假定单粒子能级为 l 系统处于微观量子态 s 时 能级 l的占据数为 al 系统的总粒 子数与能量写为 l l aN l lls aE 巨正则分布给出系统处于微观态 s 的概率为 s EN s e 巨配分函数为 0Ns EN s ee 记 N 粒子在单粒子态的分布为 l a 巨配分函数则可由以下 公式计算 0Ns aa ll lll ee l a 个粒子在能量为 l 的各单粒子态的分布方式数为 Wl 分布所包含的微观状态数则为 l l WW 将对态态 s 的求和化为对分布分布的求和有 2 0Nal a l l ll eWe 因 N 的求和上限为无穷 故可取消分布 al 的粒子数限制 将两个求和合并得 l ll al a le We 由于 al 为粒子数无限制的分布 因而可将求和与连乘交换 最后得 lla a l l l ll eeWe 0 其中 0 l lll a a le We 称为 l 能级的巨配分函数 巨配分函数的对数与单粒子能级巨配分函数之间则有如 下简单的关系 l l 用巨配分函数计算 l 能级占据数的平均值得 l a a l a a ll lm a a m a a ll ma a ml Ns EN l Ns sll ll ll ll ll mm ml ll m mm s ee eWeWa eWeWae eWae eaeaa 00 00 0 2 量子统计法2 量子统计法 Quantum statistical methods 进一步具体给出 l a 的表达式需要考虑粒子的全同性 即不 同类型粒子的统计方式 对于给顶的分布 al 不同类型的粒 子系之按状态数 Wl不同 假定各单粒子态的简并度分别为 LL 21l 我们来讨论给定的分布 l a时 系统的微观 3 状态数 1 玻色系 1 玻色系 玻色系不受泡利不相容原理的限制 每单粒子态均可有任 意个粒子占据 现考虑al个粒子 放入 l个量子态的方式数 此 问题有如在一长槽中放入 al个球 中间用 l 1 个隔板隔开为 l个区域 每区中可以有 0 al个球 共有几种分法 这个问题又可以转化为 al个球与 l 1 个隔板排列的问 题 初看来 这种排列的方式数为 al l 1 但是 还应 注意到 隔板不能区分 它只起分割的作用 l 1 个隔板交换 位置并不产生新的占据方式 这样交换的方式共有 l 1 种 al个球 粒子 全同 它们交换位置亦不产生新的占据方 式 这样交换的方式共有 al 种 所以 l 能级上占据 al个粒 子的不同微观态数应为 1 1 ll ll l a a W 考虑所有能级 分布 al 包含的系统微观状态数则为 ll ll l ll ll l l a a a a WW 1 1 1 费密系 费密系 费密系受泡利不相容原理的限制 每单粒子态最多只可有 一个粒子占据 al个粒子投入 l个态 其方式数为 lll l l l l aaa W 分布 al 包含的系统微观状态数则为 l lll l aa W 3 3 Boltzmann 系统 系统 粒子可分辨时 系统的统计方法称为Boltzmann统计法 al 个粒子放入 l个态 共有 l a l 种方式 考虑所有能级占据方式 数为 l a l l 但粒子可分辨 交换N个粒子带来不同的微观态 4 数目为N 总数应乘以N 可是 在同一能级上的al个粒子 放入 l个态时已考虑其可分辨性 所以再互换不应计入新的 态 总数又应除以al 最后得给定分布 l a包含的微观状态数 l a l l l l a N W 当 ll a 全同性表现不突出 这时两种统计分布方式 趋同 取其极限形式 Boltzmann 统计 N W WW M FB 此时 系统称为非简并性系统 al l称为非简并性条件 量子统计分布 量子统计分布 Quantum statistical distributions 将上面给出的玻色和费密统计法代入巨配分函数公式 用二项 式公式 可得 ll ll l ll l l l l e e a e a a eWe a a l l a a l ll a a l m m 1 fermi bose 1 0 0 0 对数 l e ll mm1ln 巨配分函数的对数则为 l l l e 1ln ln mm l能级占据数的平均值为 1m l e a ll l 以上各式中的符号上边的对应玻色 爱因斯坦 B E 统计法 下面一行对应费密 狄喇克 F D 统计法 满足非简并性条件 ll a e 时 两种统计趋 于麦克斯韦 玻尔兹曼 M B 统计 l能级占据数的平均值为 注意数学公式注意数学公式 n on m x n nm x 1 1 n on m x n m x 1 N 来自全同性来自全同性 5 l ea ll 4 热力学函数 4 热力学函数 Thermodynamic functions 主要讨论玻色和费密系统 巨配分函数的对数为 l l l e 1ln mm 由它可计算基本热力学函数 l l l e N 1m l ll e E 1m VeV p l l l 1 1 m kS 在用本章开头给出的微观状态数具体计算熵 可获得玻尔兹曼 关系 玻尔兹曼 关系 WkSln 麦克斯韦 玻尔兹曼统计的计算简单 不拟赘述 5 粒