三角形的五星.doc

三角形的五星定义：内心：内角平分线 的交点。外心：中垂线的交点。重心：中线的交点。垂心：高的交点。旁心：外角平分线的交点。定理：一、三角形重心定理: 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。 2 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的 与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。二、三角形外心定理: 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是ABC的外心，则BOC=2A（A为锐角或直角）或BOC=360-2A（A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OGGH=12。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CFAB 证明： 连接DE ADB=AEB=90度 A、B、D、E四点共圆 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADC AEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90度 ACF+BAC=90度 CFAB因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P为ABC所在平面上任意一点，点I是ABC内心的充要条件是：向量PI=(a向量PA+b向量PB+c向量PC)/(a+b+c). 4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 旁心的性质： 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。 如图，点M就是ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。参考资料：/view/1611086?tp=4_01 证明：1）重心:求证：三条中线交于一点连接DEDE/BC（中位线平行于底边）假设目前只知道BE和DC两条中线。AO交DE于GADE=B（两线平行同位角相等）DE/BC（中位线平行于底边）AED=ACB（两线平行同位角相等）ADE相似于ABCF是中点那么G就是中点再连接HI使其穿过O点AHI与ADE中：AHI=ADEAIH=AEDA=A因此AHI与ADE相似因此O为HI中点所以F为BC中点即三条中线交于1点求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍？证明：如图：ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为ABC重心做BG中点H，GC中点IHI为GBC的中位线HI/BC,且 2HI=BC同理：FE是ABC中位线FE/BC,且 2FE=BCFE/HI,且 FE=HI四边形FHIE是平行四边形HG=GE又H为BG的中点HG=BHHG=BH=GE2GE=BG三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍2）垂心:设ABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HA=a，HB=b，HC=c。因为ADBC，BEAC，所以HABC=0，HBCA=0，即a(c-b)=0，b(a-c)=0，亦即ac-ab=0ba-bc=0两式相加得c(a-b)=0即HCBA=0故CHAB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。3）内心:己知：在ABC中，A与B的角平分线交于点O；求证：ABC角平分线交于点O。证明：点O在A的角平分线上，O到AB的距离与O到AC的距离相等；同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等。根据等量代换，可知O到AC与O到BC的距离相等，又AC和BC为C的边，因此点O在C的角平分线上。O为ABC中，A、B、C角平分线上的点。求证:OI=OG=OH1=2,3=4,5=6(角平分线)在AOI与AOH中:AO=AO(公共边)1=2(角平分线)AIO=AHO(垂直于对应边)AIO全等于AHO(AAS)OI=OH(两个三角形全等,三边对应等)在COH与COG中:AO=AO(公共边)1=2(角平分线)COH=COG(垂直于对应边)COH全等于COG(AAS)OG=OH(两个三角形全等,三边对应等)4）外心:证明:AD=BD=CD在AFO与BFO中:AF=BFFO=FOAFO=BFO(垂直平分线)AOF全等于FOB(SAS)AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)在AOE与ECO中:AE=ECEO=EOAEO=CEO(垂直平分线)AOE全等于COE(SAS)AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)又AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)AO=BO=CO即O为ABC的外接圆的圆心证明:三条垂直平分线的延长线交于一点,即GO,CO,EO交于一点.先做一条与BC平行的穿过O的线段,命名为IH.且HI为ABC的外接圆的直径.现在,FO与EO已相交于O点HI/BC(已知)GDBC且D为BC中点GOHI且O为HI中点,即为外接圆的圆心,也就是GO与CO,EO交于O点5）旁心:证明:EO=FO=DO在ADO与AFO中:AFO=ADODAO=FAO(角平分线)AO=AO(