九年级数学竞赛第16讲 圆中的比例线段.doc

第十六讲 圆中的比例线段 圆中的比例线段问题，一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题下面先介绍一下圆幂定理，然后举几个例题，供同学们思考例1 (交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等如图365，O中两弦AB，CD相交于P点求证：PAPB=PCPDPC=DPB，C=B最后的条件，只要连结AC，BD即可满足，因此命题得证 证法2 证法1是通常的想法，实际上，本题若换个想法：证明PAPB为一定值，则可用勾股定理证明为此作OEAB于E，连OA，且过P作直径GH(图366)，则APPB=(AE-PE)(AE+PE)=AE2-PE2=(OA2-OE2)-(OP2-OE2)=OA2-OE2-OP2+OE2=OA2-OP2=(OA+OP)(OA-OP)=PHPG(定值)同理，CPDP=PHPG(定值)所以PAPB=PCPD推论 弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项如图367，AB是O的直径，弦CDAB于P求证：PC2=PAPB证明留给读者例2(切割线定理) 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项如图368，PC切O于C，割线交O于A，B求证：PC2=PAPB PCAPBC， 为此，只须连结AC，BC，则有ACP=CBP，P=P，故成立证法1 请读者写出证法2 仿例1之证法2的方法，利用勾股定理证明本题作OHAB于H，连OA，OP，OC(图369)因为PC切圆O于C，所以PCO中，C=90，所以PC2=PO2-OC2=(PH2+OH2)-OA2=PH2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2=(PH+AH)(PH-AH)=PBPA 推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等图370中，PAB，PCD是O的两条割线求证：PAPB=PCPD证明由例2可直接推出说明 例1、例2及其推论统称圆幂定理为什么叫圆幂定理呢？因为在例1中PAPB是定值，它等于定点P分过此定点的直径的两线段的积；在例2中，PAPB也是定值，它等于由圆外定点P所引圆的切线长的平方例1、例2的定值称作定点到圆的幂，因此，例1、例2统称圆幂定理例3 如图371，O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG 分析 由于FG切圆O于G，则有FG2=FBFC，因此，只要证明FE2=FBFC成立即可证 因为在BFE与EFC中有BEF=A=C，又 BFE=EFC，所以FE2=FBFC又FG2=FBFC，所以FE2=FG2，所以 FE=FG例4 在图372中，已知CA，CB是O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线AB于E求证：ODOC=OEOF=OA2证 因为AC，BC是O的两条切线，A，B为切点，所以OCAB于D又因为OFCF于F，所以CDE=EFC=90，所以D，C，F，E四点共圆，所以ODOC=OEOF又在COA中，CAO=90，所以OA2=ODOC，所以 ODOC=OEOF=OA2例5 如图373，ABC内接于圆O，BAC的平分线交O于D点，交O的切线BE于F，连结BD，CD求证： (1)BD平分CBE；(2)ABBF=AFDC分析 (1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出(2)由条件及(1)的结论，可知BD=CD，因此欲求ABBF=AFDC，证 (1)因为CAD=BAD=FBD，CAD=CBD，所以CBD=FBD，所以BD平分CBE(2)在DBF与BAF中，因为FBD=FAB，F=F，ABBF=BDAF又因为BD=CD，所以ABBF=CDAF例6 如图374，四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，延长AD和BC相交于F，EP和FQ分别切圆O于P，Q求证：EP2+FQ2=EF2分析 本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考证过B，C，E作圆O1，设O1交EF于G，连结CG因为FDC=ABC=CGE，所以F，D，C，G四点共圆，所以EGEF=ECED， FGEF=FCBF +得EF2=ECED+FCBF又因为EP，FQ为O的切线，所以ECED=EBEA=EP2，FCFB=FDFA=FQ2，所以 EF2=EP2+FQ2练习十六 1已知O外一点P，PA是O的切线，切点为A，引割线PBD交O于B，D，过D引直线DEPA交O于E，直线BC交O于M点，求证：AM=PM2如图375AD是O的切线，D是切点，ABC是割线，DEAO于E(1)求证：AD2=AEAO；(2)求证：AEB=C3如图376在O中，弦ABQO于D，AQ交圆O于C，连结BC交QO于P，求证：OA2=OPOQ4如图377四边形ABNM内接于圆O，BA和NM的延长线相交于P点，求证：