估算在高中数学解题中的应用.pdf

估 算 雾 在高 一 r s 一 琏 麓 麓骥 嚣 誊 舞 审数 重庆复旦中学黄益全 1 对估算和估算能力的认识 估算也就是粗 略的计算 其 实质是 一种有 目的 的 快速的近似计 算 它 的基本特点是在对所研究 的 问题的实质进行深刻理解 的基础上 对 问题 中的数值 做适当的扩大或缩小 从而对运算结果确定 出一个大 致范围 或做出一个估计 更本质地说 估算是一种数 学意识 一种应用数学知识解决实际问题的意识 它是以正确 的算理为基础 通过迅速合理 的观察 理 解 比较 判断 推理 搜 索 在众多信息面前 锁定 一 批有用的或关键性的数学信息 这些信息的获得往往 是跳过 了许多繁冗的逻辑推理过程 进而直逼结论 或是将解题的关键 一眼看穿 的一种数学素养 估算 带有相当的直觉和猜想成分 但又不 同于一般意义上 的直觉和猜想 估算能力是指学 生 或人们 在具备一定基本知 识的基础上 利 用一些估算策 略 通过观察 比较 判 断 推理等认知过程 获得一种概略化结果 的能力 估 算能力是一种较高层次的数学能力 它要求解题者对 数学 中各个对象的关系有 比较深刻的理解 数学 中的 估算与数学学科的精确性相辅相成 相得益彰 估算能力与精算能力是学生计算能力 的两种基 本形式 二者在学生 的计算过程 中发挥着重要作用 而且具有较好的互补性 在工作 中也存在一定的协 同 性 估算能力可以对 问题进行有效探索 迅速形成大 致答案 但是 在精 确性 上相对较差 需要 对答案进行 再检验验证 精算 能力则较 为程序化 需 要耗费较 多 的时间 但可 以有效保证结果的正确性 因此 学生在 解决问题的过程 中 可 以根据不 同 目的和 问题情境 在不 同阶段选择性地使用 两种计算 能力 取长补短 以提高认知效果 另外 估算能力与精算能力在学生发展过程中彼 此交错 互相影响 在精算能力 尚未形成时 学生已经 利用估算能力形成了一些初级的数学概念 进行 了一 些概略化计算 这就为进一步形成精确的数学概念系 统 掌握复杂计算规则提供 了必要 的基础 在精算 能 力 计算 策略 与计 算操作技能等多方 面能力得 到发 展 形成精细 复杂的数学知识体系以后 又会反过来 促进学生估算能力的发展 使其摆脱估算能力处于初 级阶段的简单 特点 形成更高水平的估算能力 人 的 估算能力是发展变化的 通过对估算策略 应用途径 的研究 并对学生实施有针对 性的指导和训练 可 以 较快地提高学生的估算意识和估算 能力 进而把估算 纳入到学生的基本数学素养 中 成为推动学生精算能 力的基本要素之一 2 高中数学解题中估算的应用途径探究 在 中学阶段 估算主要用 于解答填空题 选择题 探索性试题及开展研究性学习 但在解答题的思考过 程中 估算的意识也为学生快速寻找到解题的突破 口 提供 了相当重要 的作用 估算意识应用得好 估算能 力较 强 的 学生 对 解答 题 的 分析 具 有 一 眼洞 穿 的 能力 估算的途径是多种多样 的 归纳起来 主要 有以 下几种 1 近似估算 2 特例估算 特殊值 特殊图 形 特殊位置等 3 极限法估算 4 构造模型估算 5 猜想和直觉估算 6 用局部估算整体 7 用一般 规律估算个体情况 8 用表象估算解题方法 2 1 近似估算 近似估算 即是通过对数学 问题 的洞察 采用行之 有效 的方法 对 问题 中的数据 进行 适 当的扩大或缩 小 实施必要的近似处理的方法 例 1 2 0 0 2年全 国 高考数 学理 科 第 1 2题 据 2 0 0 2年 3月 5日九届人大五次会议 政府工作报告 2 0 0 1年国内生产总值达 到 9 5 9 3 3亿元 比上年增长 7 3 如果 十五 期 间 2 0 0 1年 2 0 0 5年 每年 的 国内生产总值都按此年增长率增长 那么到 十五 末 我国国内生产总值约为 A 1 1 5 0 0 0亿 元 B 1 2 0 0 0 0亿 元 C 1 2 7 0 0 0亿元D 1 3 5 0 0 0亿元 分析 不难得到 十五 末 的年 生产 总值为 9 5 9 3 3 1 7 3 亿元 接下来就是对它进行 近似估算 估算 1 9 5 9 3 3 1 0 7 3 9 6 0 0 0 1 0 7 3 9 6 0 00 1 1 5 0 9 6 0 0 0 1 3 2 4 1 27 1 0 4 1 27 0 0 0 维普资讯 估算 2 一方 面 9 5 9 3 3 1 0 7 3 一9 5 9 3 3 1 4 0 0 7 3 6 0 0 7 3 4 0 0 7 3 0 0 0 7 3 9 5 0 0 0 1 4 0 0 7 1 2 1 6 0 0 另 一 方 面 9 5 9 3 3 1 0 7 3 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 7 3 6 0 0 8 4 0 0 8 0 0 0 8 1 0 0 0 0 0 x 1 0 2 9 2 0 0 5 P2 P1 B P3 P2一 P1 C P3一 P2 P1 D P3 一 P2 一 P1 分析 此题尽 管可 以用 面积射 影定理直接求解 但最直接的想法 就是取 a 一0 则在三种不 同的盖法 下屋顶的形状趋于同一 这时显然有 P 一P 一P 故 选 D 可见采用极 限法估算的优越性 例 4 2 0 0 1年 全 国高考 数 学理 科 第 8题 若 0 口 卢 口一 s i n口 C O S口 b s i n卢 C O S卢 则 A 口 b C a b 2 分析 考虑到题 目的类型和 a 卢的范围 直接使 a 一0 得口 一1 6 2 有 口 C O S z成立 从而排除 A B D 故选 C 例 6 2 0 0 6年高考数 学天津卷理科第 1 0题 已 知函数 一 z 的图象与函数 a 口 0且 口 1 的图象关于直线 z对 称 记 g z z E l x f Z 一1 3 若 g z 在区间I 軎 2 l 上是增函数 则实数 a的取值范围是 A 2 o o B 0 1 U 1 2 c 丢 分析 本题直接推理可行但运算较繁 属 小题大 做 但若采用取特殊值排除法 即很快得 出答案 取 a 1 一 2 则g f 专1 一g 2 一1 排除A 再取口 一 则 1 g 专 一 g 一 一 2 排 除B c 故 选D 此 题 的 考 查 更强调 了方法的灵活选用和综合应用 并非要求学生 直接进行推理 基 本知识和基本 能力 的考查 少算 多思 能力 立 意 是近 年高 考选 择题 的基 本 指导思 想 例 7 2 0 0 5年高考数学全 国卷 理科 第 1 1 题 如果 a a a 为各项都大于零 的等差数列 公差 d 0 则 A a1 a8 口 4 a5 B a1 a8 口 4 a 5 D a 1 a 8 a 4 a 5 分析 选 取 符 合 条 件 的特 殊 数 列 a a 一挖 挖 N 显然有 a 1 a 8 口 4 a 5 故选 B 2 5 构造模型估算 例 8 设 P为空 间一 点 P A PB PC P D是 四 条射线 若 P A P B PC P D两两所成的角相等 则任 意两条射线所成角的余弦值为 维普资讯 A 丢 B 一 丢 c D 分析 由题意极易联想到正方体的四条对角线交 于一点 且它们两两所成的角相等 故可构造正方体 取其中心为 P 连结 P A P B P C P D 图 5 由余弦 定理即可求出它们的夹角的余弦值为一 2 8 用表象估算解题方法 例 1 1 2 0 0 6年 高考数 学安徽 卷理科 第 1 6题 多面体上 位于 同一条棱两端 的顶点称为相邻 的 如 图 8 正方体的一个顶点 A在平 面 a内 其余顶点在 a 的同侧 正方体上与顶点 A相邻 的三个顶点到 a的距 离分别为 1 2和 4 P是正方体 的其余四个顶点中的 一 个 II P 刭 平 而 昕 离 可 能 皂 方t 略 型 图 5 C A B 图 6 2 6 猜想和直觉估算 例 9 如图 6 在正方体 ABC D A B C D 中 M 为棱 DD 的中点 N 为 B C 的中点 P为棱 A B 上 任意 一 点 则 异 面 直 线 AM 与 P N 所 成 的 角 等 于 A 9 O B 6 O C 45 D 3 O 分析 1 AM为定直线 P N是经过定点 N 的直线 按理随着 P的变化 A M 与 PN所成 的角也会变化 但 结果 备选答案 是定值 可见只可能是 A M 垂直于 P N 所在的某一个平面 才可能为定值 在这种直觉和猜想 的估算下 不难发现 AM I 平面 A B N 故选 八 分析 2 由直线 AM 点 N 及 AM 与 P N 所成角 的确定性和点 P 的运动特点 可考虑用特殊位置法进 行估算 平移 A M 到B M 取 B 为 P 连结 B N 易知 B 1 N上B M 故 PN上AM 2 7用一般规律估算个体情况 例 1 0 1 9 9 2年 高考题 圆心 在抛 物线 Y 2 x 上 且与 z轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程 是 A z 一z一 2 I一 0 1 B z 一 z 一 2 y 一 一 0 C z 一z一 2 1 0 D z 一 2 1 0 分析 如图 7 设 圆心为 C I C AI I C BI I C FI B是圆与 2 7 轴 的一 Y 厂 D B 图 7 个交点 F是抛物线焦点 故 B F重合 即圆过 焦点 F 专 o 代 入 验 证 故 选 A 确结 图 8 图 9 分析 为了尽可能多 的利用 已知信息 我们选择 共面的四点 其中三个点到平面 a的距 离已知 看能 否求出第四点到平面 a的距离 如图 9 设 D和A 到 a的距离分别为 2 4 则 DA 的中点到平面 a的距离 为 3 又 D A 的中点 与 AD 的 中点重合 设 D 到 a n j 的距离为 2 7 则 有 L I T i 一3 2 7 6 既然这 种方法可 厶 行 同理可求其余三点到平面 a的距离分别为 5 3 7 故填 3 结束语 估算的思想和能力在 学生的学 习过程 中 占有相 当重要的地位和作用 估算 的途径是有规律可循 的 只要我们在教学 中重视加强估算 教学 有 目的地培养 学生 的估算意识 就一定 能发展学生 的估 算能力 使 学生拥有 良好 的数感 提升学生 的数学素养 估算作为一 种解题 的方法 和策 略 它并非 万能 的 只有针对特定 的题 目和相应 的题型 估算才有实 施 的可能 估算的策略并非一种无 中生有 的猜测 而 是在对数学知识 方法 能力具有 了一定 高度之后的 一 种必然的意识和能力 我们研究估算 策略的应用途 径 也重在熏陶高中学生的估算 意识 一种将数学