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估算的教与学（吴正宪） 培养学生的估算意识、估算能力以及灵活地选择合理的算法解决问题是数学新课程标准提出的重要目标之一，落实在教学中表现为比较重视“估算”教学。然而，很多一线教师却“害怕”估算教学，常常在教学中遇到这样的尴尬(尤其在低年级)：“老师，学估算没什么用处，只是您让我们估我们就估，只在课堂上有用”“课堂上我在带着孩子走教案，让学生做什么学生就做什么，没有体验与参与”“那么多的估算方法，到底哪个对啊?”等。感觉“估算”教学与我们的美好期望相去甚远!是教师的教学有问题?是新课程标准提出的要求太高?亦或估算就是“只在课堂上有用”? 看了特级教师吴正宪的估算教学后，相信你对估算会有新的认识。案例指引：估算的教学实录一、提出问题 师：同学们，这节课我们继续来研究估算，有关估算的知识我们从二年级的时候就接触过一些，对吗?生：(齐)对。师：关于估算，在学习过程中你碰到过什么困难，或者你还有什么问题想问吴老师?生1：为什么要估算呢?生2：估算对我们有什么好处?师：也就是估算到底有什么用。其他同学还有问题吗?生：估算是什么人发明创造的?生：估算可以有什么方法，如果可以有方法的话，能把它们分类吗?师：大家提了这么多、这么好的问题，北京有一个学生曾经向吴老师提过这样的问题：吴老师，在什么情况下我们就要估一估?在什么情况下，我们就可以精确计算啊?同学们你们遇到过这样的问题吗?生：遇到过。师：今天我们就带着这些问题一起来研究。请同学们看大屏幕。二、在经验积累中引入估算 (屏幕出示：青青同学和妈妈一起到超市购物的情景。 “我是青青，我和妈妈去超市了，欢迎大家和我们一起去。”)师：同学们，你们一定也有过和爸爸妈妈一起购物的经历。青青和妈妈购了五种商品(屏幕出示五种商品及其价格：48元、1 6元、23元、69元、31元)。妈妈的问题是带200元钱够不够?(屏幕出现收银员正将商品价格输入计算机的画面)收银员的问题是怎样把这些数据输入计算机中，我想让同学们讨论的问题是“在下列哪种情况下，使用估算比精确计算更有意义?”独立思考，做判断。1当青青想确认200元钱是不是够用时；2当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；3当青青被告知应付多少钱时。 (生用手势表明自己的观点。)多数同学选择1，有两个同学选择3。师：请问这两位同学，假如你买东西的时候花了1 68元。收银员估了估告诉你大约就交200元吧，你交吗?(两名同学不好意思地笑了：不交)师：当青青被告诉交多少钱时，你们认为应该精确计算还是估算呢?生：交钱的时候，花多少就得交多少，不多也不少。还是得精确算出来。众生：就是嘛!师：对啊，当售货员告诉顾客多少钱时一定是个很精确的数据。而当妈妈要确认带200元够不够时，采用估一估的方法，知道五种商品大约花了多少钱就可以了。同学们，是这样吗?同学们会心地笑了。三、在探究估算的方法中，体验估算方法的多样性师：曹冲称象的故事大家一定都熟悉吧?(屏幕出示曹冲称象的故事情境)当这两幅画面出现时，老师提问：你发现了什么?生：大象和石头同样重。师：你从画面上怎么知道的呢?生：大象和石头放在船上时，标记与水面的位置是一样的。师：你很会观察。师：既然相等这样我们称称石头有多重，不就可以知道大象的质量了吗?众生：对呀!(屏幕上出现曹冲称石头的画面，并出示六次称得的数据：328，346，307，377，398，352)师：你能估计一下这头大象有多重吗?怎样估计出这头大象的质量?有没有同学愿意到前面来，把你估的结果或算的过程写出来?其他同学在练习本上简单记录出你算的过程。 (生开始估算，师巡视)1整理估算方法在学生独立思考的基础上，引导学生交流，总结各种估算方法的不同特点。小估师：(指着黑板上的答案)我们一起来看一看这几个同学是怎么算的。(指着第1个同学的答案：30061 800)这是谁写的?能把你刚才估的方法解答一下吗?生：我觉得可以把每次石头的重量看成300千克。师：本来都是300多的，他都看成是300整，可以吗?众生：可以。师：明明每次称的结果都是三百多，而这位同学却把这6个数都看成比它们小的3，这种往小里估的方法，你们给这种估法起个名字吧。生：往小里估。生：小估。(众生大笑)师顺势说：小估就小估呗!我们把这个同学的估算方法叫做“小估”。(教师用红色的粉笔在该算式上面标记“小估)大估几位学生的板演是无序的，教师在帮助提炼总结中却有顺序。教师跃过其他算式，指着黑板右下角的算式提问：4006=2400这是谁写的?你把这些数生：往大里估。 师：你把这些数都看成多少了?生：我把它们都看成了400。一共有6个，就是4006得到2 400。师：他是往大处估了，也可以。(未等老师说完，众声已喊出：大估) (教师在4006=2400算式上面标记“大估)(教师继续指着另一个算式：300+300+300+400+400+400=2 100)师：我们来看这是谁估的?人家要么大估，要么小估，你又小估又大估，什么意思?生：大估小估。师：好，我们就叫它“大小估。中估师： (指着3506=2 100)这是谁写的?你是怎么想的?解答一下你的算法。生：我把每一个石头的质量看成350。师：你为什么把这6个数都看成350呢?生：328，346，307比350小，但它们接近350，377，398，352虽然都比350大，但也接近它。我就取了一个中间的整十数。师：刚才同学们有大估的，有小估的，你既不往大估也不往小估 众生：中估。(同学们笑声响起)四下五上师：(指着330+350+300+380+400+350=2110)你是怎么想的?生：嗯，我是近估的。把这些数全都看成离它最近的一个整十数，然后再加起来。师：你把328看做了330，把352看做了3 50，是吗?也就是接近那个数的整十数，对吧?(教师面向全班：大家有问题吗?)(同学们没有反应)师：我可有个问题要问这位同学，你为什么把328看作330，而不看作320；把352看作350，而不看作360呢?在你的，心目中一定已经悄悄地有了一把尺子，对吗?生：328的个位上是8了，我就往前升一个。352个位是2，我就不要了。师：那么如果遇到个位上是6呢?7，8，9呢?众生：往上升。师：如果是0，1，2，3，4呢?众生：往下降。师：如果是5呢?众生：都可以。师：看来，其实在同学们心中已悄悄有了标准。就是遇到个位上是0，1，2，3，4时，就(众生：下去)遇到个位上是5，6，7，8，9时，就(众生：向前升一个)师：在刚才估算的时候，其实同学们运用了一个很好的方法，你们知道是什么吗?生1：四下五上估。生2：四舍五入估。师：对，同学们说的是近估，就是更接近整十数的方法估。在估的过程中用到了四舍五入的方法，以后我们还要学习它。凑调估师：这是谁写的?师：(指着3007)为什么不是3006，而是3007呢?明明是6个数，你怎么整出来7个数呢?你是怎么想的?生：表面上看有6个数，但是我又把每个数取走300后，剩余的凑在了一起，像28，46，77凑合凑合又是一个300，这样大约是7个300了。师：你为什么这样估?生：我想它一定比6个300更接近准确值吧! (教师带头鼓起掌。掌声、笑声响起，同学们投去羡慕的目光)师：噢，把多余的数凑在一起，差不多又是1个300了，再乘以7就是2 100。在估算的过程中你又凑一凑，又调一调，因此得出了与众不同的7个300。这个估法该叫什么啊?生：凑估。师：凑估，有道理!在凑的过程当中，还有了一些调整。一生喊：调估。师：也有道理!这一凑一调就使估的结果更接近准确值，看来这个与众不同的方法还很重要啊!(“凑调估三个字跃然在黑板上。教师用红色的粉笔在该算式旁边画了个“”)精确计算 (教师指着黑板上书写中最后一个离开的同学的算式：328+346+307+377+398+ 352=2108)师：这是谁写的?说说你是怎么算的?生：这6个数一个一个加起来，最后得2108千克。师：你为什么这样算呢?生：这样算比他们算得要准确。师：同学们有什么想法吗?生1：这样计算虽然准确，但是算得太慢了。生2：这样计算虽然准确，但是太麻烦。这里只需知道大象大约有多重就可以了，精确计算没必要。(师转身向该生：你听了同学们的发言，有什么想法?)生：我还是觉得我的计算比他们的准确。师：好，看来你还是坚持自己的想法。没关系，到底是估算好?还是准确计算好呢?我们慢慢体会。师：刚才上课时候大家问估算有什么方法啊，怎么估啊，我们一起来总结一下。(黑板上学生的算式是无序的，但是教师手指的红色粉笔字却提炼出了基本方法。随着教鞭的移动，学生有序地读出：小估、大估中估、大小估、四上五下估、凑调估)师：你看估算的方法有好多啊!但是，还有的同学是精确计算，尽管慢了，可也算完了。其实我们就要慢慢地积累经验。在学习估算的过程当中，会碰到很多的情况，到底怎样估更好?我认为同学们的方法都蛮好的。2在比较中反思提升师：在你们估的时候，电脑也悄悄地计算出来了。(屏幕出示两个答案：20 108千克 2 108千克)，你们觉得哪个答案有可能对?用手势表决吧!你们都把第一个答案淘汰了，为什么啊？ 生：不可能，大象根本不可能是20 108千克。师：大象不可能这么重，你从生活经验出发考虑，可以。有不同的思路吗?生：我们估算的结果是两千多，可是怎么会弄出一个两万多?师：你是利用同学们估的结果来判断的。你能借助他人的经验来思考问题，好。还有不同想法吗?生：我是大估的，大估才估成了2 400，怎么可能比大估的结果还大呢，不可能。师：听出点儿什么了吗?这个同学说，大估了才是2 400，6个400最多也就到哪一位上?生：千位，不可能到万位。师：你们听懂了没有?这位同学是从大估的结果的最高位是千位来判断，不可能是五位数。师：我觉得这几个同学的发言都挺有道理的。有的同学从实际出发，大象不可能那么重；有的同学借助大家估算的经验；还有的同学从估算的角度去思考问题也蛮好的。估算又一次帮助我们进行了选择。师：我们继续研究，我告诉大家，精确值是2 108千克。同学们，看着这个精确计算的结果，再看看同学们估的结果：2400，2 100，2 080，1 800此时此刻，你想对刚才自己的估算结果作一点评价或思考吗?生：我估的是1 800。但是我觉得我估得太少了，那些数当中有一个是3 98，我把它估成300了，与实际结果差的就远些了，现在我觉得应该估成400就更好了，我估少了。师：你很善于思考，其实你估的结果已经可以了。但是你还能在与他人的比较中发现问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。生：我估的是2 110。我觉得我估的还挺准的，因为和答案比较接近。师：你是怎么估的?生：我是四下五上估的。师：哎呀，这是经验之谈啊。大估你在哪呢?你一定有感而发，说说看。生：我感觉我估大了。我把307这样的数看成400了，估得有些远了。如果缩小一点，可能就估得准一点。我很佩服“凑调估，人家在估算中还能调整调整，这样估比较接近准确值。(教师又一次带头鼓起掌，全班掌声响起来)师：其实你已经很不错了，你不仅主动反思自己的结果离得远了点，更让我感动的是你还在反思中发自内心地去欣赏别人，发现同学们好的方法，这样学习进步会更快。师：好了，同学们，你们做出了很好的自我评价。那么，用精算的那两个同学你们算对了吗?生1：我觉得这些数相加的确不是很好算，再说求大象的体重，没有必要精算。我那样一个数一个数地算太麻烦了，太慢了。这时用估算还是比我的方法好。师：你发现问你大象大概重多少不需要精算，估算就得了呗，是吧?(生1点头)感谢你(师对学生鞠躬表示感谢，台下听课教师顿时掌声雷鸣)终于在讨论交流中，接受了估算的方法。师：你呢?生2：我还是觉得精算好。师：好，你继续精算吧。四、在问题解决中感悟、体验估算的价值1在问题解决中体会估算的价值师：学习估算又什么用处呢?我们带着问题继续研究。 (屏幕出示问题：350名同学要外出参观，有7辆车，每辆车5 6个座位，估一估够不够坐?)拿出笔来在你的草稿纸上写一写，估一估7辆车到底够不够呢?(师巡视并与个别学生交流)师：我先问够还是不够?生：够，太够了。师：太够了是什么意思?你是怎么估的?生：我是把56个座位看成50个，507=350，350=350，看50个座位都够了，实际每辆车有56个座位，所以太够了。师：噢，噢。原来太够了是这样的意思。(教师不住地点头，启发同学理解太够了的意思)生：我是大估的。把56看成了60，六七四十二，607=420。所以够用。 师：你用了一个乘法口诀，把口算也用上了，这样帮你估得更快。生：我觉得我可以把56看成5 5，然后55再乘以7。师：好。你们既然有这么多的估算方法，那么对于这道题目，你们认为小估好一点，还是大估好一点? (生手势选择小估)为什么遇到这种题要小估呢?有什么经验吗?生：因为小估成50个座位都够了，按实际的56来计算就更够了。师：为什么不选择大估呢?生：本来每辆车只有56个座位，你估成60个了，万一人来的多了，就有可能不够。 (教师抓住了“万一这个词)师：“万一”这词挺重要的。你看，本来是56个座位，你估成60了，那4个有吗?(生：没有)7辆车，就多算了28个座位。本来没有这28个座位，万一人数再多一点，就有可能怎么样? (众生：不够了)所以我们在估的时候要向这个同学学习，要考虑“万一”的情况。如果在这种情况下，就比较保险。其实学数学的人，需要养成一种严谨的思 维，要考虑到“万一”的情况。如果人数再多一点，“万一碰到那样的情况，可就真的不够。所以，在这种情况下，你们说小估好还是大估好?生：小估好，小估保险。车重986千克，这辆车可以过桥吗?师：从这幅图中，你获得什么信息?(略) (生独立思考片刻后)师：这辆车可以安全过桥吗?你是怎么估算的?生：我用3006=1800。师：也就是说你把每箱285千克看成了生：看成了每箱30O千克，就是先算这辆车运的货大约是1800千克，然后再算1800加上986。师：986可以怎么样?生：把车重986千克看成1000千克，约等于2800千克。师：大约是2800千克，就能通过了。这个同学的想法行不行?那为什么不把285看成200啊?生：那样小估不保险。把285千克看作200千克能过去了。但是如果遇到万一的情况可就不保险了。师：同学们，像这样的情况下你们说是大估好还是小估好?生：大估。大估比较保险。2在估算方法的比较中积累经验师：有问题吗?众生摇头：没问题。师：我可有问题了，刚才估座位你们说大估保险，现在估过桥问题你们又说小估好。到底大估好，还是小估好?再遇到第三种情况怎么办?我也糊涂了。生1：大估、小估都好。但要看用在什么地方。该用大估就大估，该用小估就小估。生2：那可要看情况了，不同的情况采取不同的估算方法。师：是啊，你们说的真好，我们总结了这么多估算的方法，确实要看具体情况而决定用什么样的估算方法。学到这儿，我们算悟出了点儿味道。判断哪个答案可能是正确的?2084=A8 032 B823 C832(教学过程略)同学们一致选择C。师：为什么选择C呢?生：四八三十二，个位上应是2。师：A的尾数不也是2吗?为什么不选?生：我把208估成200，4个200最高位顶多是百位，不可能是四位的啊。师：此话在理!五、课堂小结师：同学们，一节课就这样过来了，你有哪些收获吗?生：我认为今天学了估算，所有的计算都变简单了。师：其实学习数学就是帮助你们把复杂的事情变简单。生：估算真神奇!能把一个复杂的数估成多种不同的数，方法不同，但估的结果都差不多，而且很快速。生：我知道什么时候需要用到估算，而且用的时候还特别恰当。师：你说的“恰当”是什么意思?生：该大估的时候就大估，该小估的时候就小估，选择合理的方法。师：好极了。生：我觉得估算有好多方法我都学到了，我很开心，我觉得用估算做一些题很简便。生：我觉得估算特别奥妙，能解决我们生活中的实际问题，而且我们都得灵活巧用。师：灵活巧用就是智慧，你的感悟很深刻!我们都来做充满智慧的孩子。 (开始坚持用估算的那位同学突然站了起来，抢着表明观点：估算有好处，但是也不能什么事都估算啊。我觉得一些人命关天的事，还是精算比较好)师：这是我们可爱的“精算啊。你说的真对，我赞同你的观点。像这种人命关天的大事是一就一，是二就二，该精还得精。但有时候不需要准确计算，估一估就可以了，何必去精算呢?同意吗?什么时该精什么时候该估，自己要学会选择和调整。经验需要慢慢地积累。生：我还学到了什么时候用哪种方法，要学会具体问题具体分析。 师：你真棒，具体情况具体分析，多么深刻的感悟啊!生：我觉得今天上的这节课挺有趣的，我很开心。师：谢谢你和同学们给了我这么多快乐!我的思考与观点“尴尬的估算并不尴尬为什么吴老师能将“尴尬的估算”变为“快乐的估算”?是因吴老师非常有人格魅力?是因为吴老师是全国著名特级教师?这一系列问题迫使我们来思考，来追问：“估算”到底怎样教才能有效?一、有效教学的根本：“我们带着问题一起来研究一般说来，估算教学之所以尴尬的首要原因是学生体验不到“算”的必要性，不能自主选择何时估算何时精确计算。教学常常是为了“估算”，而“估算”，为了估算方法的多样化而多样化，将“估算”看一种具体的技能来教。例如，教学中常常让学生解决这样的问题：“每个足球78元，买2个足球，请你估计1 50元够吗?”请估算“388+120“388+110”的和是多少。或者“一班学生238人，二班学生158个学生，399个座位够吗?”等类似的问题。由此，教学的现实必然是“老师让我们估我们就估，老师让我们精确计算我们就精确计算”。我们返观吴老师的教学，她首先提出问题：师：关于估算，在学习过程中你碰到过什么困难，或者你还有什么问题想问吴老师?生：为什么要估算呢?生：估算可以有什么方法，如果可以有方法的话，能把它们分类吗? 当学生的“问题”还不“充分”时，吴老师又机智地借其他学之口提出另一个重要的问题：师：大家提了这么多、这么好的问题，北京有一个学生曾经向吴老师提过这样的问题：吴老师，在什么情况下我们就要估一估?在什么情况下，我们就可以精确计算呢?同学们你们遇到过这样的问题吗?今天我们就带着这些问题一起来研究。老师的提问朴实自然，这个问题既基于学生已有的学习经验，又顺应了教学的根本：真正的思维基于“问题”。正如杜威所言：真正的思维(反省思维)起源于某种疑惑、迷乱或怀疑。思维的发生不是依据普遍的原则，而是由某种事物作为诱因而发生。学生的“问题”亦真实自然，任何人的学习都是有目的性的，即“为什么学习这个内容?有什么好的学习方法?我们能否了解事情发展的来龙去脉?”当学生带着这些“问题”来学习，而教师的教学设计又满足了学生的这些“基本需要”时，教学必然是有“过程”的，师与生必然都是有体验的、真正参与的，从而也是都有收获的。正是基于这种朴素与自然的提问，整个教学过程中师生的交流对话、思维活动如山川中的小溪流水：清新、流畅、毫无矫揉造作之势，给听课者的感觉则是“一种享受”。二、探究多种估算方法：“估算的大教育价值观估算教学的另一核心点是如何处理估算方法的“多样化”，即课堂教学中是否有必要将多种估算方法“一一呈现”?学生可否“想怎么估就怎么估”?如何评价学生的多种答案?其教学价值仅仅为了得出一个正确答案吗?在吴老师的教学中，基于学生对“数”的感觉以及运算的理解，教师与学生共同探讨得出多种不同的估算方法：小估、大估、中估、大小估、四下五上估、凑调估。教师轻松、幽默、自然的话语，使得学生对估算的多种不同方法有深刻的理解。后来我又听过另一位老师的“估算”课，也许是借鉴了吴老师的估算教学，该老师也让学生给自己的估算方法起“名字”，但当时给听课者的感觉不是“幽默”而好像是“搞笑”。为什么呢?除了吴老师对学生发自内心的爱、吴老师与学生之间的和谐融洽的关系外，更重要的是吴老师的估算教学渗透传递给学生的是一种大教育价值观：学习数学多有趣啊；数学学习一点儿都不难，你们自己就在创造数学(数学学习观)；别看就是简单的估算，它需要灵活运用所学过的知识，数学知识之间都是有联系的(数学观)。尤为重要的是，在吴老师的课堂上，老师引导学生对多种估算方法的“二次反思”：生：我估的是1 800。但是我觉得我估得太少了，那些数当中有一个是398，我把它估成300了，与实际结果差得就远些了。现在我觉得应该估成400就更好了，我估少了。师：你很善于思考，其实你估的结果已经可以了，但是你还能在与他人的比较中发现问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。 生：我感觉我估大了。我把307这样的数看成400了，估得有些远了。如果缩小一点，可能就估得准一点。我很佩服“凑调估”，人家在估算中还能调整调整，这样估比较接近准确值。对多种估算方法的“二次反思”，其教育价值是培养学生的认知能力：对自己或他人认识过程的再认识，即“二次”比较分析各种估算方法的优势与不足，学会了解、监控、调节自己的思维过程，逐步学会认识自己、欣赏他人。这种“二次反思”对提升学生的思维水平、培养学生优秀的人格品质都具有重要的意义，而这一点常常被一线教师所忽视。吴老师在处理估算方法多样化时正是抓住了“多样化”的上述教育价值，所以课堂氛围幽默自然，教学效果卓有成效。而另一位老师强调的仅仅是不同的估算方法，是作为一种技能教给学生。因此，做大气的小学数学教师，“大气”在于多思考教学行为背后的大教育价值观，而非局限在简单的技能和技巧的运用上。幽默是一种智慧，智慧来自于真诚与善良!三、问题情境的创设：“好问题落在学生的“最近发展区内在理清教学目标与隐性的教学价值、激发起学生学习的愿望后设计有效的问题是实现探究性学习的必由之路。吴老师设计了这样几个情境：“青青购物”(准备钱、付款)“曹冲称象”“春游租车”“安全过桥”等，这些看似平凡的情境为什么在吴老师的课堂上就如此精彩?首先，这些情境对学生来说都是非常熟悉的，在熟悉的并能够引发思考的情境中学习，学生感觉非常自然，能够有思维地真正投入，并且使学生体验到解决数学问题是一件非常有趣、非常有用的事情。其次，这些情境的目的性非常明确。“青青购物”：感受估算与精确计算的价值；“曹冲称象”：探究、发现各种不同的估算方法，