何长庆发来的.doc

微分中值定理的介绍与证明微分中值定理是一系列中值定理总称，其中有罗尔定理，费马定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。微分中值定理是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。 1罗尔定理内容如果函数f(x)满足：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(am，由条件f(a)=f(b)知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)=f(b)，不妨设Mf(a)（如果设mf(a)，证法完全类似），那么必定在开区间(a,b)内有一点使f()=M。因此，xa，b，有f(x) f()，由费马引理（fermat引理）可知。即：由于f(x)在处最大，故不论x是正或负，总有设，则故由极限的保号性有（1）而当时，故（2）由(1)，(2)两式及存在知，必有2费马定理内容设函数f(x)在处取得极值且f(x)在点处可导则f()=0.推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到且f(x)在点c处可导则f(c)=0.证明3拉格朗日中值定理1内容若函数f(x)在区间a,b满足以下条件：(1)在a,b连续(2)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点f(c)=f(b)-f(a)/(b-a) acb，或使 公式f(b)-f(a)=f(c)(b-a) 成立，其中acb1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a,f(a)和(b,f(b)点的连线平行）。f()=f(b)-f(a)/（b-a），等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。2.我们将f(x)函数求导，得到f(x)，众所周知f(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f(x2)的变化。函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f(x)的某一点上出现过（即f()），因为f(x)连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【 】。即所谓的必有一 ，使f()*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。2、其它形式 拉格朗日中值定理的几何意义令f(x)为y，则该公式可写成y=f(x+x)*x (01)上式给出了自变量取得的有限增量x时，函数增量y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。f(b)-f(a)=f(a+(b-a)（b-a）,01.f(a+h)-f(a)=f(a+h)h,013、几何意义若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a),B(b,f(b)两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。4、物理意义对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。5 证明构造辅助函数 ,则 由此可得在闭区间上连续 . 由此可得在开区间内也可导.又由,. 可得.综上所述,可知满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点.使得.故.4柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。内容设函数f(x),g(x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间（a，b）内可导；对任一x（a,b）有g(x）0，则存在（a,b），使得f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f（）/g（）证明作辅助函数F(x)=f(x)-f(b)-f(a)-f(b)g(x)-g(b)/g(a)-g(b)显然，F(a)=F(b)=0由罗尔中值定理知：存在（a,b），使得F（）=0.故F（）=f（）-f(a)-f(b)g（）/g(a)-g(b)=0，即f（）/g（）=f(a)-f(b)/g(a)-g(b)命题得证。几何意义若令u=f(x),v=g(x），这个形式可理解为参数方程，而f(a)-f(b)/g(a)-g(b)则是连接参数曲线的端点斜率，f（）/g（）表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所