6函数极限的求法探析王 鹏修改稿1.doc

Comment 向向向1 格式参看撰写印 制规范 1 目录 目录 1 摘要 4 第一章 引言 6 第二章 一元函数极限的概念和求法探析 8 2 1 一元函数极限的定义 8 2 2 一元函数极限的求解方法 8 2 2 1 直接代入法求函数极限 8 2 2 2 利用换元法求函数极限 9 2 2 3 利用极限的四则运算求函数极限 9 2 2 4 利用函数极限的存在性定理求极限 10 2 2 5 利用两个重要极限求函数极限 11 2 2 6 利用 L Hospital 法则求函数极限 12 2 2 7 利用夹逼法求函数极限 18 2 2 8 利用函数的连续性求函数极限 19 2 2 9 利用泰勒公式求函数极限 19 2 2 10 利用级数法求函数极限 20 2 2 11 利用微分中值定理求函数极限 20 2 2 12 利用积分中值定理求函数极限 21 第三章 二元函数极限的概念和求法探析 22 2 3 1 二元函数极限的定义 22 3 1 1 二元函数极限存在的充分条件 23 3 1 2 二元函数极限存在的必要条件 24 3 1 3 二元函数极限存在的充要条件 24 3 1 4 二元函数极限不存在的判定 24 3 1 5 累次极限法 25 3 1 6 极坐标判别法 25 3 2 二元函数极限的求法 26 3 2 1 利用二元函数的极限的定义求极限 26 3 2 2 利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 27 3 2 3 利用二元函数的连续性及极限的运算法则求解 28 3 2 4 利用类似一元函数求极限的方法求解 29 3 2 5 利用一元函数极限中等价无穷小量替换求解 30 3 2 6 利用取对数法求函数极限 31 3 2 8 利用极限的四则运算求解 32 3 2 9 利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 32 第四章 多元函数极限的概念和求法探析 33 4 1 多元函数极限的定义 33 4 2 多元函数极限的求法 33 4 3 求多元函数极限的一个设想 38 3 参考文献 43 致 谢 43 4 函数极限的求法探析 摘 要 函数极限是数学分析中较重要的一种运算 本文通过实例论述总结了求一元 二元 多元函数极限的方法以及二元函数极限存在性的判定方法 并提出了对多 元函数极限求法的一种设想 关键词 函数定义 一元函数 二元函数 多元函数 函数极限 夹逼准 则 单调有界准则 洛必达法则 微分中值定理 积分中值定理 5 THE METHODS FOR FINDING THE LIMIT OF FUNCTIONS Abstract Function limit is more important in mathematical analysis is a kind of arithmetic this paper by the example summarizes the unary binary function and function of several variables limit method and dual function of the existence of the limit of the determination methods and puts forward the method of multivariate function limit of an idea Key words function definition one variables function two variables function function of several variables limit of function squeeze rulerule of monotone bounded L Hospital s rule differential mean value theorem mean value theorem of integrals Comment 向向向2 引言应包括毕 业论文选题的背景 目的和 意义 多参看文献 作修改 Comment 向向向3 不要 Comment 向向向4 Comment 向向向5 语意不通顺 Comment 向向向6 与数学分析冲突 Comment 向向向7 不要 Comment 向向向8 以下内容不写在 引言中 Comment 向向向9 约去零因式 Comment 向向向10 论文中避免口语 Comment 向向向11 空两格 参看撰 写印制规范 下同 Comment 向向向12 语意不通顺 6 第一章 引 言 极限是研究变量变化趋势的基本工具 数学分析 中许多基本概念 如连 续 导数 定积分 无穷级数等都是建立在极限的基础上 极限方法又是研究函 数的一种最基本的方法 因此学好极限在高等数学学习中具有重要意义 由于求 函数极限的方法较多 但每种方法都有其局限性 都不是万能的 因此对某个具 体的求极限的问题 我们应该选用恰当的方法去解答 本文介绍了一些求一元 二元及多元函数求极限的一些方法 例如 直接代入法求极限 利用函数连续性 四则运算 两个重要极限 等价无穷小量代替 洛必达法则 夹逼准则 泰勒展 式 微分中值定理 定积分 级数法 积分中值定理等等来求极限 运用这些方 法时应该注意一些细节问题 在利用定义求解的关键在于不等式的建立 在求解 过程中往往采用放大 缩小等技巧 运用连续性求极限时 在定义域范围内求极 限 可以将该点直接代入得极限值 因为连续函数的极限值就等于在该点的函数 值 运用极限四则运算时 要注意分子分母有理化 当然对于简单的一类 直接 代入 如果代入后分母为零 就化简 比如分解因式 然后代入其中 当极限形 式中含有三角函数时 这时我们一般可通过三角公式恒等变换形和等价变换 然 后利用重要极限来求解 在运用重要极限求极限时 0 sin lim1 x x x 1 lim 1 x x e x 可通过配系数法 变量替换来转换成型极限 在利用等价无穷小量求极限时 1 那就要求要先熟记几个替换了 如 也要注tan 0 xx x sin 0 xx x 意到只有对所求函数式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替换 而对于极 限式中的相加或相减的部分则不能随便替换 而在运用夹逼准则时 关键在于构 建两个函数 xgxf和 在求极限的过程中 会经常发现一道题可以运用多种方法解答 因此给我们的启 示是每种方法之间都有一定的联系 那我们在解题时 最常用的方法是洛必达法 则 等价无穷小代换 两个重要极限公式 在做题时 如果是分子或分母的一个 因子部分 如果在某一过程中 可以得出一个不为 0 的常数值时 我们常用数值 直接代替 进行化简 也可以用等价无穷小代换进行化简 化简之后再考虑用洛 必达法则 对 0 0 和 型的 用洛必达法则 还有一些待定型函数的极限 7 先化为 0 0 或的再用此法则 求极限必须是在极限存在的前提下进行的 根 据不同的形式可以选择不同的计算方法 合理利用各种计算方法 亦可进行适当 的结合 使得求极限的方法更明了 算法更加简单 Comment 向向向13 不要 Comment 向向向14 文中所有字母 公式须用公式编辑器编写 Comment 向向向15 调整格式 Comment 向向向16 参看撰写印制规 范 注意公式格式 Comment 向向向17 空两格 Comment 向向向18 Comment 向向向19 简单介绍方法 不举例 Comment 向向向20 注意例题格式 8 第二章 一元函数的极限的求法探析 首先我们回顾一下函数极限的定义 定义 1 1 设为定义在上的函数 为定数 若对任给的0 存f a A 在正数 使得当 M 时有 则称函数当趋于 时 M a xAxf fx 以为极限 记作 A x lim AxfAxf x 或 定义 2 1 设函数在点的某个空心领域内有定义 为定f 0 x 0 0 Ux A 数 若对任给的0 存在正数 使得当时有 0 0 xx fxA 则称函数当趋于时 以为极限 记作fx 0 xA 0 0 lim x xx f xAf xAx 或 下面我们以相关的概念 定理及公式为依据 解决常见函数极限的求解方法 2 2 1 直接带入法 适用于分子 分母的极限不同时为零或不同时为 例 2 1 求 2 2 2 5 lim 31 x xx x 解 由于 222 2222 lim2 52limlimlim52 22 55 xxxx xxxx 222 lim 31 3limlim1 3 2 17 xxx xx 所以采用直接代入法有 原式 2 2 2 2 lim 25 2 22 55 lim 313 2 17 x x xx x Comment 向向向21 简单介绍方法 不举例 Comment 向向向22 定义 定理严格 参看分析书 作到严密 准确 全文 有误处修改 9 2 2 2 利用换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时 可采用换元的方法加以变形 使 之简化易求 例 2 2 求 1 1 ln lim x x x xx 解 令 1 lnln1 x txxxt 则 00 1 11 limlim1 ln1lnln1 lim x tt x xt txxt t 2 2 3 利用极限的四则运算法则来求极限 定理 1 1 若极限都存在 则函数 00 limlim xxxx f xg x 和 xf xg xgxf 当时也存在 且有 0 xx limlimlim 0 00 xgxfxgxf xxxxx limlimlim 000 xgxfxgxf xxxxxx 又若 则在时也存在 且有 0 lim 0 xg xx xg xf 0 xx lim lim lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx 总的来说就是函数的和 差 积 商的极限等于函数极限的和 差 积 商 注 利用极限的四则运算法则求极限 条件是每项或每个因子极限存在 一 般所给的变量不都满足这个条件 如 等情况 都不能直接用四则运算法则 0 0 必须要对变量变形 进行设法消去分子 分母中的零因子 在变形时 要熟练掌 握饮因式分解 有理化运算等恒等变形 例 2 3 求 2 4 2 2 lim x x x Comment 向向向23 与 重复 Comment 向向向24 调整格式 10 解 原式 22 22 24 2 limlim xx xx x x 例 2 4 求 32 2 1 2 1 lim 1 x xx x 解 32 32 1 2 2 1 1 lim 2 1 2 1 lim 1lim1 x x x xx xx xx 32 111 2 11 2 limlimlim1 2 1 1 2 1 1 limlim1 xxx xx xx x 2 2 4 利用函数极限的存在性定理求极限 定理 2 1 设在的某空心邻域内恒有 g x f x h x 且有 0 x Axhxg xxxx lim lim 00 则极限 存在 且有 lim 0 xf xx Axf xx lim 0 例 2 5 求 的极限 x n x a x lim 1 0an 解 当 x 1 时 存在唯一的正整数 k 使得 k x k 1 于是当 n 0 的时候有 1 nn xk xk aa 以及 aa k a k a x k n k n x n 1 1 Comment 向向向25 不要 Comment 向向向26 格式 Comment 向向向27 例题过于简单 考虑选用技巧性强 新颖 考研题较 好 全文同 11 又因为当 x时 k 有 1 1 1 limlim00 nn kk kk kk aa aa 及 1 11 limlim00 nn kk kk kk aaaa 则 lim0 n x x x a 小结 利用函数的基本性质来求解函数极限对一些特定的函数极限的求解有着十 分重要的作用 熟悉了解函数的基本性质是解决此类函数极限方法的重要前提 2 2 5 利用两个重要的极限来求函数的极限 利用来求极限 1 sin lim 0 x x x 的扩展形为 1 sin lim 0 x x x 令 当或时 则有 0 xg 0 xx x 或 1 sin lim 0 xg xg xx 1 sin lim xg xg x 例 2 6 x x x sin lim 解 令 则 且当时 xt sin sin sinxtt x0 t 故 1 sinsin limlim 0 t t x x tx 例 2 7 求 1 1sin 2 1 lim x x x 解 原式 2 1 1sin 1 11 1sin1 2 2 1 2 1 limlim x x x xx xx xx 利用来求极限 e x x 1 1 lim Comment 向向向28 调整格式 Comment 向向向29 内容过多 选择 重点 精简 12 的另一种形式为 事实上 令 e x x 1 1 lim 1 0 1 lim e 1 x x 所以 0 x x x e 1 1 lim e 1 0 1 lim 例 2 8 求的极限 x x x 1 0 21 lim 解 原式 11 2 2 2 00 1 21 2 limlim xx xx xxe 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式 只有形 式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式条件时才能够运用此方法来求极限 一般常用的方法是换元法和配指数法 2 2 6 利用 洛必达法则 的有关定理求极限 定理 3 1 若函数与满足下列条件 xf xg 0 lim 0 xx f x 0 lim 0 xx g x 与在点的某空心邻域内两者都可导 且 f x g x 0 x 0 0 Ux 0g x A 可为实数 也可为 则 0 lim xx f x A g x 或 00 limlim xxxx f xf x A g xg x 定理 4 1 若函数与满足下列条件 xf xg 0 lim xx f x 0 lim xx g x 与在点的某一邻域内可导 且 f x g x 0 x 0g x 则 0 lim xx f x A g x 00 limlim xxxx f xf x A g xg x 定理 3 和定理 4 可以接连应用几次 只要 等满足定 fx g x fx g x Comment 向向向30 不要 13 理的条件即可 除了型和型未定式 还有 1 00 0 等几种类型的 0 0 0 未定式 这些未定式均可以化为型或型未定式来计算 0 0 1 0型未定式当或时 若 则 0 xx 0f x g x 或 xg xf xgxf 1 xf xg xgxf 1 这样 型未定式就变为型或型未定式 0 0 0 2 型未定式 当或时 若 0 xx f x g x 则 xgxf xgxf xgxf 11 11 这样 型未定式就变为型未定式 0 0 3 型未定式 00 1 0 当或时 若 或 或 或 0 xx 1f x 0f x f x g x 则 0g x 或 ln ln g x f xg xf x ln g x g xf x f xe 这样型未定式变为型未定式 再用 1 的方法即可变为型或 00 1 0 0 0 0 型未定式 就可利用洛必达法则进行求解 14 例 2 9 求 0 0lim 0 ba x ba xx x 解 此极限为型 满足洛必达法则条件 0 0 b a ba bbaa x ba x ba xx x xx x xx x lnlnln 1 lnln limlimlim 0 00 例 2 10 求 0 ln arcsin lim cot x x x 解 此极限为型 满足洛必达法则条件 注意到 则sin xxarcsin xx 2 2 22 0000 2 1 ln arcsin sin arcsin1 limlimlimlim0 1 cot arcsin11 sin xxxx xxx xx x xxx x 例 2 11 求 0 limln x xx 解 这是型未定式 由洛必达法则 0 0000 2 1 ln limlnlimlimlim 0 11xxxx x x xxx xx 例 2 12 求 2 0 11 lim tan x xxx 解 明显 本题为型未定式 那么首先将它化为型未定式 而后再 0 0 利用洛必达法则 223 000 11tantan limlimlimcos tantansin xxx xxxxx x xxxxxxx 15 22 2 000 sec12sectan1tan1 limlimlim 3633 xxx xxxx xxx 例 2 13 求 1 ln limarctan 2 x x x 解 本题为型 可以将其转化为型或型 0 0 0 0 令 则 此时已是型 1 ln arctan 2 x yx lnarctan 2 ln ln x y x lim ln x y 即有 2 2 1 1 lnarctan arctan 2 12 lim lnlimlimlim 1 ln arctan 2 xxxx x x x x x y x x x 22 2 2 2 2 2 12 1 1 limlim1 1 1 1 xx xx x x x x 所以 因此 1 lim x ye 1 ln 1 limarctan 2 x x xe 例 2 14 求 k 为常数 1 ln 0 sin lim k x x x 解 这是一个型的不定式极限 按上例变形的方法 先求型的极限 0 0 16 lim 0 x x xk ln1 sinln lim 0 x x x xk 1 sin cos lim 0 x x x xk sin cos k 然后得到 lim 0 x x k x ln1 sin k e0 k 当 0 时上面的结果仍成立 k 例 2 15 求 1 2 ln 1 lim x x xx 解 这是一个型的不定式极限 类似地 先求其对数的极限 型 0 1 lim x x xx ln 1ln 2 lim x x x 1 1 1 于是有 x x xx ln 1 2 1 lim e 例 2 16 求 2 1 0 lim cos x x x 解 这是一个型不定式极限 做恒等变形1 2 2 1 1 lncos cos x x xxe 其指数部分的极限是型不定式极限 可先求得 2 0 1 limlncos x x x 0 0 2 0 lncostan1 lim 22 x xx xx 从而得到 2 1 1 2 0 lim cos x x xe Comment 向向向31 考虑选换 17 另外 也可能用到重要极限来求 如1 1 0 lim 1 f x f x f x 11 1111 000 1 0 1 2 lim 1 lim 1 lim 1 222 lim 1 2 xx xxx x x xxx x e 洛必达法则是求未定式的一种有效的方法 但是最好是能与其他求极限的方 法结合使用 如能化简时尽可能化简 在这个过程中可以应用等价无穷小替代或 重要极限 这样可使运算简捷 最后 指出使用 L Hospital 法则时要注意的三个问题 第一 当不是型或型以及它们的变形时 不能使用法则 否则 0 lim xx g x f x 0 0 可能会造成错误 例 2 17 求 2 1 sin lim 1 cos x x x 解 这不是型 也不是型 它的极限为 0 0 22 1 sin 1 sin 2 limlim2 1 cos 1 cos 2 xx x x 若不问情况地贸然使用 L Hospital 法则 22 1 sincos limlim0 1 cossin xx xx xx 就会得出不正确的结果 因此 每次使用 L Hospital 法则之前都必须对极限的 类型加以检验 18 第二 L Hospital 法则只告诉我们 对于型或型 当存在 0 0 0 lim xx g x fx 时 它的值等于 当不存在时 仍可能存在 如 0 lim xx g x f x 0 lim xx g x fx 0 lim xx g x f x 虽然是型 但我们并不能根据当时 cos lim x xx x x 的极限不存在 就错误地得出也不存在的结论 cos 1 sin xx x x cos lim x xx x 事实上 显然有 cos lim1 x xx x 因此 不存在并不表示本身存在或不存在 它仅意 0 lim xx g x fx 0 lim xx g x f x 味着 此时不能使用 L Hospital 法则 而改用其他方法来讨论 0 lim xx g x f x 第三 L Hospital 法则并非万能 在少数情况下虽然满足 L Hospital 法 则的条件 但用它求解无效 如连续两次运用 L Hospital 法则又 lim xx xx x ee ee 回到原表达式 出现死循环 其实 此题直接计算非常方便 注 运用 L Hospital 法则时记着用等价无穷小量替代法化简 为此必须牢记一 些等价无穷小量 在做题时要注意积累 当时 0 x sintan1ln 1arcsinarctan x xxxexxx axa n x xxx xn ln 1 11 1ln 2 1 1 cos 11 2 a xxxax 运用此法时必须注意 加减项的无穷小量不能用等价无穷小量代换 必须是 两个无穷小量之比的形式或无穷小量作为极限式中的乘积因子 且代换后的极限 存在 才可使用等价无穷小量替代法 Comment 向向向32 有误 Comment 向向向33 简单介绍方法 不举例 19 2 2 7 利用夹逼准则求函数极限 定理 5 1 夹逼准则 设 且在某内有 f x Axgxf xxxx limlim 00 0 xU o h x g x 则 Axh xx lim 0 用这种方法求极限 关键在于选用合适的不等式 例 2 18 求x的极限 lim 0 x x 1 解 因为 1x 1 x 且 由迫敛性知 x 1 1 1 lim 0 x x 所以x 1 lim 0 x x 1 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数 并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限 2 2 8 利用函数的连续性求极限 求复合函数的极限时 只要里层函数的极限存在 外层函数在里层函数的极限 值处连续 极限记号就可以与函数记号交换运算次序 例 2 19 求 x x a x 1log lim 0 解 x a x a x x x x 1 00 1log 1log limlim e x a x x a log 1log 1 0 lim 2 2 9 利用泰勒公式求函数极限 由于泰勒公式的特殊形式 对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用 20 例 2 20 求lim 0 x 4 2 2 cos x ex x 解 本题可用洛比达法则来求解 但是运算过程比较繁琐 在这里可用泰勒公式 求解 考虑到极限式的分母为 我们用麦克劳林公式表示极限的分子 取 4 x n 4 1 xcos 2 2 x 24 4 x o 5 x 1 2 2 x e 2 2 x 8 5 4 xo x 2 2 cos x xe 12 4 x o 5 x 因而求得 lim 0 x 4 2 2 cos x ex x lim 0 x 12 1 12 1 4 54 x xox 2 2 10 利用级数法求函数极限 级数法求极限一般是利用麦克劳林级将 xRx f x f fxf n 2 2 0 1 0 0 函数展开 取有效部分求极限 例 1 21 求 656656 lim xxxx n 解 原式 3 11 6 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 22 6 1 6 1 lim lim xxxx xx x n n 2 2 11 利用微分中值定理求函数极限 例 2 22 求的极限 3 sin 0 22 lim x xx x Comment 向向向34 与上例重复 21 解 因为 sinsin 33 2222sin sin xxxx xx xxxx 由微分中值定理得 介于与之间 2ln2 sin 22 sin xx xx xxsin 原式 6 2ln 3 cos1 2ln2 sin sin 22 2 00 3 0 sin 0 limlimlimlim x x x xx xx xx xx x 例 2 23 求的极限 3 sin 0 22 lim x xx x 解 因为 3 sin 3 sin sin sin 2222 x xx xxx xxxx 由微分中值定理得 介于与之间 2ln2 sin 22 sin xx xx xxsin 原式 6 2ln 3 cos1 2ln2 sin sin 22 2 00 3 0 sin 0 limlimlimlim x x x xx xx xx xx x 2 2 12 利用积分中值定理求极限 积分中值定理求极限一般根据积分第一中值定理 1 若在上连续 则 xf ba 将某些积分的变量化为一般形式再求极限 ba ts abfdxxf b a 例 2 24 求dx x 1 0 3 0 1 1 lim 解 由积分中值定理可知 10 1 1 1 1 3 1 0 3 0 lim dx x Comment 向向向35 格式 Comment 向向向36 不要 Comment 向向向37 不要 Comment 向向向38 格式 Comment 向向向39 字母 公式有大 有小 统一调整格式 22 所以 1 1 1 1 1 3 0 1 0 3 0 limlim dx x 在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的 所以求极限时 首先观察函数 的形式 选择适当方法 只有方法得当 才能准确 快速 灵活的地求解极限 第三章 二元函数极限的求法探析 函数极限是高等数学中非常重要的内容 二元函数极限是在一元函数极限的基 础上推广得来的 二者之间既有区别又有联系 比如 在极限运算法则上它们是 一致的 但随着变量个数的增加 二元函数极限的求解比一元函数复杂的多 目 前 各类教材 教学参考书中 有关二元函数极限求法不够详细 不便于初学者 的学习与掌握 本文章着重在一元函数极限计算方法的基础上推广 得到二元函 数极限的求解方法 另外 本文还归纳了一些判断二元函数极限是否存在的定理 和方法 供读者参考 1 二元函数极限概念分析及其极限的存在性 定义1 2 设为定义在D上的二元函数 为D的一个聚点 A是一个确f 2 R 0 p 定的实数 若对任给的正数 总存在某正数 使得当P x y 0 U 0 P 时 都有D Apf 则称在D上当时 以A为极限 记作f 0 pp 0 lim pp fpA 定义2 2 设为定义在D上的二元函数 在的某空心邻域有定义 Af 2 Rf 0 p 是一个确定的实数 若对任给的正数 总存在某正数 对一切P x y 0 U 时 都有 0 PD Comment 向向向40 定义 定理严格 参看分析书 严密 准确 一种 Comment 向向向41 与二次极限统 一说法 23 Apf 则称在D上当时 以A为极限 记作f 0 pp 0 lim pp fpA 定义3 2 设二元函数在平面开区域 或闭区域 D有定义 fpf x y 是D的内点或边界点 A是一个确定的常数 若对任给的正数 总存 00 o pxy 在某正数 对一切P x y 时 都有 0 U 0 PD Apf 则称在D上当时 以A为极限 记作f 0 pp 0 lim pp fpA 在这三种定义中 定义2形式上与一元函数的极限完全一样 但是在一元函 数极限中 同时定义了左极限与右极限 在多元函数中同样也有这类边界点极限 的推广 综合起来就为定义1 所以定义2就有一定的局限性 而定义3虽然考虑 了边界点 但只是在开区域 或闭区域 D上定义的 所以也有它的局限性 注意 该定义是指以任何方式趋于时 函数都无限接近于A 因此 p x y 0 p 如果以某一特殊方式 如沿某一条直线 趋于时 函数无限趋于 p x y 0 p f x y 某一确定值 由此还不能确定该函 数的极限是存在的 但如果当以不同方式趋于时 函数趋于相同 的值 p x y 0 p f x y 则可断定此函数的极限是存在的 在二元函数极限中 二重极限与二次极限没有必然的联系 既使两个二次极 限存在且相等 也不能保证二重极限存在 反之亦然 它们之间的联系仅表现在 当在点的二重极限与某个累次极限都存在时 则它们必相等 f x y 000 p x y 并由此推出 若两个累次极限都存在但不相等 则二重极限必定不存在 下面给 出了一个利用累次极限来判定二重极限存在性的结论 也同时给出了利用累次极 限求二重极限的一种方法 3 1 1 二元函数极限存在的充分条件 24 为了给出下面的定理 先作如下定义 定义4 3 设二元函数在上 f x y 0 0 0 o DIJx yxxayyb 有定义 且在上有定义 若对任意正数 总存在某正数 当 g xI 时 对一切都有 则称关于一致的成立 0 0yy xI f x yg x xI 0 lim yy f x yg x 定理1 1 设二元函数在上有 f x y 0 0 0 o DIJx yxxayyb 定义 若 1 对任意的一致的成立 2 对 存xI 0 lim yy f x yg x yJ 在 则二重极限与两个累次极限 0 lim xx f x yh y 00 lim x yx y f x y 都存在且相等 0000 lim lim lim lim xx yyyy xx f x yf x y 3 1 2 二元函数极限存在的必要条件 定理2 1 设二元函数在上有 f x y 0 0 0 o DIJx yxxayyb 定义 且二重极限存在 若 1 对任意的 00 lim x yx y f x y xI 存在 2 对 存在 则 0 lim yy f x yg x yJ 000000 lim lim lim lim lim x yx yxxyyyy xx f x yf x yf x y 3 1 3 二元函数极限存在的充分必要条件 定理3 8 设二元函数在上有 f x y 0 0 0 o DIJx yxxayyb 定义 设 则的充要条件是 00 cos sinxxyy 00 lim x yx y f x yA 对任意的一致成立 00 0 lim cos sin f xyA 0 2 注意 对任意的一致收敛 结论一般不成立 0 2 3 1 4 二元函数极限不存在的判定 25 二元函数定义中 动点是以任意方向趋近于的 如果二元函数 p x y 000 p x y 的极限存在 那么沿任意方向趋近于时 二元函数的极限都存 p x y 000 p x y 在且相等 因此通过特殊路径法来确定二重极限不存在 具体的说是 1 沿直线趋近于时 若极限值与有关 则函数限 p x yykxb 000 p x yk 不存在 2 沿两条不同曲线趋近于时 若极限值不相等 则函 p x y 000 p x y 数限不存在 3 若沿一个特殊路径极限不存在 则二重极限不存在 3 1 5 累次极限法 根据定理2 如果二重极限与两个累次极限都存在 那么它们一定相等 这 样只要判断两个累次极限存在且不相等 即可判断二重极限不存在 3 1 6 极坐标判别法 利用极坐标替换 把二重极限化为一元函数极限 只要证明极限与极角有 关 即极限值与方向有关 即可判断二重极限不存在 例3 1讨论函数在点是否存在极限 6 3 22 y fx y xy 0 0 解法1 点沿直线趋于点时 x y 0y 0 0 3 0 002 0 lim lim0 0 x yx fx y x 又沿趋于点时 yx 0 0 6 3 0 0022 1 lim lim 8 x yx y fx y xx 因此函数在点的极限不存在 6 3 22 y fx y xy 0 0 本例也可以证明点沿斜率不同的直线趋近于点时 函数 x yykxb 0 0 Comment 向向向42 格式 26 值趋于不同的值 所以其极限不存在 3 2 1 1 k 解法2 由于两个累次极限都存在且 0000 limlim 0 limlim 1 xyyx f x yf x y 所以函数在点的极限不存在 6 3 22 y fx y xy 0 0 解法3 用极坐标法 设此时 00 cos sinxxyy 当时 此极限与极角有 6 6 3 22 sin y fx y xy 0 关 所以二重极限不存在 2 二元函数极限的求法 3 2 1利用二元函数的极限的定义求极限 Error Error NoNo bookmarkbookmark namename given given 根据点沿 00 lim x yxy f x yA x y 任意连续曲线趋于时趋于 我们可取某一特殊方向 求出当 00 xy f x yAykx 趋于时 的极限 然后再利用定义验证这一极限是即为二重 x kx 00 xy f x y 极限 例 3 2 设 11 sinsin 00 0 00 0 xyxy yx f x y xo yxy 当且 当或 求 0 0 lim x y f x y 解 取特殊方向 求出沿直线趋于时的极限yx x yyx 0 0 0 000 11 lim lim limsinsin x yxx y x f x yf x xxx xx Comment 向向向43 简单介绍方法 不举例 27 0 1 lim2 sin0 x x x 现在用定义证明 0 0 lim 0 x y f x y 对 当或时 则当 0 10 0 xy x0 y 0 0 0 x 0y 时 有 0 0 x y 0f x y 当 时 当 20 x 0y 2 0 x 0y 时 有 0 0 x y 0f x y 11 sinsinxy yx 11 sinsinxy yx 11 sinsinxy yx xy 2 于是 对 当 时 有0 2 x y 0 0 x y 0f x y 所以 0 0 lim 0 x y f x y 3 2 2利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 定理 4 8 若在点处连续 则 f x y 00 xy 00 00 lim x yxy f x yf x y 例 3 3 求极限 22 0 1 1 lim x y xy xy 解 因为在处连续 22 1xy xy 0 1 Comment 向向向44 简单介绍方法 不举例 28 所以 2222 0 1 0 1 111 0 lim 1 0 1 x y xyxy xyxy 3 2 3 利用二元函数的连续性及极限的运算法则求解 定理 2 3 当是二元函数定义域内的点时 函数在点 00 y x yxf 00 y x 连续 由连续性定义 二重极限的值就等于该点的函数值 例 3 4 求 0 0 lim x y cos 1 xy ey xy 解 为初等函数 0 0 是其定义域内的点 故原式 f x y cos 1 xy ey xy 0 0 0f 3 2 4利用类似一元函数求极限的方法求解 利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量 例 3 5 求 2 2 2 3 2 3 2 lim 3 2 x y xy xy 解 2 2 2 3 2 3 2 lim 3 2 x y xy xy 22 3 2 32 lim3 32 x y xy x xy 而为有界变量 又 22 321 2 32 xy xy 3 2 lim30 x y x 故原式 0 通过对分式的分子或分母有理化求极限 若分子或分母的极限为 不能运用商的极限运算法则时 采用通过分子或分0 母有理化 消去分母中趋于零的因子 再运用极限运算法则 例 3 6 求极限 22 22 0 0 lim 11 x y xy xy 29 解 22 22 0 0 lim 11 x y xy xy 2222 0 02222 11 lim 1111 x y xyxy xyxy 2222 22 0 0 11 lim 11 x y xyxy xy 22 0 0 lim112 x y xy 例 3 7 求 22 22 0 0 11 lim x y x y xy 解 原式 22 22 220 0 1 lim 1 1 x y x y xy xy 22 22 2200 00 1 limlim 1 1 xx yy x y xy xy 0 2 2 22 0 0 1 lim 2 x y y x xy 这里 2 x 是无穷小量 为有界变量 2 22 1 y xy 利用极限的夹逼准则 若在的某个领域内 成立不等式 且 00 xy u x yf x yv x y 00 lim x yxy 则 u x y 00 lim x yx y v x yA 00 lim x yxy f x yA 例 3 8 求极限 2 22 lim x x y xy xy 解 因为 2 2 22 1 0 2 x x xy xy 30 又 2 1 lim0 2 x x 所以 2 22 lim0 x x y xy xy 3 2 5 利用一元函数极限中的等价无穷小量替换求解 设与 与均是等价无穷小量 且 则当 时 必有 limA 或 limlimA 或 例 3 9 求极限 22 2222 0 0 1 cos lim x y xy xyx y 解 因为 2 2222 1 1 cos 2 xyxy 0 0 x y 2 22 22 22 2222 1 2 2 xy xy x yxyx y 1 xy 又 0 0 1 lim x y xy 所以 22 2222 0 0 1 cos lim x y xy xyx y 2 22 2222 0 0 1 2 lim x y xy xyx y 例 3 10 求 55 0 0 sin lim x y xy xy 解 因为当时 有 0 0 x y 55 0 xy 所以 5555 sin xyxy 31 故 55 0 0 sin lim x y xy xy 55 0 0 lim x y xy xy 432234 0 0 lim x y xyxx yx yxyy xy 0 432234 0 0 lim x y xx yx yxyy 3 2 6 利用取对数法求函数极限 例 3 11 求 22 22 0 0 lim x y x y xy 解 令 22 22 x y uxy 22 22222222 22 lnlnln x y ux yxyxyxy xy 而 22 222 00 00 2 11 limlim0 1 xx yy x y xyy x 令 22 xyt 那么 2222 00 0 limlnlim ln xt y xyxytt 000 2 1 ln limlimlim0 11 ttt t t t tt 故原式 0 1e Comment 向向向45 同 Comment 向向向46 同 32 3 2 7 利用极限的四则运算求解 定理 4 3 设时函数和的极限存在 则 00 x yxy f x y g x y 00 1lim x yx y f x yg x y 0000 lim lim x yx yx yx y f x yg x y 000000 2lim lim lim x yxyx yxyx yxy f x y g x yf x yg x y 3 00 lim x yxy f x y g x y 00 00 lim lim x yxy x yxy f x y g x y 00 lim 0 x yxy g x y 例 3 12 求极限 22 lim x y x y xye 解 22 lim x y x y xye 22 lim x y x y xy e 22 11 lim xyyx x y xy e ee e 因为且 2 lim0 x x x e 1 lim0 y y e 故 2 1 lim0 xy x y x e e 同理 2 1 lim0 yx x y y e e 所以 22 lim x y x y xye 3 2 8 利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 定理 5 8 若当时 而为有界变量 则当 00 x yxy 0f x y g x y 时 00 x yxy f x y g x y0 例 3 13 求极限 3 0 0 11 limsincos x y xy xy Comment 向向向47 多元函数即二 元及二元以上的函数 与第三 章说法重复 实际同 为一章中的内容 33 解 因为 3 0 0 lim x y xy 0 当时 与均有界0 0 xy 1 sin x 1 cos y 所以 3 0 0 11 limsincos0 x y xy xy 第四章 多元函数极限的求法探析 多元函数极限是多元函数微积分学的基础理论 它既是基点 又是难点 这 在于它的自变量多 而且对于判断其极限存在与否及其求法 比起一元函数的极 限就显得比较困难 这对初学者而言 更是感到无从下手 本文把多元函数极限 转化为一元函数极限来求 2 可运用球面坐标把多元函数极限转化为一元函 数极限来求 4 1 定义 8 设为定义在D上的多元函数 fX n R 为D的一个聚点 A是一个确定的实数 若对任给的正数 0000 0123 n Xxxxx 总存在某正数 使得当时 都有 0 1230 n Xx x xxUXD fXA 则称在D上当时 以A为极限 记作 fX 0 XX 0 lim XX fXA 特别 当时 也记作 2n 0 110 22 12 lim XX XX fXXA 4 2 多元函数极限的求法 34 定理 1 3 设在点的某去心邻域内有定义 fx y z 000 xyz 是向量的方向余弦 若一cos cos cos 000 xxyyzz 元函数极限 则 000 0 limcos cos cos t fxtytztA 1 为与取值无关的常数时 A 0 0 0 lim xx yy zz fx y zA 2 为与取值有关时 不存在A 0 0 0 lim xx yy zz fx y z 证明 1 由于是与取值无关的常数 而A 所以 对 000 0 limcos cos cos t fxtytztA 于任意的 一定存在某正数 当时 恒有0 00t 成立 000 cos cos cosfxtytztA 0 0 0 cos cos cos xxt fx y zyyt zzt 对于 可令 当时 恒有 所以0t 000 cos cos cosxxyyzz 故有 所以 222 000 0 xxyyzz fx y zA 0 0 0 lim xx yy zz fx y zA 2 如果 A 与取值有关 则 就不存在 从而 000 0 limcos cos cos t fxtytzt 35 就不存在 0 0 0 lim xx yy zz fx y z 当时 就得到 000 0 xyz 推论 1 设在点的某去心邻域内有定义 fx y z 0 0 0 是向量的方向余弦 若一元函数极限cos cos cos x y z 则 0 limcos cos cos t f tttA 1 为与取值无关的常数时 A 0 0 0 lim x y z fx y zA 2 为与取值有关时 不存在A 0 0 0 lim x y z fx y z 如果 则得到 0Z 推论 2 设在点的某去心邻域内有定义 是向 fx y 0 0cos sin 量的方向余弦 若一元函数极限