第16章教材习题解答.doc

E2EE1q2ACq1B图12.3OOBABL/5图16.1第16章 电磁场16.1 一条铜棒长为L = 0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5处和棒垂直的轴OO在水平面内旋转，每秒转动一周铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B = 1.010-4T求铜棒两端A、B的电势差，何端电势高解：设想一个半径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为，经过时间dt后转过的角度为d = dt，扫过的面积为 dS = R2d/2，切割的磁通量为 d = BdS = BR2d/2，动生电动势的大小为 = d/dt = BR2/2dLoRl根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高AO和BO段的动生电动势大小分别为，由于BO AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为= 4.7110-4(V) 讨论如果棒上两点到o的距离分别为L和l，则两点间的电势差为oxvABIxArldl图16.216.2 一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的夹角为，以水平速度v向右运动求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？解：在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的长度为 dl = dlcos；线元到直线之间的距离为r = xA + lsin，直线电流在线元处产生的磁感应强度为由于B，v和dl相互垂直，线元上动生电动势的大小为，棒的动生电动势为，A端的电势高讨论（1）当/2时，cot = cos/sin0，所以0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势（2）当0时，由于，所以，这就是棒垂直割磁力线时所产生电动势BABRv0图16.316.3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质量为m，长为L在导轨上的端接有电阻R匀强磁场B垂直导轨平面向里当AB杆以初速度v0向运动时，求：（1）AB杆能够移动的距离；（2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？分析当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来解：（1）方法一：速度法设杆运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 = BLv，电流为 I = /R，所受的安培力的大小为F = ILB = LB/R = (BL)2v/R，方向与速度方向相反取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为，即：积分得方程的通解为根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0方程的特解为 由于v = dx/dt，可得位移的微分方程，方程的通解为，当t = 0时，x = 0，所以常量为方程的特解为当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为方法二：冲量法由F = -(BL)2v/R，得，右边积分得 ，即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量左边积分后，可得（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为整个运动过程中产生的焦耳热为，即：焦耳热是杆的动能转化而来的ABCDB图16.416.4 如图所示，质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？解：（1）棒的加速度为 a = gsin，经过时间t，棒的速度为v = at = (gsin)t，而切割磁力线的速度为 v = vcos，所以棒的动生电动势为 = BLv = BLg(sincos)t = BLg(sin2)t/2（2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 = BLvcos，电流为I = /R，所受的安培力的大小为F = ILB = LB/R = (BL)2vcos/R，其方向水平向右安培力沿着斜面向上的分量为F = Fcos，其方向与速度的方向相反取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为，即 ，方程可化为积分得方程的通解为根据初始条件，当t = 0时，v = 0，可得常量，方程的特解为，棒的速度为，动生电动势为讨论当时间t趋于无穷大时，最终速度为 ，最终电动势为 ，最终电流为 另外，棒最终做匀速运动，重力做功的功率等于感生电流做功的功率，重力做功的功率为 P = mgsinv，感生电流做功的功率为，两式联立也可得，由此可以求出最终电动势和电流注意只有当物体做匀速运动时，重力所做的功才等于电流所做的功，否则，重力还有一部分功转换成物体的动能raa图16.5Bt16.5 电磁涡流制动器是一个电导率为，厚度为t的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积离轴r（ra）当圆盘角速度为时，试证此圆盘受到一阻碍其转动的磁力矩，其大小近似地表达为MB2a2r2taatSI解：电导率是电阻率的倒数 = 1/不妨将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和t的小导体，其横截面积为S = at，电流将从横截面中流过，长度为a，因此其电阻为宽为a的边扫过磁场中，速度大小为 v = r，产生的感生电动势为 = Bav = Bar，圆盘其他部分的电阻远小于小导体的电阻，因此通过小导体的电流强度为I = /R = Bart，所受的安培力为F = IaB = B2a2rt，其方向与速度方向相反产生的磁力矩为M = Fr = B2a2r2t其方向与角速度的方向相反BMNOvCDx图16.616.6 如图，有一弯成角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框架内的感应电动势i（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变；（2）非均匀的交变磁场B = Kxcost解：（1）经过时间t，导体杆前进的距离为x = vt，杆的有效长度为l = xtan = v(tan)t，动生电动势为i = Blv = Bv2(tan)t（2）导体杆扫过的三角形的面积为S = xl/2 = x2tan/2 = v2t2tan/2，通过该面的磁通量为 感应电动势为，即： BR图16.716.7 如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化 = 3t2 + 2t + 1，式中的单位为毫韦伯，t的单位为秒求：（1）在t = 2s时回路中的感生电动势为多少？（2）电阻上的电流方向如何？解：（1）将磁通量的单位化为韦伯得 = (3t2 + 2t + 1)/103，感生电动势大小为 = |d/dt| = 2(3t + 1)/103t = 2s时的感生电动势为1.410-2(V)（2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边xrIoRB图17.816.8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？解：环电流在轴线上产生的磁感应强度为，当xR时，磁感应强度为 小线圈的面积为S = r2，通过的磁通量为，当小线圈运动时，感应电动势为，当x = NR时，感应电动势为感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同BALDBnv图16.916.9 如图所示，匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成 = 60角，B = kt（k为大于零的常数）长为L的导体杆AB以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t = 0时，x = 0）解：经过时间t，导体杆运动的距离为x = vt，扫过的面积为S = Lx = Lvt，通过此面积的磁通量为 = BS = BScos = Lvkt2/2感应电动势的大小为 = d/dt = Lvkt由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的BABvDCxrxdrxbxa图16.1016.10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cost规律随时间变化，如图所示求回路中的电动势解：电流I在r处产生的磁感应强度为，穿过面积元dS = bdr的磁通量为，穿过矩形线圈ABCD的磁通量为，回路中的电动势为 显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势16.12 如图所示的圆面积内，匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里，圆半径R = 12cm，dB/dt = 10-2Ts-1求图中a、b、c三点的涡旋电场为多少（b为圆心）？设ab = 10cm，bc = 15cm解：（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为C = 2r，面积为 S = r2取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。根据安培环路定理 由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于因此涡旋电场为 对于a点，由于r = 0.1m，所以Ek = 0.10.01/2 = 510-4(Vm-1)对于b点，由于r = 0，所以Ek = 0（2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路根据安培环路定理 ，左边的积分仍然为Ek2r由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为R2dB/dt，因此涡旋电场为 对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以Ek = (0.12)20.01/20.15 = 4.810-4(Vm-1）Ir1olr2I图16.1316.13 两个共轴的导体圆筒称为电缆，其内、外半径分别为r1和r2，设电流由内筒流入，外筒流出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：按定义L = N/I，本题中N是图中阴影部分面积的磁通量）解：在内外半径之间，磁感应强度的大小为B = 0I/2r，其中r是场点到轴线之间的距离，B的方向是以轴线为中心的同心圆在r处取一长为l的面积元dS = ldr，通过面积元的磁通量为d = BdS，总磁通量为，电缆的自感系数为讨论电缆单位长度的自感系数为LrI1oRB图16.1416.14 两个共轴圆线圈，半径分别为R和r，匝数分别为N1和N2，两者相距L设小线圈的半径很小，小线圈处的磁场近似地可视为均匀，求两线圈的互感系数解：设大线圈中通以电流I1，N1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为，小线圈的面积为 S = r2，大线圈通过一匝小线圈的磁通量为 ，在小线圈中产生的全磁通为，互感系数为 讨论当两线圈相距很远时，LR，互感系数约为16.15 两个共轴的长直螺线管长为L，半径分别为R1和R2，设R2 R1；匝数分别为N1和N2求两螺线管的互感系数解：设大螺线管中通以电流I2，在轴线上产生的磁感应强度为B = 0n2I2 = 0N2I2/L小螺线管的面积为S = R12，大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为 = BS = 0N2I2R12/L，在小线圈中产生的全磁通为12 = N1 = 0N1N2I2R12/L，互感系数为M = 12/I2 = 0N1N2R12/LI2C2C1图16.1616.16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝求：（1）两线圈的互感M；（2）C2线圈中的电流以50As-1的速率减少时，C1中的感应电动势为多少？解：(1)设大线圈中通以电流I2，N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为B = 0N2I2/2R，小线圈中的全磁通为 12 = N1BS =0N1N2I2S/2R，互感系数为M = 12/I2 = 0N1N2S/2R= 410-750100210-4/20.2=10-6(H)(2) C1中的感应电动势的大小为Ibca图16.17 = MdI2/dt = 10-650 = 510-5(V)16.17 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sint时，求直导线中的感应电动势解：如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B = 0I/2r在矩形线圈中取一面积元dS = bdr，通过线圈的磁通量为，互感系数为 当线圈中通以交变电流I = I0sint时，直导线中的感应电动势大小为abba图16.1816.18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈1和2，每个线圈的自感都是0.01H，如图所示求：（1）线圈1的a端和线圈2的a端相接时，b和b之间的自感L为多少？（2）线圈1的b端和线圈2的a端相接时，a和b之间的自感L为多少？解：（1）当线圈1的a端和线圈2的a端相接时，在b和b之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相反，由于两个线圈是相同的，总磁场B = 0，所以磁场能量为零，自感L也为零（2）当线圈1的b端和线圈2的a端相接时，在a和b之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相同，由于两个线圈是相同的，总磁场为B = B1 + B2 = 2B1，磁场的能量为自感系数为 =0.04(H)12341234ab图16.1916.19 两个线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感解：两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和B = B1 + B2，磁场的能量为（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同， = 0，所以，自感系数为 （2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， = ，所以，自感系数为 16.20 两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1 = 4.010-3H，通有电流I1 = 2A，B管的自感L2 = 910-3H，通有电流I2 = 4A求两线圈内储存的总磁能解：A管储存的自能为，B管储存的自能为 ；由于两线圈完全耦合，互感系数为，A管和B管储存的相互作用能为Wm12 = MI1I2 = 610-324 = 4810-3(J)，boobI图16.21两线圈储存的总能量为Wm = Wm1 + Wm2 + Wm12 = 0.128(J)16.21 一螺绕环中心轴线的周长L = 500mm，横截面为正方形，其边长为b = 15mm，由N = 2500匝的绝缘导线均匀密绕面成，铁芯的相对磁导率r = 1000，当导线中通有电流I = 2.0A时，求：（1）环内中心轴线上处的磁能密度；（2）螺绕环的总磁能解：（1）设螺绕环单位长度上的线圈匝数为n = N/L，中心的磁感应强度为B = nI，其中 = r0磁场强度为 H = B/ = nI，因此中心轴线上能量密度为= 2104(Jm-3)（2）螺绕环的总体积约为V = b2L，将磁场当作匀强磁场，总磁能为W = wV= 2104(0.015)20.5=2.25 = 7.07(J)16.22 试证：平行板电容器中的位移电流可写成的形式，式中C是电容器的电容，U是两板间的电势差对于其他的电容器上式可以应用吗？证：根据麦克斯韦理论：通过电场任意截面的位移电流强度等于通过该截面电位移通量的时间变化率，即Id = dD/dt在平行板电容器中，由于D = DS，而电位移D等于电容器的面电荷密度，即D = 因为电容器带电量为q = S = DS = D，所以 Id = dq/dt，即：位移电流等于极板上电量的时间变化率根据电容的定义C = q/U，可得Id = CdU/dt其他电容器可以看作由很多平等板电容器并联而成，总电容等于各电容之和，所以此式对于其他电容器也可以应用16.23 如果要在一个1.0PF的电容器中产生1.0A的位移电流，加上电容器上的电压变化率为多少？解：因为Id = CdU/dt，所以电压变化率为dU/dt = Id/C = 1/10-12 = 1012(Vs-1)16.24 在圆形极板的平行板电容器上，加上频率为50Hz，峰值为2105V的交变电压，电容器电容C = 2PF，求极板间位移电流的最大值为多少？解：交变电压为U = Umcos2t，位移电流为Id = CdU/dt = -CUm2sin2t，电流最大值为Im = CUm2= 210-122105250 = 410-5(A)16.25 一平行板电容器的两极板面积为S的圆形金属板，接在交流电源上，板上电荷随时间变化，q = qmsint求：（1）电容器中的位移电流密度；（2）两极板间磁感应强度的分布解：(1)平行板电容器的面电荷密度为 = q/S，位移电流密度为（2）在安培-麦克斯韦环路定律中两极板间没有传导电流，即I = 0由于轴对称，在两板之间以轴为圆心作一个半径为r的圆，其周长为 C = 2r，使磁场的方向与环路的方向相同，左边为环路所包围的面积为S = r2，右边的位移电流为因此，两极板间磁场强度的分布为，磁感应强度的分布为Oqravx图16.2616.26 如图所示，电荷+q以速度v向O点运动（电荷到O点的距离以x表示）以O点O圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直试计算通过此圆面的位移电流解：在圆面上取一半径为R的环，其面积为dS = 2RdR，环上任一面元的法线方向与场强方向之间的夹角为，场强大小为E = q/40r2，其中r = (x2 + R2)1/2，通过环的电通量为de = EdS = EdScos，其中cos = x/r，所以得，积分得电通量为 由于电位移强度D和电场强度E的关系为D = 0E，所以电位移通量和电通量之间的关系为d = 0e，因此点电荷在圆面上通过的电位移通量为当电荷q以速度v向O运动时，可认为圆面以dx/dt = -v向电荷运动，因此，通过此圆面的位移电流为OqrvxrRE16.27 在真空中，一平面电磁波的电场为(Vm-1)求：（1）电磁波的波长和频率；（2）传播方向；（3）磁场的大小和方向解：（1）电磁波的角频率为 = 2107(rads-1)，频率为 = /2 = 107(Hz)波长为 = cT = c/ = 3108/107 = 30(m)（2）电磁波的传播方向为x方向（3）磁场的方向在z方向，由于，所以磁场强度为磁感应强度为 16.28 一个长直螺线管，每单位长度有n匝线圈，载有电流i，设i随时间增加，di/dt0，设螺线管横截面为圆形，求：（1）在螺线管内距轴线为r处某点的涡旋电场；（2）在该点处坡印廷矢量的大小和方向解：（1）长直螺线管通有电流i时，在轴线上产生的磁感应强度为B = 0ni，oirEBSidl磁场是均匀的，也是轴对称的以轴线上某点为圆心，以r为半径作一环路，环路的周长为 C = 2r，面积为S=r2，根据电场的环路定理， 可得2rE = -r2dB/dt，因此涡旋电场为，负号表示涡旋电场的方向与环路的环绕方向相反（2）管中磁场强度为H = B/0 = ni坡印廷矢量为S = EH，其大小为当di/dt 0时，S的方向沿径向指向轴线；当di/dt 0时，S的方向沿径向向外16.29 有一氦氖激光管所发射的激光功率为1010-3W，设激光为圆柱形光束，圆柱横截面直径为2.010-3m，试求激光的最大电场强度和最大磁感应强度为多少？解：圆柱面积为S = r2，坡印廷矢量的平均值为设最大电场强度为E0和最大磁感应强度为B0，可以证明：由于，可得，所以 (Vm-1），取0 = 1/4k = 1/(49109)同理，磁感应强度的最大值为(T)，（取0 = 410-7）16.30 一平行板电容器由相距为L的两个半径为a的圆形导体板构成，略去边缘效应证明：在电容器充电时，流入电容器的能量速率等于其静电能增加的速率aEHSSSL证：电容器的面积为S = a2，电容器充了电量q时，面电荷密度为 = q/S，不计边缘效应，边缘的场强为E=/0=q/S0在边缘做一个半径为a的环路，其周长为2a，面积为S根据环路定理左边为2aH；右边的I = 0，Id = dq/dt，所以磁场强度为()坡印廷矢量为S = EH，其大小为，方向垂直环路指向轴线电容器侧面的表面积为S = 2aL，流入电容器的能量速率为当电容器带电q时，根据电容公式C = q/U，两端的电压为U = q/C，所带的静电能为，静电能的增加速率为由于电容，所以，流入电容器的能量速率等于其静电能增加的速率SII图16.31SSSSSSSSSSS16.31 半径为a的长直导体载有沿轴线方向的电流I，I均匀地分布在横截面上证明：（1）在导线表面，坡印廷矢量S的方向垂直于导线表面向内；（2）导体内消耗的焦耳热等于S传递来的能量aEHSIIaSSL证：（1）导体的横截面积为S = a2，电流密度为 = I/S导体的电阻率为，电场强度大小为E = ，方向与电流的流向相同在导体表面做一个半径为a的环路，其周长为C = 2a根据环路定理左边为2aH；右边的Id = 0，所以磁场强度为H = I/2a由于电场强度E的方向沿着轴向，磁场强度方向沿着环路，根据S = EH，可知：在导线表面，坡印廷矢量S的方向垂直于导线表面向内（2）在导体表面的坡印廷矢量的大小为，对于长为L的导体来说，其表面积为S = 2aL，