勒贝格积分的计算方法.pdf

2005年 11月 第11 卷第4 期 安庆师范学院学报 自然科学版 Journal of Anqing Teachers College Natural Science Nov 2005 Vol 11 NO 4 勒贝格积分的计算方法 周 其 生 安庆师范学院 数学与计算科学学院 安徽 安庆 246011 摘 要 本文讨论勒贝格积分的计算问题 利用勒贝格积分的定义和性质 总结出计算L 积分 的若干方法 各种方法都举出了例子说明 关键词 勒贝格积分 黎曼积分 可积 计算 中图分类号 O174 1 文献标识码 A 文章编号 1007 4260 2005 04 0089 05 实变函数论的中心内容是勒贝格积分 在勒贝格积分 以下简称L 积分 的学习中 面临的一个问题 是它的计算 由于可积函数范围的扩大 不象在黎曼积分 以下简称R 积分 中那样可积函数对连续性 的依赖 可积必须几乎处处连续 尽管R 积分理论中N L 公式可推广到L 积分中来 但利用找原函数 的方法来解决L 积分的计算问题很难奏效 本文讨论L 积分的几种计算方法 有的方法不仅仅是为了解 决L 积分的计算问题 也提供了一个计算R 积分的方法 1 用定义计算 直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法 L 积分有多种等价的定义 为便于叙述 我们 不妨按文献 1 来说明 1 中定义分三部分 简要给出 1 集合测度有限 函数有界情形 当小和的上确界与大和的下确界相等时 定义积分为 Ef x dx infD S D f sup D s D f 2 当函数非负可测 集合测度不限 时 定义积分为 Ef x dx limn En f x ndx 3 一般情形 当 Ef x dx 和 Ef x dx 至少有一个有限时 定义积分为 Ef x dx Ef x dx Ef x dx 例 1 设 f x 为 0 1 上的狄利克雷函数 f x 1 x 0 1 Q 0 x 0 1 Q 这里 Q 为全体有理数所成之集 计算 f x 在 0 1 上的 L 积分 解 因为 f x 为简单函数 在 0 1 上有界可测 因而可积 可用定义 1 来求解 令 E1 0 1 Q E2 0 1 Q 则D E1 E2 是 0 1 的一个可测分划 对应的大 小和数为 S D f s D f 0 因而 0 1 f x dx inf D S D f sup D s D f 0 本例说明 用定义 1 求积分时 如果能找到可测分法 D 使得大小和数相等 则该和数就是所求的 作者简介 周其生 1956 男 安徽金寨人 安庆师范学院数学与计算科学学院副教授 主要从事算子理论的研究 和实变函数课程的教学 基金项目 省教育厅科研基金 2004KJ269 资助 收稿日期 2005 06 28 积分 当然 这样的分法 D 不见得总能找得到 但如果能选取一列可测分划 Dn 使得lim n S Dn f lim n s Dn f 则这个共同值便是所求的积分 对于非负可测函数也可以直接用定义求积分 如下例 例 2 设在Cantor 集P0上定义函数f x 0 而在P0的余集中长为1 3n的构成区间上定义为n n 1 2 试证 f x 可积分 并求出积分值 解 f x 在E 0 1 上非负可测不难说明 且注意到f x 不是有界函数 所以要用定义 2 记 Gn为在Cantor 集的构造中第 n 次挖去的 2 n 1 个长度为 1 3 n 的构成区间之和集 则 mGn 2 n 1 3n 而 f x n f x x P0 G1 G2 Gn n x Gn 1 Gn 2 此时定义中取 En E n 1 2 由定义 2 有 Ef x dx limn En f x ndx lim n n k 1 k 2k 1 3k n 1 n k 1 2k 1 3k lim n n k 1 k 2k 1 3k n 2 3 n 3 由此便得到 f x 的可积性 2 利用积分性质计算 性质 1 两个几乎处处相等的函数 有相同的可积性和相同的积分值 这是计算勒贝格积分的一个非常有用的方法 通常可把复杂的问题变得很简单 例 3 在例 1 中 f x 0a e 于 0 1 所以容易求得 0 1 f x dx 0 0 1 dx 0 性质 2 若 f x 在 a b 上 R 可积 则它必同时 L 可积 且有相同的积分值 这条性质非常重要 有了它可借助于求 R 积分的那些方法来求 L 积分 通常与性质 1 结合使用 例 4 设 f x x 3 x 0 1 Q x 2 x 0 1 Q 计算积分 L 1 0f x dx 解 由于 f x x 2 a e 于 0 1 由上面性质 1 和 2 得 L 1 0f x dx L 1 0 x 2dx R 1 0 x 2dx 1 3 众所周知 L 积分是通常的 R 积分的推广 而非广义 R 积分的推广 但下面性质是成立的 性质 3 设 f x 是 a b 上非负有限函数且lim x a f x 如果f x 在 a b 上的广义R 积分 存在 可积 则 f x 在 a b 上 L 可积且二者的值相同 注 1 若 f x 无非负条件 则上面结论应为 f x 在 a b 上 L 可积的充要条件是 f x 在 a b 上广义 R 可积且二者有相同的值 注 2 对无穷限广义 R 积分 类似的结论同样是成立的 注 3 对于非负连续 瑕点除外 函数 广义 R 积分总与 L 积分等值 可为 例 5 设 f x 0 x P 1 3 x x 0 1 P 其中 P 为Cantor 集 计算 L 1 0f x dx 解 由于 Cantor 集的测度为零 由上面性质 1 和性质 3 得 L 1 0f x dx L 1 0 1 3 x dx R 1 0 1 3 x dx 3 2 注 例 5 中的函数 f x 不是 R 可积的 因为它在 0 1 上虽是几乎处处连续的 但它在 0 1 上无 界 但 f x 却是广义 R 可积的 且积分值也为 3 2 下例则不同 例 6 设 f x 1 3 x x 0 1 Q 1 3 x x 0 1 Q 求 L 1 0f x dx 解 因 f x 1 3 x a e 于 0 1 故有 L 1 0f x dx L 1 0 1 3 x dx R 1 0 1 3 x dx 3 2 90 安庆师范学院学报 自然科学版 2005年 本例中 f x 是广义R 可积的 但f x 却不是广义 R 可积的 因对任意 0 1 f x 在 1 上不R 可积 所以 虽然f x 为 L 可积 并无两种积分值相等的结论 利用L 积分性质来计算R 积分也是一个很有效的方法 一些在数学分析中很难计算的积分 在这里 变得相当简单 例 7 设 f x 为 Riemann 函数 f x 1 q 当 x p q p q 为互质整数 1 当x 为无理数或 0 由 于 f x 在 0 1 上有界且几乎处处等于零 故 R 可积 从而 L 可积 利用以上性质得 R 1 0f x dx L 1 0f x dx L 1 00dx 0 性质4 积分的可数可加性 设f x 在可测集E n 1En 上积分确定 其中各En为互不相交的可 测集 则 Ef x dx n 1 Enf x dx 例 8 f x 同例 2 记 E0 P En Gn n 1 2 由性质 4 得 0 1 f x dx n 1 Enf x dx P0dx n 1 Gnndx n 1n 2n 1 3n 3 例 9 若在 Cantor 集 P 上的点有f x x 10 而在P 的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间 的长为直径所作的圆周的上半圆周 试计算 L 积分 1 0f x dx 解 用 n n 表示Cantor 集P 的邻接区间 不妨设这些邻接区间按其长度减少的次序来排列 相 同长度的按从左到右顺序 于是由性质 4 有 1 0f x dx pf x dx n 1 n n f x dx 由于 pf x dx 0 在 n n 上 f x 的图形是以邻接区间为直径的上半圆周 故半径为 rn n n 2 且在 n n 上的积 分等于 半径为 rn n n 2 的半圆 面积 于是 1 0f x dx n 1 1 2 n n 2 2 n 1 8 n n 2 由 Cantor 集的构造知 1 1 1 3 20个 2 2 3 3 1 32 21个 4 4 7 7 1 33 22个 因此 1 0f x dx 8 1 32 2 34 22 36 2n 1 32n 8 1 9 1 2 9 2 9 2 2 9 n 1 56 性质 4 的用法是根据函数的特点将集合划分成有限或可数个互不相交的可测子集之并 而函数在 每个子集上的积分容易算出 不难知道 本例的函数在 0 1 上是 R 可积的 此例计算虽显烦琐 但它具 有代表性 当 Cantor 集换成正测度的 Cantor 集类的疏朗完备集时 按上面方法定义的函数不再是 R 可 积的 但仍就可按上面方法计算出L 积分来 性质 5 L 逐项积分定理 设 fn 是可测集 E 上一列非负可测函数 则 E n 1 fn x dx n 1 Ef n x dx 例 10 求 L 积分 1 0 ln 1 x x dx 解 当0 x 1时 ln 1 x x n 1 x n 1 n 令fn x x n 1 n n 1 2 f x ln 1 x x 91 第4 期周其生 勒贝格积分的计算方法 显然 fn 是 0 1 上的非负可测函数列 且 n 1 fn x f x 0 x 0 y 0 dxdy 1 y 1 x 2y 解 被积函数显然在积分域上非负可测 故由 Fubini 定理得 x 0 y 0 dx dy 1 y 1 x 2y 0 1 1 ydy 0 1 1 x 2ydy 2 0 1 1 y y dy 2 2 化重积分为累次积分是 Fubini 定理的通常用法 但利用 Fubini 定理作为桥梁 把某些积分当作累 次积分来看 通过交换积分次序而使计算变得容易 如下例 例 13 求 I 0 1 x e ax e bx sinxdx 0 a b 解 形式地演算得出 I 0 sinx x dx a b ye x y dy 0 sinxdx b ae x ydy b ady 0 e xysinx dx b a dy 1 y 2 arctanb arctana 为了说明第三个等式的合理性 需验证 f x y e x ysinx 在 D 0 a b 上可积 而这由 b ady 0 e xysinx dx b ady 0 e xydx b a dy y ln b a 可得 第四个等式利用了分部积分法 性质8 微积分基本定理 若F x 是 a b 上的绝对连续函数 则F x F a x aF t dt x a b 这就是 R 积分中的 N L 公式在 L 积分中的推广 它是从下面定理推出的 定理 设 f x 在 a b 上L 可积 则存在绝对连续函数F x 使F x f x a e 于 a b 二者 结合即得 F x F a x af t dt x a b 92 安庆师范学院学报 自然科学版 2005年 例 14 计算积分 1 0f x dx 其中 f x sinx x E1 0 1 Q cosx x E2 0 1 Q 解 因F x sinx 在 0 1 上导函数有界 故为绝对连续函数 且F x f x a e于 0 1 所 以由性质 8得 1 0f x dx sin1 sin0 sin1 注 在利用 N L 公式计算L 积分时 一定要验证F x 是绝对连续函数 否则容易出错 如熟知 的 x 见 1 P153 在 0 1 上单调增且连续 x 0 a e 于 0 1 但 1 0 1 0 1 0 x dx 原因是 x 在 0 1 上不是绝对连续函数 而满足 F x x a e 于 0 1 的所有绝对连续函 数都是常值函数 并不是 x 自己 这一点尤其值得注意 本反例还说明连续的有界变差函数不一定是 绝对连续函数 性质 9 分部积分法 设 f x 在 a b 上绝对连续 x 在 a b 上可积且 g x g a a x dt 则 b af x x dx f x g x b a b ag x f x dx 例 15 设 f x 是 例 2 中的函数 F x x 0f t dt x 1 x 0 1 Q 2 x 0 1 Q 计 算积分 1 0F x x dx 解 记 g x x 0 t dt 则易知g x x x 0 1 且 F x g x 均为绝对连续函数 由性质 9 及绝对连续函数性质有 1 0F x x dx F x g x 1 0 1 0g x f x dx 3 1 0 x f x dx 按例 8的计算方法可得 1 0 xf x dx 3 2 因此 1 0F x x dx 5 2 利用积分的极限定理同样可研究 L 积分中的 参变积分 设 Y R 是一区间 f x y 是定义于 X Y 上的实函数 对每个固定的 y Y f x y 关于 x 在X 上可积 于是 y Xf x y dx 1 是定义于 Y 上的有限实函数 由 5 中定理 3 3 6 有 性质 10 若偏导数 fy x y 存在 且存在 X 上的可积函数 g x 使得 fy x y g x x X y Y 则 y Xf y x y dx 2 在实际问题中 往往直接用 1 式求 y 很困难 而先从 2 式求 y 却较容易 我们可先求得 y 后再关于y 积分 如 例 16 求 e x2cos x dx 解 记 e x2cos xdx f x e x2cos x 利用性质 10 可求得 e 2 4 3 结束语 L 积分的计算方法远不止这些 例如 还可利用积分的等价定义 充要条件 其它极限定理 比如用 简单函数列来逼近被积函数 以及换元积分法等等 限于篇幅 不再一一举例 用不同的方法来计算积 分繁简不一 但总的来说 尽可能利用 R 积分这个现成的工具应该是较好的选择 参 考 文 献 1 程其襄 张奠宙 等 实变函数与泛函分析基础 第二版 M 北京 高等教育出版社 2003 1 175 2 周民强 实变函数 第二版 M 北京 北京大学出版社 1995 121 223 3 张喜堂 实变函数论的典型问题与方法 M 武汉 华中师范大学出版社 2000 214 368 4 鲁世杰 实变函数理论和方法 M 杭州 浙江大学出版社 1999 67 149 下转第100 页 93 第4 期周其生 勒贝格积分的计算方法 2 tN k 2 k 1 的值 第四个数是2 c 的值 注意对不同的k 和 n c 是不相同的 2 2 主要结论 由 运行结果可以看出 每一小表中 第二个数都是大于第三个数的 第三个数又是大于第四个数 的 说明此时T ukey 区间不是最优的 分析可得到结论 在效应有序的情况下 即 1 2 k 构 造 两效应的同时置信区间 由本文所介绍的第三种区间是最好的 Bonferroni 区间次之 Tukey 区间最 差 说明 虽然本文所介绍的第三种区间是最优的 但 k 较大时 c 很难求出 所以一般在应用中 k 9 时则用 Bonferroni 区间 此区间简单易求 且精度较高 参 考 文 献 1 王松桂 史建红 尹素菊 吴密霞 线性模型引论 M 北京 科学出版社 2004 2 李尚志 陈发来 吴耀华 张韵华 数学实验 M 北京 高等教育出版社 1999 3 Richard J Gaylord Samuel N Kamin Paul R Wellin 邵勇译 数学软件Mathematica 入门 M 北京 高等教育出 版社 2001 4 Hayter A J A one sided studentized range test for testing against a simple ordered alternative J J Amer Statist Assoc 1990 85 411 778 785 Comparision of Three Simultaneous Confidence Intervals of Ordered Treatments WANG Rui School of Mathematics