第4讲-多元函数概念与极限.doc

数学分析II第4讲教案第4讲 平面点集与多元函数极限授课题目平面点集与多元函数极限教学内容1. 平面点集(邻域，开集，闭集，开域，闭域)；2. 二元及多元函数的定义及其图形；3. 二元函数的极限的定义. 教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地了解平面点集的基本概念（邻域，开集，闭集，开域，闭域等），掌握二元函数的定义，理解二元函数极限的定义并会用定义证明一些常见的函数极限题.教学重点及难点教学重点：二元函数的极限的定义及计算，二元函数的图形；教学难点：二元函数极限的定义.教学方法及教材处理提示(1) 在讲授平面点集的相关概念时，主要是结合具体集合来介绍有关概念其目的是使学生更好地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关概念，同时应可布置适量习题. (2)快速地介绍二元及多元函数的定义，着重要求学生掌握二元函数的图形.(3)先复习一元函数极限的定义，再引入二元函数的极限的定义，通过对比两个定义，使学生弄清一元函数极限与二元函数极限的联系与区别. 通过对具体二元函数极限的讨论来介绍研究二元函数极限的方法.(4)第一节课讲平面点集与多元函数概念，第二节课讲二元函数极限的定义及计算.作业布置作业内容：教材 :6（2，3），8（1，3，7）. :1（1，3，6，7）.讲授内容一、平面点集平面点集 与分别称为以点为中心的圆领域与方领域，并以记号U(A；)或U(A)来表示空心邻域是指 与，并用记号来表示 任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系之一： （i）内点若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)，则称点A是点E的内点；E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作intE (ii)外点若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)，则称A是点集E的外点 (iii)边界点若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点则称A是集合E的边界点即对任何正数，恒有 E的全体边界点构成E的边界，记作点A与点集E的上述关系是按“点A在E内或在E外”来区分的此外，还可按在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系： (i)聚点若在点A的任何空心邻域(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E (ii)孤立点若点A，但不是E的聚点，即存在某一正数，使得，则称点A是正的孤立点显然，孤立点一定是边界点；内点和非孤立的边界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点例如 设平面点集，满足的一切点都是D的内点；满足的一切点是D的边界点，它们都属于D；满足的一切点也是D的边界点，但它们都不属于D；点集D连同它外圆边界上的一切点都是D的聚点 根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集 开集若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E为开集 闭集若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集若点集E没有聚点，这时也称E为闭集 开域若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集) 闭域开域连同其边界所成的点集称为闭域 区域开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集，统称为区域又例如，虽然是开集，但因、 象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域有界点集对于平面点集E，若存在某一正数，使得其中O是坐标原点.点集E的直径. 就是其中表示与两点之间的距离，当和的坐标分别为和时，则， 根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式：二、上的完备性定理 定义 设 R2为平面点列， R2为一固定点。若对任给的正数，存在正整数N，使得当时，有，则称点列为收敛于点，记作 或 在坐标平面中，以与分别表示与时，显然等价于，同样地，当以表示点与之距离时，也就等价于由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理定理(柯西准则) 平面点列收敛的充要条件是：任给正数，存在正整数，使得当时，都有 定理16.2(闭域套定理) 设是R2中的闭域列，它满足：() () 则存在惟一的点， 定理16.3(聚点定理)设为有界无限点集，则E在中至少有一个聚点 三、二元函数 定义 设平面点集，若按照某对应法则，D中每一点都有惟一确定的实数与之对应，则称为定义在D上的二元函数（或称为D到R的一个映射），记作 且称D为的定义域；所对应的为在点的函数值，记作或；全体函数的集合为的值域，记作。通常还把P的坐标x与y称为的自变量，而把z称为因变量二元函数的图象通常的图象是一空间曲面的定义域便是该曲面在平面上的投影二元函数也记作 或 且当它的定义域不会被误解的情况下，也简单地说“函数”或“函数”例1函数的图象是中一个平面，其定义域是，值域是例2函数的定义域是平面上的单位圆域，值域为区间，它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部（图）例3 是定义在整个平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物（图）设为中的点集，若有某个对应法则，使中每一点，都有惟一的一个实数与之对应，则称为定义在上的元函数（或称为到的一个映射），记作四、二元函数极限定义定义 设在的某个空心邻域内有定义，是一个确定的实数. 若对任给正数，总存在某正数，使得当时，都有则称是当时的极限，记作 或 例4 依定义验证例5 设 证明 证： 对函数的自变量作极坐标变换。这时等价于对任何都有。由于 因此，对任何， 只须取，当时，不管取什么值都有即。 例6讨论当时是否存在极限解：当动点沿着直线而趋于定点时，由于此时，因而有这一结果说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值不同，因此所讨论的极限不存在例7讨论当