1.3.1 导数在函数研究中的应用(1).doc

1.3.1 导数在函数研究中的应用函数的单调性目标：应用导数判别函数的单调性 一.函数的单调性定义的回顾1.增函数的定义设函数在区间上有定义，如果对于任意的，当时，都有，则称函数在区间上为增函数，相应的区间则称为函数的递增区间.直观上，函数在区间上为增函数，就是在区间上函数值随着的增大而增大，函数的图象（从左到右）不断地上升.2.减函数的定义设函数在区间上有定义，如果对于任意的，当时，都有，则称函数在区间上为减函数，相应的区间则称为函数的递减区间.直观上，函数在区间上为减函数，就是在区间上函数值随着的增大而减小，函数的图象（从左到右）不断地下降.3.函数的单调性和单调区间如果函数在区间I上为增函数或减函数，那么就说函数在区间I具有（严格的）单调性，函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间. 注：确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭（连续的函数单调区间的端点都能取闭）.4.函数单调性的讨论或证明（三步走老办法以后一般不用）函数单调性的讨论或证明必须按定义的要求进行. 具体步骤如下：.设I，且；.计算，并讨论其符号，以确定或；.根据作出结论.5.复合函数的单调性（很多场合仍不失为一个很实用的方法）给定函数，及函数，经复合后得到关于的复合函数，设当时，内函数单调，且相应的值域区间为E（E=|，），如果外函数在时也是单调的，那么复合函数作为的函数在时也是单调的.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.6.单调函数的有关结论.增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数.常数与增函数的和为增函数，常数与减函数的和为减函数；.非零常数与单调函数的积仍为单调函数，且若这个常数为正，则单调性不变；若这个常数为负，则单调性改变；.奇函数在关于原点对称的区域上有相同的单调性；.偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性. 二.应用导数判断函数的单调性应用导数对函数的单调性加以判断，而且在很多场合下更为方便.考察下面的例子：函数的图象如下图所示，考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象上我们可以看到：在区间内，切线的斜率为正，即，这时为增函数；在区间内，切线的斜率为负，即，这时为减函数.一般地，我们有如下的结论：如果函数在开区间内可导，且，则函数在开区间上为增函数；如果函数在开区间内可导，且，则函数在开区间上为减函数 如果在开区间内恒有，则为常数.以上结论可以进一步地推广为：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则函数在闭区间上为增函数；如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则函数在闭区间上为减函数； 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且则函数在闭区间上为常数.例1.如图，以等速（单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试找出各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.一般地，如果函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图象（向上或向下）就比较“陡峭”；反之，就比较“平缓”；如图，函数在区间内的图象就比较“陡峭”，而在区间内就比较“平缓”.例2.函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.例3.确定函数增减性.应用导数确定函数的单调性具体步骤如下：.一确定函数的定义域；.求出函数的导数；.由（或）解出相应的的范围，即得函数的单调递增（或递减区间）.例4.确定函数的单调区间，画出函数图象的大致形状.例5.确定函数的单调区间.例6.确定函数的单调区间.例7.求证：方程只有一个根.例8.已知函数.确定函数的单调区间；.确定方程根的个数.例9.确定函数的单调区间，画出函数图象的大致形状.注：如果函数在区间上满足以下条件：.在区间上连续，在区间内可导；.在区间内，（可以有有限个点的导数为零）则函数在区间上单调递增（减）.例10.求证：当时，.三.课外练习：优化设计. 四.补充练习1.函数是定义在R上的可导函数，则为R上的单调增函数是的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若在区间内有，且，则在区间内有 （ ） A. B. C. D.不能确定3.（2009.广东高考）函数的单调递增区间是 （ ） A. B. C. D.4.若函数的递减区间为，则的范围是 （ ） A. B. C. D.5.函数，其中为实数，当时，是 （ ） A.增函数 B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数6.在上是 （ ） A.增函数 B.减函数 C.在内为增函数，内为减函数 D.在内为减函数，内为增函数7.若函数（为常数）在区间和内单调递增，在区间单调递减，求的值.8.确定函数的单调区间.9.若函数在区间