函数的极限(三).doc

函数的极限（三） 我们在前面讨论了函数（包括数列）极限的概念和定义，讨论了极限的性质，极限的运算法则。为了导出极限的运算法则，我们引入了无穷大与无穷小的功能，及其无穷小的运算法则。我说过这样的话：“极限是支撑起微积分的杠杆，而无穷小则是这条杠杆的支点”。这样的说法足以看出无穷小对于微积分的作用。因为有了无穷小的运算法则，才能推导出极限的运算法则。现在我们已经能够运用极限的运算法则，计算一部分极限。但是，到现在为止，还有不少极限问题还不能计算。例如（1） ；（2） 。除此之外，还有许多较为复杂的极限。所以，我们还要继续深入下去。我们先从两个极限存在的准则研究起。一函数存在的第一准则夹逼准则准则1（夹逼准则）设函数在点的某个去心邻域中有定义，满足 ，且 ，则必有 。这个定理的重要作用是：当在自变量的某种趋向下的极限难于求出时，如果能够找到它在某个邻域内介于两个函数之间的关系，并且这两个已知函数的极限也能求出且相等时，则的极限就等于那两个函数的极限。于是，求的极限就转化为找两个夹住它的，且极限相等的函数。在很多情况下，这一思路能够帮助我们解决一大批极限计算问题。夹逼定理的证明并不复杂，只是“”的复述一遍而已。这里就省略了。在数列情况下的夹逼准则的表述方式侵有改变，证明方法是相仿的。首先，我们用夹逼准则证明了著名的“墨西哥草帽”函数的一个极限结果： 。例1.1 求 解： 原式 。例1.2 求 解：（令）。利用极限 时，应注意以下几点：（1）它属于型的极限，因此凡不属于型的极限，或不能化为型的极限，一定不能使用。（2）为了说明极限的特点，我们把这个极限写成如下形式： 。第一，上述方框表示的变量是相同的，第二，方框表示的变量是趋向零的。例1.3 下列计算对吗？。解：错。错误在于利用极限 时，必须。而现在是。正确的做法是：令，则。原式。例1.4 求 。解：本题的极限属于型。一个解决此类问题的方法是通过变换，将其变为能利用。令，则。原式 。例1.5 求与无关）解： 原式 。例1.6 求 解：这题属于型。为了能利用，要作变换。加一项减一项，是常用的数学方法。 原式 。其中 ，。 注意，加一项减一项，是常用的数学方法，请大家牢记。 上面是利用基于由夹逼准则推出来求型的极限。直接利用夹逼准则，本身也可以求非的极限。例1.7 利用夹逼准则求 。解：利用夹逼准则的关键，是找到两个夹逼的函数来。当时，对，有 。在上式两边求和 ： ，即 。又因为 ；和 。至此，夹逼准则的条件已全部满足，故有 。 注：若不用夹逼准则，本题还很困难。原因在于：当时，尽管的每一项是无穷小，但由于项数趋向于无穷大，因此本题属于无穷多的无穷小相加的问题，一般地说，无穷多的无穷小相加的结果，不好一概而论，只能具体问题具体研究。本题讨论的无穷多的无穷小相加的结果，等于。例1.8 用夹逼准则求 。解：注意带极限式中各项的分母都大于，且小于，而各项分子都大于0，故将各项的分子保持不变，而将分母放大会缩小。 对，有 ，在上式两边求和：于是有 。展开之， 左边，且 ； 右边， 且 。这样，夹逼准则的条件全部满足，故 。其他例子等我们研究了第二准则后，再来讨论。二函数存在的第二准则单调有界准则 不论对函数还是数列，这个准则都是适用的。对函数来说，有两个内容： 单调递增且存在上界的函数（数列），必存在极限； 单调递减且存在下界的函数（数列），必存在极限。不过，这个准则的证明，需要用到严格的实数理论。在本课程里，就不去证明了。课后有同学想证明它，我建议这样的同学先学习理科的数学分析，打好基础再说。例2.1 设数列满足，且。讨论其收敛性，若收敛，求其极限。解：这是一个连乘形式的数列，由于，故单调递减。如何知道它有下界？很简单，因为且单调递减，所以任何项都不会大于首项，且。这样单调递减且有下界，存在极限。记此极限为。在两边求极限：，即得 于是 。例2.2 设数列满足，且，求。解：本题与上题极为相似，但问题要困难得多。单调递减是容易验证的。问题在于：若在递推式两边取极限，只能得到，所以不能求出其值来。怎么办？靠其他方法求的上下界，若上下界的极限相同，那么就可利用夹逼准则了。运用递推式，可以得到 。 到了这一步，似乎还看不到头！现在要跨出决定性的一步：注意到，则 其中，将三次方是决定性的，之所以要取三次方，是看到了中分子和分母里的数都相隔数3。其次，那个不等式也极为关键。这样我们得到了的上下界： 。现在可以利用夹逼定理了。因，故 。从直观上看，本题的极限为0 是没有疑问的，因为各项越来越小，但永远是正的。不过要从理论上证明，却化了九牛二虎之力啊。现在还是回到用准则二得到的重要极限，利用夹逼准则，又可得到连续情况下的 或 。这3个形式都很重要。它们的证明都在课堂上讲过了，这里不去重复。希望大家真的理解它们的来历。这3个极限式是处理“”型极限的锐利武器，大家要掌握它们的变形。例2.3 求.解：当时，所以这种极限记为型，它与属于同一类型。求这种极限的思路是把原极限化为可以利用的某种形式。将改写成，再与重要极限中的函数比较，因此要想利用，应做一个变换。令，由此得，这样当时，。这样我们就有原式。在利用求极限时，要注意两点：（1）凡是不属于“”型极限，一定不能利用或来解决；（2）为了说明极限的特点，可把此极限表示为下列形式： 。例2.4 求 。解法1 从表面看，似乎与没有关系。但我们看到，所以它属于“”型极限。 令，可解出。所以当时，。这样原式。解法2 试凑法 原式 ，对第一个极限，令，则当时，所以 ，所以，原式。例2.5 求 解：令，则当时，有。 原式。例2.6 求常数，使 。解法1：此极限属于型，可令，解得 ，显然有当时，。于是 原式，得到方程 ，故 。解法2： 原式 。则 。三综合例题例3.1 已知数列的首项。讨论的收敛性，并求其极限。解：可以先假设极限存在，记为。则有递推式得： ，解出 。由于，且，取考察之。方法1：。 由于，由此发现数列不单调。例如，若，则。所以，用不能判断数列的有界性。怎么办？注意到这个数列的特点是：数列的项隔了一个项一次变化，所以改为考虑与之间的关系：，于是 。 （+）这样，若，则 。 若，则。所以，我们得到结论： 若，则存在下界4； 若，则存在上界4。再来看数列的单调性。因为 ， （）当时，单调递减且有下界4；当时，单调递增且有上界4。若 ，则 。所以不论哪种情况，由单调有界准则知， 存在。 由（+）两边取的极限，易得 。再来求： 由 ， 令，得 。综合上述得 。方法2：由 ， 并注意 ，有 ， （%）但是，不论取何值，总是有限的值。所以，命，(%)式的右边。用夹逼准则，。则。例3.2 设， 求 解：我们首先想到的是有单调有界性来求此数列的极限。 因为 ，所以有，故数列单调递减。又因为，所以，是由小于1 的各正数因子相乘而得，故，0是其一个下界。于是由单调下降且有下界知，数列必收敛，存在极限，