几何综合(一)圆的综合问题.doc

几何综合(一)圆的综合问题 1阅读材料：如图(一)，ABC的周长为，内切圆O的半径为r，连结OA、OB、OC，ABC被划分为三个小三角形，用SABC表示ABC的面积.SABC=SOAB+SOBC+SOCA又(可作为三角形内切圆半径公式)(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形内切圆半径；(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二)且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)分析：本题中对于三角形内切圆的面积与边长的关系式是很值得注意和积累的.遇到三角形内切圆半径、面积、边长之间的运算的问题，即可回归到本题题目中的处理过程；在多边形的内切圆问题中，我们不妨依照前面的问题，利用面积法构造出过切点的半径，即可将面积表示出来.解：(1)52+122=132，三角形为直角三角形面积；(2)设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连结OA，OB，OC，OD 则 ；(3).2.如图，ABCD是边长为2a的正方形，AB是半圆O的直径，CF切O于点E，交AD于G，交BA延长线于F.(1)求EF的长；(2)求EG长.说明：在圆的相关问题中，除了与切线相关的证明经常考察外，也常考察一些与计算长度或角度有关的内容.分析：由切割线定理(或由相似形可证)，所求的EF2=FAFB(这样写的好处是与已知2a相关)，那么只须求出FA即可，而题目所给的E为切点的条件经常通过作半径造直角来使用，考虑连结OE，构造RtOEF，由此找到与之相似(或使用三角函数)，找到与有关线段和已知条件间的联系.解：(1)连结OE， EF切O于E， OEEF于E 在RtEFO与RtBFC中 设AF=x，则 得 (由切割线定理)易证AEFEBF EF2=AFBF=x(x+2a) 解得 ；(2)在RtAFG与RtOEF中 .积累：在很多几何问题中我们都会遇到一些与计算相关的内容，对于其中一些不太好根据具体数字来计算的内容，我们要有一种方程想法，可设置一些关键量为未知数，并借助它把其它量表示出来，再利用几何知识求解线段长度.3. 如图，以RtABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，E是另一条直角边BC的中点.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AD=4，求DE的长.分析：这是很常见的基本的圆的综合题型，第一问考察切线的证明，常规方法有二：1. 有切点，连半径，证垂直；2. 无切点，作垂直，证半径，第二问由于题目中直角、等角较多，可以考虑用相似.(1)证：连结OD， OA=OD ODA=A AC是O直径 ADC=BDC=90 又 DE=BE BDE=B ODA+BDE=A+B=90 ODE=90 DE是O切线；(2)易证RtBCDRtBAC BC2=BD2+CD2 .4. 如图，已知O与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O的坐标是(1，-1)，半径是.(1)比较线段AB与CD的大小；(2)求A、B、C、D四点的坐标；(3)过点D作O的切线，求这条切线的解析式.分析：(1)圆心O在OO上，而OO是O的对称轴，猜想线段AB与CD大小相等；(2)已知圆心坐标与半径，上一问又涉及弦，我们不妨考虑构造垂径定理基本图，利用直角三角形计算；(3)我们必须求得切线上另一点坐标，才便于求出切线方程.解：(1)过O作OEAB于E，作OFCD于F 则OE=1，OF=1 AB=CD(同圆中，相等圆心距对应相等的弦)；(2)连结OD OD=OF+DF=3 D(0，-3) 同理：A(-1，0)，B(3，0)，C(0，1)(3)设过D的切线与轴交于点G ODF+ODG=OGD+DOG=90 ODF=OGD 又OFD=ODG=90 DOFGDO ， OG=6 G(-6，0) 设切线DG解析式为y=kx+b D(0，-3)，G(-6，0) 切线解析式为.5. 在图中所示的直角坐标系中，点O1的坐标为(1，0)，O1与x轴交于原点O和点A，又点B、C的坐标分别为(-1，0)，(0，b)，且0b3，直线是过B、C的直线.(1)当点C在线段OC上移动时，过点O1作O1D直线，交于D.若，试求：a与b的函数关系式及a的取值范围；(2)当D点是O1的切点时，求直线的解析式.分析：(1)如何建立a与b间的关系式？不妨借助题目中面积之比转化为线段之比的平方，并在线段中用b来表示；(2)画出示意图后，由切点可知图中有直角产生，可利用相似形求得相应线段的长度，进而求得D点坐标，再由B、D两点，求出切线解析式.解：(1)CBO=O1BD RtBOCRtBDO1 又BC2=BO2+CO2=1+b2，BO1=2 0b3，0b29， ；(2)BD切O1于D，切线为，作DEBO1于E 则RtDEO1RtBDO1 ，即， 在RtO1DE中 设直线解析式为y=kx+b 则，解得 解析式.6. 抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点为P，与x轴的两个交点为M，N(点M在点N左侧)，PMN的三个内角P、M、N所对的三边长为p，m，n，若关于x的的一元二次方程(p-m)x2+2nx+(p+m)=0有两个相等的实根，(1)试判定PMN的形状；(2)当顶点P的坐标为(2，-1)时，求抛物线解析式；(3)平行于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标.分析：(1)从方程有两个相等实根入手列=0可以找到p，m，n的关系式；(2)由顶点坐标结合p，m，n的关系得出PMN的形状，可求出抛物线中其它系数；(3)以AB为直径的圆恰好与x轴相切，意味着直线到x轴距离等于半径长，即长.解：(1)一元二次方程(p-m)x2+2nx+(p+m)=0有两个相等实根 =(2n)2-4(p-m)(p+m)=0 p2=m2+n2 由二次函数对称性可知，这个三角形是等腰直角三角形；(2)示意图 设抛物线解析式为 y=a(x-2)2-1=ax2-4ax+4a-1 PMN为等腰直角三角形PM=PN ，即， 16a2-16a2+4a=4a2 a1=0(舍)，a2=1 经检验，a=1满足方程 抛物线解析式：y=x2-4x+3；(3)设直线AB为y=k 则必有两不等实根 x2-4x+3=k，x2-4x+3-k=0 又以AB为直径的圆恰与x轴相切 ， 圆心坐标.7. 如图、，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4，0)，以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，AOC=60，P是x轴上的一动点，连结CP(1)求OAC的度数；(2)如图，当CP与A相切时，求PO的长；(3)如图，当点P在直径OB上时，CP的延长线与A相交于点Q，问PO为何值时，OCQ是等腰三角形？分析：(1)由特殊三角形较容易实现长度与角度间的联系，算得OAC；(2)有切线便出现RtACP，则相等的角、线段会较多；(3)OCQ为等腰三角形，往往意味着有三种情况： OC=OQ，OC=CQ，OQ=CQ，去除掉其中不可能的情况，便于讨论.还要注意CP延长线交A于点Q，若点Q不在CP延长线上是不满足要求的，最后，由题目(1)(2)问中得到不少特殊角，把它放在特殊三角形中(直角三角形等)才易参与运算.解：(1)AOC=60，AO=AC AOC是等边三角形，OAC=60；(2)CP与A相切，ACP=90 APC=90-OAC=30 又A(4，0)，AC=AO=4，PA=2AC=8 PO=PA-OA=8-4=4；(3)过点C作CP1OB，垂足为P1，延长CP1交A于Q1， OA是半径，OC=OQ1，OCQ1是等腰三角形 又AOC是等边三角形，； 解法一： 过A作ADOC，垂足为D，延长DA交A于Q2，CQ2与x轴交于P2， A是圆心，DQ2是OC的垂直平分线 CQ2=OQ2，OCQ2是等腰三角形 过点Q2作Q2Ex轴于E 在RtAQ2E中， ，点Q2的坐标 在RtCOP1中，P1O=2，AOC=60， 设直线CQ2的关系式为：y=kx+b，则有 当y=0