圆周率的近似计算.doc

实验二 的近似计算一.实验目的1.了解 的计算历程2.理解和掌握近似计算的数值积分法、蒙特卡罗（Monte Carlo）法、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法等方法的原理和过程。3.学习、掌握Mathematica和MATLAB的应用环境及其基本功能，通过一些练习掌握其基本的操作及相关命令。二.实验内容1.运用数值积分法来近似计算的值。2.利用蒙特卡罗（Monte Carlo）法来近似计算的值。3.利用韦达（VieTa）公式近似计算的值4.利用级数来近似计算：（1） 莱布尼茨级数 （2） 欧拉级数 和5.利用拉玛努金（Ranmaunujan）公式来近似逼近计算值 三.实验准备及过程 是人们经常使用的数字常数，对的研究已经持续了2500多年，同时今天人们还在不断的探索研究进行中。一般有以下几种近似计算方法。1.数值积分法半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于，只要计算出它的面积，计算出了。以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分是一个扇形，由曲线y= (x0,1)及两条坐标轴围成，它的面积S=/4。算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。（1）梯形公式设分点x1,xn-1将积分区间a,b分成n等份，即xi=a+i(b-a)/n,0in所有的曲边梯形的宽度都是h=(b-a)/n。记yi=f(xi)。则第i个曲边梯形的面积Si近似地等于梯形面积(yi-1+yi)h/2，将所有这些梯形的面积加起来就得到S(b-a)y1+y2+yn-1+(y0+yn)/2/n这就是梯形公式。（2）辛普森公式仍用分点xi=a+i(b-a)/n（1in-1）将区间a,b分成n等份，直线x=xi(1in-1)将曲边梯形分成n个小曲边梯形。再作每个小区间xi-1,xi的中点xi-1/2=a+(i-1/2)(b-a)/n。将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)(xi-1xxi)近似地看作经过三点(x,f(x),(x=xi, xi-1/2, xi)的抛物线段，则可求得Si(b-a)(yi-1+4yi-1/2+yi)/6n，其中yi-1/2=f(xi-1/2)。于是得到这就是辛普森公式。 在Mathematica环境下，利用梯形公式、辛普森公式近似逼近值，具体执行指令语句和结果如下图：2.泰勒级数法利用反正切函数的泰勒级数arctanx=x-x3/3+x5/5-(-1)k-1x2k-1/2k-1计算。在Mathematica环境下，具体执行指令语句和结果如下图：实验结果，发现花费的时间很长，所得的结果的准确度却很差，其原因是由于当x=1时得到的arctan1展开式/4=arctan11-1/3+1/5-+(-1)k-1x2k-1/2k-1+收敛得太慢。怎样才能使泰勒级数arctanx=x-x3/3+x5/5-(-1)k-1x2k-1/2k-1收敛地快？容易想到，应当使x的绝对值小于1，最好是远比1小，这样，随着指数的增加，x的幂快速接近于0，泰勒级数就会快速收敛。比如，取x=1/2得到arctan(1/2)的就收敛得快。3.蒙特卡罗（Monte Carlo）法在数值积分法中，我们利用求单位圆的1/4的面积来得到/4，从而得到。单位圆的1/4是一个扇形G，它是边长为1的单位正方形G1的一部分。单位正方形G1的面积S1=1。只要能够求出扇形G的面积S在正方形G1的面积中所占的比例k=S/S1，就能立即得到S，从而得到的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中所占的比例k？一个办法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投点的总数n的比m/n可以作为k的近似值。在Mathematics中，产生0,1中内均匀分布的随机数的语句是Random。产生两个这样的随机数x,y，则以（x,y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是x2+y21。这样利用随机数来解决问题的数学方法称为蒙特卡罗法。在Mathematica环境下，具体执行指令语句和结果如下图：4. 韦达（VieTa）公式，此公式给出了计算的精确表达式：计算的近似值。在MATLAB环境下，输入以下指令： x=1; for i=1:20ix=vpa(x*cos(pi/2(i+1),30);pai=vpa(2/x,22)error=vpa(pi-2/x,22)end 运行结果如下：i=1 pai=2.828427124746190097603 error =.313165528843603140860i=2 pai=3.061467458920718232298 error =.80125194669075006165e-1i=3 pai=3.121445152258052404216 error =.20147501331740834247e-1i=4 pai=3.136548490545939249125 error =.5044163043853989338e-2i=5 pai =3.140331156954752858963 error =.1261496635040379500e-2i= 6 pai =3.141277250932772720892 error =315402657020517571e-3i= 7 pai =3.141513801144301048318 error =.78852445492190145e-4i= 8 pai =3.141572940367091461583 error =.19713222701776880e-4i= 9 pai =3.141587725277159716287 error =.4928312633522176e-5i=10 pai =3.141591421511200086037 error =.1232078593152426e-5i=11 pai =3.141592345570117830926 error =.308019675407537e-6i=12 pai =3.141592576584872625535 error =.77004920612928e-7i=13 pai =3.141592634338562821891 error =.19251230416572e-7i=14 pai =3.141592648776985437337 error =.4812807801126e-8 i=15 pai =3.141592652386591008149 error =.1203202230314e-8 i=16 pai =3.141592653288992575505 error =.300800662958e-9i=17 pai =3.141592653514592792966 error =.75200445497e-10i=18 pai =3.141592653570993021726 error =-10i=19 pai =3.141592653585093078916 error =.4700159547e-11i=20 pai =3.141592653588617918820 error = .1175319643e-11四.实验总结和结果分析 通过在Mathemati