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图形与变换基础盘点1、平移 (1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。温馨提示：平移不改变图形的形状和大小。（2）平移的特点：平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。温馨提示：平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。(3) 平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。温馨提示：a在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。b在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。c平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。（4）简单作图 平移的作图主要关注要点：1方向，2距离整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的温馨提示：a确定一个图形平移后的位置所需条件为：图形原来的位置；平移的方向；平移的距离。b用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。2、旋转(1) 旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。温馨提示：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征，但改变图形的方向（2）、旋转的性质a对应点到旋转中心的距离相等； b对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； c旋转前、后的图形全等；d图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。温馨提示：旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向；（3）、简单的旋转作图： 旋转作图关键有两点：旋转方向，旋转角度主要分四步：边、转、截、连旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等温馨提示：图形的中心对称是图形旋转的一种特殊情况（4）平面直角坐标系中点的旋转将点A（a，b）绕原点按逆时针方向旋转90，得到的点的坐标为（-b，a）温馨提示： 注意旋转的方向3、图形的位似(1)位似图形的概念：每对对应点所在直线交于一点的相似图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 温馨提示：位似图形是相似图形（2）位似图形性质如果两个图形是位似图形，且对应边平行或在同一条直线上，那么图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于对应边的比。 温馨提示：a.位似图形对应线段的比等于相似比。 b.位似图形的对应角都相等。 c.位似图形对应点连线的交点是位似中心。 d.位似图形面积的比等于相似比的平方。 e.位似图形高、周长的比都等于相似比。 （3）画位似图形 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。温馨提示：位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部4、平移和旋转的区别和联系区别：平移为直线运动，即各点均沿相互平行的直线作定向运动；而旋转则是做曲线运动，即围绕某一定点作不同运动，但角度相同的曲线运动. 平移集中体现为变化前后的“距离”上的相同.旋转则集中体现了变化前后“旋转角度”相同共性：平移和旋转均保持原有图形的形状和大小.考点呈现知识点1：平移变换例1 ：弯弯囡收集了如图欣赏并说明下列各种商标图案，其中哪些是利用平移来设计的？（1） （2） （3） （4） （5） （6）思路点拨：欣赏判断一个图案，其中是否包含平移变换，首先要观察是否包含平移所需的“基本图形”，然后观察平移的方向或平移的距离，即平移的方式.例2：在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）A B C D思路点拨：二次函数图象的平移是图形平移的一种特殊情况，熟练掌握公式和口诀，此类问题便不难解决了。对于二次函数的顶点式来说，h值左加右减，k值上加下减。答案：B例3：如图，在方格纸中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A先向下平移3格，再向右平移1格图甲乙图甲乙B先向下平移2格，再向右平移1格C先向下平移2格，再向右平移2格D先向下平移3格，再向右平移2格思路点拨：找图形平移的方向和距离，只要找图形中的某一点和它的对应点之间的平移关系就可以了。答案选D；例4：如图，把O1向右平移8个单位长度得O2，两圆相交于A、B，且O1AO2A，则图中阴影部分的面积是（ ） A.4-8 B. 8-16 C.16-16 D. 16-32思路点拨：此题是平移和圆的综合运用，根据勾股定理可以求出圆的半径，再根据扇形和三角形面积可以求解。答案选B。知识点2：旋转变换例1：如图，P是正ABC内一点，若将PBC绕点B旋转到PBA，则PBP的度数是（） A45 B60 C90 D120思路点拨：在旋转过程中，如果某条线段绕旋转中心旋转一定的度数，那么其它的点或线段也绕旋转中心旋转相同的度数。答案：B例2：设矩形ABCD的长与宽的和为2，以AB为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（ ）A、最小值4B、最大值4C、最大值2D、最小值2思路点拨：此题考核平面图形通过旋转得到立体图形的相关知识。可以设矩形的其中一边为x,通过列式配方求最大值即可。答案：C知识点3：位似变换例1.下列说法不正确的是（ ）A位似图形一定是相似图形 B.相似图形不一定是位似图形 C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行思路点拨：本题考查位似图形与相似图形的关系以及位似图形的性质。答案选D例2.下列说法正确的是（） A.分别在ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DEBC,则ADE是ABC放大后的图形 B.两位似图形的面积之比等于位似比C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比D.位似图形的周长之比等于位似比的平方思路点拨：位似图形一定是相似图形，所以位似图形具备相似图形的一切性质正确的是C 误区点拨（1）弄反了坐标平移的上加下减，左减右加的规律；（2）平移与旋转的性质没有掌握。 例1如图9-3，下列图案中， 是由平移得出的， 是由平移且旋转得出的。图9-3【考点要求】本题考查平移、旋转的定义。【思路点拔】图中的鸽子是头向左，尾巴向右展翅飞翔，平移后的图形应与其方向保持一致，而如果经过旋转后则会发生方向上的改变。【答案】是由平移得出的，是由平移且旋转得出的。【错解剖析】本题需熟悉平移与旋转的性质，同时还需要一定的空间想象能力。方法指导例1. 如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。 分析：假设桥为MN，从AB要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AMNB最小即可。 例2. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分EAD交CD于点F，说明AEBEDF的理由。 分析：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。 解：把ADF绕点A顺时针旋转90，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F的位置，根据旋转的性质得： 31，FBFD，AFBAFD ABCD为正方形 DABF90 F、B、E、C在一条直线上 又12EAB90 32EAB90 FAE290 又AFD190例3. ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AEBFCD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。 （1）求1的度数； （2）判断GMH的形状。 分析：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60，1是BCH的外角，可知123。 而24 14360，从而得证。 解：（1）等边ABC是旋转对称图形，且AEBFCD 所以，ABC绕旋转中心旋转120后，AEC、BFA、CDB能够重合 24 由123 14360 （2）同理可得：GMHMGH60GMH是等边三角形34 B1CBAC1例4：如图，将RtABC(其中B34，C90）绕A点按顺时针方向旋转到AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.56 B.68 C.124 D.180 解析：根据旋转的概念（把一个图形绕着某一点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转）可得，对应边也旋转了同样的角度，其中边AB旋转到了A B1的位置. BAB134+90124,所以旋转角最小是124.答案：C方法技巧：熟记平移与旋转的概念和特征，锻炼自己的视图能力，必要时用对应边角解决问题.例5：如图，在中，将绕点沿逆时针方向旋转得到（1）线段的长是 ，的度数是 ；（2）连结，求证：四边形是平行四边形；（3）求四边形的面积解析：本题看似复杂，其实每一问都是用最基础的知识解答.答案：（1）6，135. （2） 又 四边形是平行四边形 . (3) 36 . 方法技巧：认真读题，细心解答，不在简单题上失分.例6.图形的操作过程（本题中三个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为）：图甲种，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）；图乙种，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）（1）在图丙中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：（3）联想与探索：如图丁，在一块长为，宽为的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想的正确性. 对应训练一一、选择题1.如图，ABC和BDE是等边三角形，点A、B、D在一条直线上，并且ABBD.由一个三角形变换到另一个三角形( ).A仅能由平移得到 B.仅能由旋转得到C.既能由平移得到，也能由旋转得到 D.既不能由平移得到，也不能由旋转得到2.如图，ABC是等边三角形，D为BC边上的点，BAD15，ABD经旋转后到达ACE的位置，那么旋转了( ). (A)75 (B)60 (C)45 (D)153.如图，ABC绕着点O按顺时针方向旋转90后到达了CDE的位置，下列说法中不正确的是( ). (A)线段AB与线段CD互相垂直 (B)线段AC与线段CE互相垂直(C)线段BC与线段DE互相垂直 (D)点C与点C是两个三角形的对应点4.如图，在直角ABC中，C90，A35，以直角顶点C为旋转中心，将ABC旋转到ABC 的位置，其中A、B 分别是A、B的对应点，且点B在斜边AB上，直角边CA 交AB于点D，这时BDC的度数是( ). (A)70 (B)90 (C)100 (D)10A ED B C5. 如图,ABC和ADE均为正三角形,则图中 可看作是旋转关系的三角形是( ) A.ABC和ADE B.ABC和ABD C.ABD和ACE D.ACE和ADE6. 下列说法正确的是( ) A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到7.下列图案中，可以由一个”基本图案”连续旋转得到的是（ ）. （A） （B） （C） （D）8.钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是_,经过20分,分针旋转_度。9.如图,转动一个角度后成为,则图中_是旋转是心,旋转_度,点B与点_是对应点,点C与点_是对应点,ACD=_,AD=_.10.如图,E为正方形ABCD内一点,AEB=135,BE=3cm,按顺时针方向旋转一个角度后成为,图中_是旋转中心,旋转_度,点A与点_是对应点, 点E与点_是对应点,是_三角形,CBF=_,BFC=_度,EFC=_度,BF=_cm.11.如图,ABC、ADE均为是顶角为42的等腰三角形,BC和DE分别是底边,图中_与_,可以通过以点_为旋转中心,旋转角度为_.其中BAD=_,CE=_.12.如图所示，将BAC绕点A沿顺时针方向旋转60至DAE的位置.若BAC=120，则ABD是_三角形.三、解答题ABFCDE13、四边形ABCD是正方形，DCE顺时针旋转后与DAF重合，那么（1）旋转角是几度？（2）连结EF后，DEF是什么三角形？（3）若DC3，CE1，则EF？（4）若AE=5,求四边形BEDF的面积。“图形与变换”练习二1请仔细观察下列轴对称图形的构成，然后在横线上画出恰当的图形_N_M_D_C_B_A2如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM2,N是对角线上的一动点，则DN+MN的最小值为_ _ABCDEABCDE (第2题图) (第3题图) (第4题图)3如图，已知梯形ABCD中，ADBC，B = 90，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD绕点D逆时针旋转90 到DE位置，连结AE，则AE的长为 .4如图，把ABC绕点C顺时针旋转35，得到ABC，AB交AC于点D，若ADC=900，则A度数为（ ）A.45 B.55 C.65 D.755上右图是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD以A为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（）A.顺时针旋转60B. 顺时针旋转120 C.逆时针旋转60D. 逆时针旋转1206已知：如图，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）A或B或 C D7如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，画出将ABC绕原点O按逆时针旋转90所得的A2B2C2，A1B1C1与A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；A1B1C1与A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.8.在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角（1）填空： 如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（，）；如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；BDE图1BDE图2图3（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，为边向外作正方形，点，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系9. 如图1，一副直角三角板满足ABBC，ACDE，ABCDEF90,EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中，（1） 如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.（2） 如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为_,其中的取值范围是_(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC30cm，连续PQ，设EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2） 随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.10如图，在直角梯形纸片中，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为连接并展开纸片（1）求证：四边形是正方形；ECBDAGF（2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形答案：1略 2.10 3. 4.C 5.D 6.A 7. 解：如下图所示，（4）对称中心是（0，0）8. 解：（1），； ；（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段，10证明：（1），ECBDAGF由沿折叠后与重合，知，四边形是矩形，且邻边相等四边形是正方形（2），且，四边形是梯形四边形是正方形，又点为的中点，连接在与中，四边形是平行四边形四边形是等腰梯形注：第（2）小题也可过点作，垂足为点，证图形的平移与旋转水平测试一、试试你的身手1在横线上填上图形从甲到乙的变换关系：2如图1，ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转60，得ABC，则ABB是 三角形3如图2是一个三叶吊扇图片，当第一个叶片转动到第二个叶片时，它转动了 度4钟表的分针旋转120所需时间为 分；时针转3小时，旋转了 5如图3为某煤气公司的商标图案，外层可以视为利用图形的 设计而成的，内层可以视为利用图形的 设计而成的，既形象又美观6如图4，阴影部分面积为 7通过平移把点A（2，-3）移到点A（4，-2），按同样的平移方式，把点B（3，1）移到点B，则点B的坐标是 8如图5，照相时为了把近处的较高物体照下来，常常保持镜头中心不动，使相机旋转一定的角度，若A点从水平位置顺时针旋转了30，那么B点从水平位置顺时针旋转了 度9将点A（3，1）绕原点O按顺时针方向旋转90到点B，则点B的坐标是 10如图6，正方形ABCD通过逆时针旋转得到正方形ABCD，则旋转角度数是 二、相信你的选择（每小题3分，共30分）1下列现象中，属于平移变换的是（）A前进中的汽车轮子B沿直线飞行的飞机C翻动的书D正在走动中的钟表指针2将点P（2，2）沿x轴的正方向平移4个单位得到点P的坐标是（）A（2，6）B（6，2）C（2，2）D（2，2）3小明挪动家里的电冰箱，对应的四个轮子移动的距离分别是：11.1cm，11.1cm，11.1cm，11.1cm，这样的挪动是（）A平移B旋转C轴对称D中心对称4下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45得到的是（）5下列各组图形中，不能由平移或旋转得到的一组是（）6如图7，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A不变B先增大再减小C先减小再增大D不断增大7如图8，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，已知AD=5，B=70，则（）AFG=5， G=70BEH=5，F=70CEF=5， F=70DEF=5，E=708如果在正八边形硬纸板上剪下一个三角形（如图9（1）中的阴影部分），那么图9（2），图9（3），图9（4）中的阴影部分，均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到要得到图9（2），图9（3），图9（4）