几何概型2.ppt

几何概型 问题1 取一根长度为3cm的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不小于1cm的概率有多大 问题2 射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设射箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 那么射中黄心的概率为多少 1 在这两个问题中 基本事件有哪些 有多少个 该问题是否属于古典概型 2 是否类似于古典概型 基本事件是 等可能 发生 3 能否用古典概型的方法求解 若不能如何改进 这两个问题的共同特点 1 在每次随机试验中 不同的试验结果有无穷多个 即基本事件有无限多个 2 在这个随机试验中 每个试验结果出现的可能性相等 即基本事件发生是等可能的 问题1 取一根长度为3cm的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段得长都不小于1m的概率有多大 当剪断位置处在中间一段上时 所求事件发生 由于中间一段长度等于绳长的1 3 所以该事件发生的概率为1 3 问题2 射箭比赛得箭靶涂有5个彩色得分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设射箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 那么射中黄心的概率为多少 该事件发生的概率为 对于一个随机试验 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中每一点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生恰好取到上述区域内的某一指定区域中的点 这里的区域可以是线段 平面图形 立体图形等 用这种方法处理随机试验 称为几何概型 几何概型 一般地 在几何区域D中随机地取一点 记事件 该点落在其内部一个区域d内 为 事件A 则事件A发生的概率为 确定 当 D分别是线段 说明 1 古典概型与几何概型的区别在于 几何概型是无限多个等可能事件的情况 而古典概型中的等可能事件只有有限多个 2 测度的意义依D 平面图形和立体图形时 相应的 测度 分别是 长度 面积和体积 3 在区域D内随机取点是指 该点落在D内任何一处都是等可能的 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关 例题 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 随机向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概率 解 记 豆子落入圆内 为事件A 则 所以豆子落入圆内的概率为 例题 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10mL 含有麦锈病种子的概率是多少 解 取出10mL麦种 其中 含有病种子 这一事件记为A 则 所以含有麦锈病种子的概率为 例题 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点M 求AM小于AC的概率 解 在AB上截取 于是 所以AM小于AC的概率为 变形 在区间 0 10 中 任意取一个数与6之和大于10的概率是多少 练习 设A为圆周上一定点 在圆周上等可能地取一点P 连成一条线段AP 则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少 B C D E 0 解 记事件A 弦长超过圆内接等边三角形的边长 取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点 当另一点在劣弧CD上时 BE BC 而弧CD的长度是圆周长的三分之一 所以可用几何概型求解 有 则 弦长超过圆内接等边三角形的边长 的概率为 变 在圆内任作一弦 其长度超过内接等边三角形边长a的概率是多少 假定弦的中点在圆内均匀分布 例题 在矩形ABDC中 AB 5 AC 7 在矩形内取一点P 求 APB 90 的概率 变形 若 求 APB 90 的概率 呢 变形 若 求 APB 90 的概率 呢 练习1 已知地铁列车每10分钟一班 在车站停1分钟 求乘客到达站台立即乘上车的概率 2 若P是线段AB上的任意一点 AB的长度为3 求P到A的距离不超过到B的距离的概率 3 一海豚在水池中自由游弋 水池为长30m 宽20m的长方形 求此海豚离岸