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范例3 9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期 我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运行 地球的中心处于椭圆的一个焦点上 已知地球半径为RE 6 378 106m 人造卫星距地面的最近高度 即近地点 为h1 4 39 105m 最远高度 即远地点 为h2 2 384 106m 卫星在近地点的速度为v1 8 10 103m s 具体描绘卫星运动的轨迹 求卫星在远地点的速度v2和运动的周期T 解析 取地球中心为坐标原点 则表示地球圆周的参数方程为 a h1 h2 2RE 2 r1 r2 2 其中 r1 RE h1 r2 RE h2 焦距为c a RE h1 h2 h1 2 半短轴为 卫星椭圆轨道的半长轴为 x REcos y REsin 椭圆的方程为 其参数方程为 x acos c y bsin 设卫星的质量为m 卫星在近地点的角动量为L1 mv1r1 在远地点的角动量为L2 mv2r2 根据角动量守恒定律可得 行星运动的开普勒第二定律是 行星对太阳的矢径在相等时间内扫过相等的面积 方法一 用开普勒第二定律求周期 该定律也适用于卫星绕地球运行的情况dS dt C 根据近地点的速度和距离可计算常数 当卫星运行一圈时 矢径扫过的面积就是椭圆的面积 卫星运动的时间就是一个周期 椭圆的短半轴可表示为 椭圆的面积为S ab 因此卫星的周期为 范例3 9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期 行星运动的开普勒第三定律是 行星公转周期的平方与它的轨道长半轴的立方成正比 方法二 用开普勒第三定律求周期 该定律也适用于卫星绕地球运行的情况T2 a3 C 如果卫星的轨道是圆形 长半轴就是圆的半径 假设一颗卫星绕地球做半径为R0的匀速圆周运动 其周期为T0 则常数C为 假设卫星的质量为m 在绕地球做匀速圆周运动时 根据向心力公式得 其中 G是万有引力常数 ME是地球质量 范例3 9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期 由于 2 T0 所以常数为C 4 2 GME 这是一个由地球质量决定的常数 地球质量越大 常数就越小 我国第一颗人造地球卫星的周期为 我国第一颗人造地球卫星的轨迹是椭圆 在近地点速度最大 在远地点速度最小 只有6 3km s 根据开普勒第二定律求出卫星周期约为6850s 根据开
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