二阶与三阶行列式.doc

第一章 行列式11 二阶与三阶行列式12 全排列及其逆序数13 n阶行列式的定义一、以自然数从小到大的次序为标准次序，求下列排列的逆序数。1、52134解：；2、解：；3、解：。二、设排列的逆序数为，试求排列的逆序数。 解：若把这n个不同的元素按从小到大的顺序排列，则任意两个元素都构成一个逆序，其逆序数为，也即共有对数构成逆序；而在排列中，若和（）在排列中构成一个逆序，则在排列中就不构成逆序，而，表明在排列中共有对元素构成逆序，且这对元素在排列中必不构成逆序，故。三、选择m和n使下列排列满足所给要求。1、2145m69n7为奇排列解：；2.39m7215n4为偶排列解：。四、确定五阶行列式中以下各乘积的符号。1、解：因为 ，而，故符号为正。2、解：因为 ，而，故符号为负。、五、试写出四阶行列式中含的项。解：，六、若n阶行列式中，零的个数多于时，该行列式的值是多少？解：因为n阶行列式行列式共有个元素，而零的个数多于，则非零的个数比少于n个，由行列式的定义：（其中t为排列的逆序数），则中至少有一个元素为零，故该行列式的值为零。14 对 换15 行列式的性质一、用行列式的性质求解下列各题1、计算解：原式 2、计算解：原式二、证明证明：三、解方程四、证明证明：左边右边。五、计算下列阶和阶行列式。1、解：原式 2、解：原式 16 行列式按行（列）展开17 克莱姆法则一、计算下列各题1、设，求第一列的代数余子式的值。解：； ； .2、计算解：原式= （利用范德蒙行列式的结果）二、计算下列行列式1、 （）解：原式 2、解：把中的第行依次与第行对调，作次相邻对换，得：再把所得行列式中的第列依次与第行对调，作次相邻对换，得： 三、试讨论方程组有无非零解。解：因为系数行列式为故该方程组只有零解。四、求解下列各题。1、为何值时，齐次方程组有非零解。解：要使该齐次方程组有非零解，则它的系数行列式，而故由，解得或或。2、用克莱姆法则解方程组。解：因为系数行列式为所以由克莱姆法则知该方程组有唯一解。又由于故该方程组的解为第一章 复习题三、求解下列各题：1、计算解：原式 2、解方程解：计算左边的行列式，按第一列展开得：3、确定a的值，使得方程组有非零解解：方程组有非零解，即系数行列式为零， 解得4、计算解：此行列式不是范德蒙得行列式，构造行列式如下： (1)而， 四、证明下列各题：1、证明：证明：1）当时，将按第一列展开得：，由数学归纳法证明。2）当时，将按第一列展开得：，由数学归纳法证明。2、若n阶行列式中元素满足，则称该行列式为反行列式。试证明：奇数阶反对称行列式的值为零。证明：设A为反对称行列式， 若n为奇数，则五、为何值时，其次方程组有非零解解：方程组有非零解，即系数行列式为零， ，六、求解线性方程组解：利用克拉默法则，注意系数行列式即为第四大题第一小题的形式。16第一章 自测题A二、计算题1、解：原式2、解：原式 (此行列式为范德蒙得行列式)三、已知，求x的值解：化简左边的行列式得： (提示：将所有行加到第一行)四、计算解： 五、讨论当为何值时，方程组有唯一零解？有非零解？解： 第一章 自测题B三、计算题：1、求解：分子 分母 原式2、设、是三次方程的根，求行列式的值