试析数学基本思想方法及其形成.pdf

天津教 育学 院学报 自然 科学 版 9 9 1 年 第 期 试析数学基本思想方法及其形成 i培魄 提 要 本空首先从教学思维的角度阐述丁数学摹本思想h 的内容与意义 分析丁影响 教学 思想方 诲形成 的 因素 并 通垃 敷学 概忠 的 髓 数学 站论的 推 导过程 数 学 方 法的思考过 程 教学规律 的赦 揭示上 士程等儿 r 侧 面 跑迹 戢学 思想 疗法的形 成 培养 关t词数 学思维 数学 思想方法 数学基 本思想方 法是 幽数学 的基本 思想 基本方法 基本概念和基 本态度所构成的认 淡系 统 它不是一般意义下的方法 即理想应用于实践的中介 而是相应方法的精神实质与理论根 据 在数 学思维结 果 即数学 知识 的总结和应用 的基础 上概括 出具 有指导意义和 普遍思维 价 值 的思想精髓 包括人 们在进行数学思维活动时的观 点 原则 思想方法 及确定行 为的方式等 数学基 本思想方法是通过 思维 活动对客观 事物所作出的概括 反应 如 反演 映射 思想就是 一 种 基本思想方法 在数学 忍维结 构中属于对应 思维 它的 数学 基础 是函数 的对应 说 包括 r 集合 思想和对应思想两种数学思想 它是 人们认讽两个 集合间联系的根据 已成 为许多厦要数 学概念和方法赖以产生和建立的基础与工具 1 数学 基本 思想 方法 与数学思维 数学基本思想方法 如构造的思想 分类的思想 基本量的思想 化归的思想 变换的思想 等 是 数学认知结构形成 的核心 它既 包括 作为知识 内窖的表象 概念 概念体 系 又包括掌握 相应知 识 内容所必须具有的思维 能力 一 定的认知结构与面对知识客体的关系响以下几种 可同化关系 非同化可顺应关系和非 顺应关 系 如有理指数幂函数 z ER n Q 当 a取无理数时 就引起了认知结构 的不平 衡 原有的认知结构不能同化这新的知识窖体 由于无理数 都可看成某一有理数列f Q N 的极 限 即 l i ra编 水均有 意义 N 便 可用傲限的思 想定 义 一l i ra 从 而把 尢 n 理指数纳入幂函数的认知结构 中 即通过极限这 一基l率思想方 法定 义 r无理 指数 幂 使它 的认 知结构在整体上出现突变进入可顺应关系这 一更高的层次 从中可看出 要使学生已有的认知 结构部分 改组 以适 合不相适应的新知 识输 的需要 使新知识纳入原有的认知结构 中 产生同 化 如正整指数幂函数扩大到有理指 数幂 函数 或者变 外在知识的无序为认知结构的有序 产 生顺 应 如有理指数幂函数扩大 到实指 数幂晒数 并往此基础 七 形 成新 的更高层次的认知结 5 4 维普资讯 构 既使对非顺 应关 系的知识输入f 如底取负数的 幂 函数 也必须使学生牢固地掌握数学基 本 思想方法 数学基本思想方法影响着人的思维方式 也影响着人接受 加工 处理信息的方式 从而影 响着认知结构 的形成 可以说 它是建立数学认知结构这个主体网络结构的主导思想 从 思维 的角度看 数学基 本思想方法就是用数学 的思维方式去考虑 和处理 问题的 自觉意 识或思维 习惯 数学基本 思想方法 的形成和发展总离不开具体的数学 思维 过程 一方面 数学 思维通过基本 思想方 法作为桥梁作用于 数学 思维 过程 另一方面 在数学 知识构 建过程 中 只 有促进数学思维方法的发展才能形成 广泛的迁 移 进而升华为数学思维 内容 促进 思维结构的 完善 数学 思维 能力是通过基 本思想方法 为媒介来指导数学思维活动的 在获取具体数学知识 的过 程中 也是通过 基本 思想方法来培养和发展 数学思维能 力 建立数学 思维结 构的 在整个 思维 过程中 要对 自身思维活动的定 向控制及时作 出评 价 并利用反馈信 息进行调 节 以把 握 基本 思想方法发展 的方 向 保证 结晶 戚 的数学思维 能力有更广泛的概括余地 发挥 基本思想 方法在监控思维过 程中的重要 作用 基本 思想方法 又是 数学 问题和 人的思维过程 巾间的基本桥梁 一 在学生知识结构 的形成过 程 中 只有促进基本思想方法的发展 才能使知识和县体睁敬学 方法产生广泛 迁移 任何 个 数学 阐题 的解决无 一不 甩到一定 的数学思想 法 在传授数学知识的 同时 渗透 数学方 法论的 观点 使学 生形成 正确 的数 学基 本思想 方法 这是通 向解题 成功的 阶梯 也 是使学 生脱离 题 海 的救 生快 艇 基本思想方法不仅是探索解题 途径 的 盏明灯 而 艮还是我们必须具备的教学素养 真 正教育 的 旨趣 在于 即使是学生把教给 他的所 有知识都 枣 汜 l 但还能使 他获得受 用终 的 东西 那 种教育才是最高最好的教育 这 受 用终生的东西 在数学 中就是 数学基本思想 法 2 影响数 学基 本思想方 法形成 的因素 影 响数 学基本 思想方法形成 的因 素是多打面的 如 知识 因 素 思维因素 认 知 索以 盟外 部条件等 2 I 知识 因素 数学基本思想方法 是数 学 知结 掏中起重要组 作用的 阿索 没 仃知识俺提 喙 方泼 更抽 象不出基 本思想 对于 数学知 识 有 两个 层次的 要求 2 1 i 考察和 了瓣 以前 知 识学 习的结 粜 t 掌握知识 的内容 广度和深度 2 知识链 的构成状 态 前后知识联结 的紧密程崖 3 j 综 台性 知识的形成状 态 知识之 间横 向相关情况 2 1 2 考察和 了解学生知识发生的过程和接 受知识 的过程 1 学 生的认识受外部刺激的形式 课 堂教学 自学 讨论 及其结构 2 信 息的 内部处理过程 即思维 加工方式 3 如何受原有知识的影响 即思维模式化状况 思维定势 的作 用程度等 2 2思维 因素 5 维普资讯 中学生 的思维发展为数学 基本 思想方法 的培 养创造 厂条件 坦还要对思维发展 的整体水 平和个体差异做 出考察和估价 具体说就是要求 2 2 1 学 习过程 中能积极 思考 活跃 思维 2 2 2 能够提出问题 并善于通过自己的主动探索去分析和解决问题 从这个探索的思维过 程中直接体验 数学 的思维 方法 2 2 3 能够甩数学思想和数学方法 来统 摄知识 技能 2 3 认知因素 由于数学基本思想方法是建立数学认知结构这个主体网络的基本思想 因此原有认知结 构作为影响学习效果的内部影响因素 便成为数学基本思想方法形成的认知条件 形成基本思 想方法的认知发展准备 是指学生从事新的学习或一定范围的智力活动所具备认知功能的适 当发展水平 2 3 1 原有认知结构的 系统状态 是认知发展 的起点 2 3 2 认知发展水平 即原有认知结构 的系统功能 开放状况 有序化程度等 2 3 3 认知 内驱力 它包括 学习态度 动机 思想品德 兴趣等非智力 因素 2 4 外部条件 影响数学基本 思想方法 形成和发展的外部条件较多 诸如教师的教学 水平 教师对探索数 学思维过程 直接体验鼓学思想方法 的启发程度 环境的优劣 学习者深入学习的需求 促进 内 驱力的形成从而产生强化作用 等 上述诸因素的影响是作为整体效应发挥作用的 因此 在优化 改观这些因素时 应有整体 观念 注重整体功能的发挥 5 数学基本思想方法的形成 从认识论的角度看 对客观事物完整的认识 必须经历 具体一抽象一具体 即从感性的 具体到抽象的规定 再从抽象的规定上升到思维中的具体的过程 即把各种抽象规定联系起 来 在思维中再现出客观事物的具体性 经历这一过程才能达到对事物完整的科学的认识 相对于数学认识而言 感性的具体 是指掌握了某部分数学内容 如具体的概念 定理 公 式 法则等 抽象 的规定 是指掌握 了某些数学 思想或 数学 方法 思维 中的具体 则是指所形 成的新的认知结构 量学基本思想方法I 酵 成过程 认识过程 隔丽再两 甄萌暮 一厂孺囊两 歪 一 甄 再1 糕蔻 勰藿 匿 奎 1 荏 豁芸卜i 焉 H H 慧 群 I 数学基本思想方法的具体形成渠道有 3 1 在数学概念的形成过程中 体验 数学 的基本思想方法 数学基本思想方法蕴含于数学知识 特别是蕴含于数学概念的形成过程中 因此 在我们 学习每一个数学概念时 都要认真思索 并尽可能提炼出蕴含其中的数学基本思想方法 考察角的概念的形成与发展过程 平面几何中 角定义为 以一点为公共端点的两条射线 所组成的图形 这是一个 静止性 的定义 它符合人们对角的初步认识 后来 随人们认识 56 维普资讯 思维 的发展 角的定义变化 为 一条射 线绕着它的端点旋转 而成 的 这就 是角的 运动性 定 义 它体现着运动和变化的观点 3 2 在数学 结论 的推 导 问题的发现过程 中 挖掘数学基本 思想方法 例 1 A n C中 一d 一抽一2 c 0 a q 抽一扎 3 0 求最大角 解 a q 2 b q 2 c 一 a一2 1 2 d 2 一 2 c 一 一 3 a d 4 a b 4 b 4 c 一 一 3 a 一口 驴 a b c a c 6 角 C最 大 僦一 一 1 C 1 20 最大 角 1 2 0 我们分析一 下本题的 思维过程 第一层次 思维 判断 广 匝 雯 口 厂 匝望 源 j 剑 1 广匝亟 口 I三 I L 医 豆 面 亟 函 互 卜 卜 臣 垂垂 口 f 羹l L 1墨 l 这一层次的思维过程是判定最大边 然后用余弦定理求其对角 第二层次 思维定 向 l鱼壁室望垄量 鱼 l一一l查三垫 l三垫堕垂 l一 鱼 垦 堡 J 于是 思维受阻 但 当我们把这 个问题用基本量的思 想来分析 用余弦定理 求有 问题 自由 度是 2 便有章可循 了 因为 一 C a c b c 一 1 一 一 一 五万 一 中只须知道 一 b c 无须 求出 6 即取基本量为 a b c就可以了 匝 巫 一 匣区至叵里西巫噩 耍口一 匝 蛋亚匪五 耍 一 口至 困 于是把条件移项相乘转化为齐次式 就绝不单纯是解题技巧了 上述过程顺乎其然 摆脱 了解题的盲 目性 从 中也体会出数学 基本思想方法对 解题 的指导意 义 例 2 钝角 A A t 7中 a 2 6 一 求 c 的范围 囊 目的思维过 程和 信息框 圉 维普资讯 在上述过程中 从信息源 涉及边角关系 和已有 儇结构出发 自然地想到要利用正弦定 理和余 弦定理 这属 于思维判断 是 问题的第 一次转化 根据 具体条件 涉及三条边 确定如 何利用定理 为宜 余弦定理 这 属于思维 定 向 然后把原 问题转化为解 a 或 a cz 实现问题的第二次转化 思维的深入 再由三角形中三边关系把得到的结果加以调整 晟 终解决 问题 这个过程蕴 含着数学的转 化思想 可进 一步抽象到 化归 的基本思想方法 3 3 在对解题方法的思考中提 炼数学的基本 思想方法 例 3 解 方程 s i m c o s x s i n 2 x 1 分析一 原方程可化为 虿s i n C t 4 一c 2 2 1 即 虿s in x F 4 2 s i n 4 这是 同一个 角的 同一三角函数方程 于是有 s i n x x 4 C 1 一 s I n 0 4 一0 9 1 n z 4 一0 或s i n0 4 一 解集合为 z l z 一 4 或 一 一 1 4 4 z 这 里利用方程左式化同角单函数后 右式的 角也化为相同的角来解的 这种解题方法的关 键在于利用角的关系对函数进行变形 转化为同一角的同一三角函数方程 从而将超越方程代 数 化 即化 为关于 s i n x 4 的一元二次方程 分 析二 原方程化为 s i n x c o s t 2 s i n c o s x 令 二 n c 0 则 s i n x C O S 一 I 2 故原方程变 为 一 于是 一0或 1 即 s i n z k c a s 0或 s i n 1 c 一 1 也即 2 s i n z 4 一O或 虿蚵 n 4 一1 下解 同前 显然 用换元法将超越 方程化为代数方程 是解决 本问题 的关键 丹析三 注意 到左式 一右式 将方程两边分别平方得 1 s n 2 x 1 曲l 1 n 2 z 0或1 s i n 2 z 1 1 x k 4或 一枷 2 经检验 是增根 舍掉 解集为 z l 一 一7 F 4 或T 一2 拓或 一2 虹 2 k c z 这种用平方法化为可因式分解的形式的过程 实质 E 也是代数化的过程 但由于在 程两 边施 行平 方运 算 改变了未知数的允许值范 围 所 以 对结果还要进行 检验 舍掉增根 数学 中 这种检验 的思想 是 一般 化特 殊化的数学 基本 思想方法的 变式 分析四 既然方程适合左式 右式 将右式配方得 s i n x c o 一 s i n z c a s z 一 则有 s in c o s i n a 一1 一O 即 s n c 0 s z 0或 s i n x C O S X 下同分析二 这就是说 配 方法 也可实现超越方程的代数化 显然 这既充分利用了方 程左 右两端提供 的信息 左式 一右式 一 又避免 了分析三 中因平方产生增根从而需要检验的繁琐过程 上述四种解法可简单地用下列框图表示 从中可知 58 维普资讯 求解 r 一 1 它 们共 阿的 指导 思想是 将三 角 方程 E勾代 数方 程 最后 化为 一 元二 次方 程来 解 即超 越方 程代 数 化 这是 熟悉化 解题原 则的 具体 体现 2 超越方程代数化的过程各有千秋 尽管 上转化 法各不相同 但在数学基本思想方法的系统结构 中 分析一 三 四属 于化 归的思 想 分析二 则属 于映射 的思想 3 分析 一 三得到 的解 集形式 不同 但 实质上是 相 同的 因为 z k t 一 4 Z 令 t 一2 与 一 2 l 则 f l T 一2 船或 一 l 1 Z r l 一2 或 一2 斗 z 过 里我 们把 Z分为 奇数 0 I n z 偶 数 k 2 n z 两类 加 考 虑 即利 用 了数 学 中的甘类 思想 3 4 在揭 示数学 规律 的过程 中 深 究蕴 禽其 中的数学 基本 思想方法 数 学基本 思 想 方法 蕴含 在数学 概 念 定理 公理 公式 法 则等 数学 规律 的分析 概括 推证过 程 中 目此 要 善于挖掘 和耀 究 并 在揭 示数学 规律 的 关节 上提炼 数学 基本 思想 法 我 们不妨分 析一 下反 正弦函数 a r c s i n x 由于决 定 函数 s i n z的映 射 不是 一一 映射 此 选 择它 的单 调 区间 一 2 2 规定 函数 y s i n J e 在 一 2 上 的厦 函数为 反正 弦函 数 二a r c s t r u t 于是 a r c s i n E 1 1 的图象可由 l s i r u r 在 卜 2 2 上一段关于直线 一 作对称变换而得到 并由此揭示反 正弦函数的几乎所有性质与规律 因此 s i n z x E 2 2 与 一盯c s i n a r 一I 1 的这种互逆性是 其 关节点 抓住这一点 反三角函数的性质 公式便不是无本之本 无源之术了 由此可深究出蕴含在反兰 三 角函数 中的 富的数学思想 如数彤结合思想 由图形研究性 质 转化思想 公式 的证 明 等 从更高层次 上看 叉蕴含着 由互逆性决定着的逆 向转化思想及 映射思想 59 维普资讯 总之 数学概念的产生l过程 数学结论的推导过程 数学问题的被发现过程 数学方法的思 索过程以及数学规律的被揭示过程等都是形成数学基本思想方法的源泉 由于这些过程本身 体现着数学 基本 思想方法 并同时受一种或 几种数 学基本思想方法 的指 导 因此 它才具 有旺 盛 的生命力和广泛的应用领域 数学基本思想方法的形 成是 在启发思维中逐步获得 的 所以它具有鲜 明的层次性 在学 习 过 程中要让学生 自己去体 验 提炼 挖掘 并从 中揣摩 感受和掌握 数学 的基本 思想方法 从而 在较高观念上促使学生建立良好的认知结构及完善的能力结构 渐次形成灵活而富有创造性 的思维结 构 参 考 文 献 1 G 渡利亚 数学的发现 I 科学出版社 1 9 8 2 2 吴锅攻 论现代教学应确立的新观念 教育研究 1 9 8 8 5 3 刘国俊 有效教学策略的制定 教育研究 1 9 8 8 1 0 Th e An a l y s e s f o r M a t h e m a