平面与平面的位置关系.doc

平面与平面的位置关系【要点】一平面与平面的位置关系两平面平行：平面与平面没有交点；两平面相交：平面和平面有一条公共直线。二两平面平行1两平面平行的判定：（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线线平行，则线面平行）。（2）垂直直于同一直线的两平面平行。（3）平行于同一平面的两平面平行。2两平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。三两平面垂直1两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。2平面与平面垂直的判定：（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。（2）一平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。3平面和平面垂直的性质：（1）两平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。（2）过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面（3）两相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面。（3）过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。【复习要求】平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）两种情况。（1）两个平面平行的判定和性质定理。（2）两个平面垂直的判定和性质定理。（3）二面角和二面角的平面角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内，边与棱垂直是构成二面角的平面角的三个条件。求二面角的平面角的大小步骤：首先，根据定义或其它办法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。然后作出含有该角的三角形，利用有关知识计算出来。【例 题】一两平面平行例1 已知P，Q，M分别是45的二面角l的面，和棱l上的点，直线MQ是直线PQ在上的射影，若PQ和成角，l和MQ成角，PM=a，求PQ的长。解：作PH于O，MQ是PQ在上的射影，H在MQ上。作HNl于N，并连接PN，则由三垂线定理可知PNl，PNH是二面角l的平面角，即PNH=45.设PQ=x，则NH=PH=xsin，MN=NHctg=xsinctg.在RtPMN中，PM2=PN2MN2，。故.例2 已知P是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD上的动点。（1）画出过点B，P，D1的截面，判断截面的形状，并证明你的结论；（2）求截面面积的最小值，并证明你的结论。解：（1）平行四边形；（2）（Q为截面与B1C1的交点，QHBD1于H），只需求QH的最小值，即BC到面B1C1DA的距离为，.此时Q为B1C1中点，而P为AD中点。例3 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）求证：截面BDC1截面AB1D1；（2）求截面BDC1与截面AB1D1间的距离。解：证明略（2）。用体积法证。例4已知平面平面，O为，外一点，三条射线OA，OB，OC分别交于点A1，B1，C1，交于点A，B，C.（1）求证：ABCA1B1C1；（2）若OA=a，AA1=b，B1C1=c，求BC的长。解：（1）由得A1B1AB，B1C1BC，A1C1AC，于是 A1B1C1ABC；（2）.例5 在正方体ABCDA1B1C1D1中，根据给出的条件，分别画出有关的图形：（1）过B，A1，C1三点的截面；（2）过B1，A，C三点的截面；（3）上述两截面的交线。解：（3）设BA1交AB1于M，BC1交CB1于N，则直线MN即所求作的交线。例6正方体ABCD中，E、F分别是的中点。，（1）求证：平面平面FBD，（2）若正方体棱长为a，求平面与平面FBD间的距离。解：取中点G，连EG、 ，ABCD是正方体，是平行形， ，又也是平地四边形，BF，又BD，平面平面FBD。取BD中点O，中点，作于M，由平面得平面即OM是平行平面与FBD间的距离。tg，ctg。例7平面平面，AB、CD为夹在、间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点，求证：（1）EF ；EF。证明1：连AF并延长交于M，因为ACDM可得AF=MF，所以EFBM，BM，所以EF，同理EF；证明2：连AD取AD中点G，连EG、FG则EGBD、FGAC EF、FG而，EF ，面EFG ，EF 同理EF例8已知：两条异面直线a、b分别与三个平行平面、r相交于点A、B、C和P、Q、R，又AR、CP与平面相交于点M、N，求证：MBNQ为平行四边形。证：因为面APC和、的交线APBN。同理MQAP，BNMQ同理可证：BMNQ故MBNQ为平行四边形 例9在长方体中，已知AB=BC=a，=b（ba）连结，过作交于E，交于Q。 求证：（1）平 面；（2）求点到平面的距离。 解：（1）连 ，平面 ，而为正方形，。同理 平面（2） ， 同理 ，设到平面的距离为h，则 S S 例10如图：AB、BC、CD为首尾相接的不共面的三条线段， 分别为AB、BC、CD的三等分点，求证：（1）平面平面，（2）=证：（1）由中位线定理可得：，且 ，且 面面（2）由等角定理得：与相等或互补，由（1）得：= 例11如图：平面平面线段AB分别交、于M、N，AM=m，BN=n，MN=p ， FMC的面积为S，求END的面积。解：平面AND分别交、于MC、MD，MCMD。同理，MFNF，于是SinFMC=SinEND， ，由得：=例12ABCD是矩形，四个顶点在平面上的射形分别为、，直线与不重合。求证：是平行四边形；在怎样的条件下，也是矩形？并证明你的结论？解： 平面 又ABCD是矩形 ABCD 平面 AB平面从而为平面 同理，因此为平行四边形 设AB=m BC=n =a =b =c 不失一般性设abc在直角梯形中，= 同样地=、=当为矩形时 =，=于是 a=b或b=c当a=b时，是矩形，AB AB 同理当b=c时，BC下面再证当AB或BC时，为矩形，当AB时，是矩形， AB ABBC 于是平面，因此 是矩形。因此当矩形ABCD的一边平行或在内时，射影是矩形。 例13、（2002年全国文19）四棱锥的底面是边长为的正方形，面。（）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；（）证明无论四棱锥的高怎样变化，面与面所成的二面角恒大于。解：（）面是在面上的射影又，是面与面所成的二面角的平面角，而是四棱锥的高，（）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形，作，垂足为，连结，则，故是面与面所成的二面角的平面角。设与相交于点，连结，则，在中，所以，面与面所成的二面角恒大于。例14、（2002年全国理18）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若。（）求的长；