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量子力学的结构谭 强广西南宁市一点通教育咨询中心 摘要：本文试图帮助物理类专业的大学生用较短的时间从战略上把握好量子力学，侧重分析发现该物理规律的创造性思维过程。量子力学的战术问题是数学问题。关键词：量子；光量子；波粒二象性；不确定原理；薛定谔方程；波函数的概率解释；狄拉克方程；负能量；自旋。引言量子力学和相对论是现代物理乃至现代科技大厦的两大重要支柱。全球经济有三分之一与基于量子力学的产品有关。1 早期量子论德国著名物理学家马克斯普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式 (1-1)（式中u为能量密度，为波长，T为黑体的绝对温度，h为普朗克常数，c为光速，k为波尔兹曼常数，e为自然对数的底。）并于1901年发表。其目的是改进由威廉维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾变”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提是，假设物体吸收或发射电磁辐射，只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比 (1-2)这就是普朗克的能量量子化假说。由于这一贡献，普朗克获得1918年诺贝尔物理奖。 普朗克普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。从经典力学来看，能量不连续的概念是绝对不允许的。所以，尽管从这个量子假设可以导出与实验观测极为符合的普朗克公式，但在相当长的一段时间里普朗克的工作并未引起人们的重视。1905年，爱因斯坦将普朗克的假设更加向前推进了一步，他认为，物体不仅在吸收或发射电磁辐射时是量子化的，而且构成物体本身的能量也是量子化的。他假设辐射场（电磁波）就是由一个个的光量子组成的，每一个光量子的能量E与辐射的频率关系就是并根据狭义相对论的质能关系得到 (1-3)将代入上式得到 (1-4)采用光量子概念后，光电效应得到很好的解释。光波具有粒子性的概念得到康普顿实验的证实。由于这一贡献（而不是因为狭义相对论和广义相对论），42岁的爱因斯坦获得1921年诺贝尔物理奖。但是，爱因斯坦这一更激进的思想遭到普朗克的强烈抵制。 爱因斯坦受到普朗克和爱因斯坦能量量子化思想的启发，在卢瑟福原子核式结构的基础上，丹麦著名物理学家波尔建立了早期量子论。波尔量子论的核心思想有两条：波尔一是原子的具有离散能量的定态概念，一是两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件 (1-5)这是一个很了不起的创见，是他对原子稳定性和原子线状光谱规律作了深入分析后概括出来的。波尔根据对应原理的思想，求出了氢原子的能级公式，并导出了角动量量子化条件。由于这一贡献，37岁的波尔获得1922年诺贝尔物理奖。他所在的理论物理研究所也在二三十年代成为全球物理学研究的中心。 波尔的量子论首先打开了人们认识原子结构的大门，取得了很大成功，但它的局限性和存在问题也逐渐被人们认识到。首先波尔理论虽然成功地说明了氢原子光谱的规律性，对于更复杂的原子（如氦原子）的光谱就完全无能为力。对于谱线的相对强度，波尔理论也未能提供处理它的系统方法。其次，波尔理论还只能处理周期运动，而不能处理束缚态（如散射）问题。从理论体系来讲，能量量子化概念与经典力学是不相容的，多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。这一切都推导早期量子论的发展。量子力学就是在克服早期量子论的困难和局限性中建立起来的。2 物质的波粒二象性在普朗克-爱因斯坦能量量子化思想和波尔早期量子论的启发之下，法国的博士生德布罗意仔细分析了光的微粒说和波动说的发展历史，并注意到几何光学与经典粒子力学的相似性，根据类比的方法，他在博士论文中假设一切实物粒子（静质量）都具有波动性，与一定能量E和动量p的实物粒子相联系的波（他称为物质波）的频率和波长分别为， (2-1)以上两式在数学上分别与普朗克公式（1-2）和爱因斯坦光量子公式（1-4）等价，但其物理意义却大不相同。爱因斯坦光量子公式（1-4）试图向世人表明光波这种物质具有粒子的性质，而德布罗意却想向世人表明粒子这种物质（如电子）具有波的性质。因此，爱因斯坦对德布罗意的这一想法大加赞赏。德布罗意关于“一切物质都具有波粒二象性”的假设，后来被美国物理学家戴维逊和革末电子衍射的实验证明是正确的，由于这一贡献，35岁的德布罗意获得1929年诺贝尔物理奖。但是，人类早期对物质波粒二象性的解释却出现了两个错误： 德布罗意第一种错误认为，运动物质（例如电子）是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成一个复波，它可以局限在电子大小的空间中（），计算表明，它的寿命大约只有，非常短的时间内电子就发散、消失，变成非定域的了，这与实际观察到的现象明显矛盾。这种看法过分夸大了波的作用。第二种错误认为，波是由大量粒子组成的，运动电子的波动性对应于大量电子分部于空间而形成的疏密波，波是粒子与粒子之间相互作用形成的，类似于空气振动出现的纵波。但实验观测表明单个粒子也具有波动性，一个电子可以同时通过两个缝，自己与自己干涉。因此，这类错误看法过分夸大了粒子的作用。为了表达波和粒子的彼此不相容，波尔提出了著名的互补性原理，他认为，波粒二象性是辐射（波）和实物粒子都具有的内禀的和不可避免的性质。波动和粒子描述的是两个理想的经典概念，各自有其适用范围。在特定的物理实验中，辐射与实物都可展现其波动性或粒子性，但这两种理想的描绘中的任何单独的一方，对不能对所研究的现象给出完整的说明。经典波和经典粒子这两种概念对于描述微观物质的运动规律互为补充，缺一不可。经典粒子有三个属性：（1）经典粒子具有确定的大小、质量、电荷，在空间中占据某个确定的位置，它们与其它物体发生相互作用时，整体地发生作用；（2）经典粒子运动时服从牛顿力学定律，具有确定的轨道；（3）经典粒子的状态用相应的物理量如位置、动量、能量来表示，这些物理量可以连续取值。经典波动有三个属性：（1）经典的波动是可以在整个空间传播的周期性扰动；（2）表征经典波动的物理量是振幅、频率、相位、波矢，运动规律服从相应的波动方程；（3）经典波动满足叠加原理，符合条件的波可产生干涉、衍射条纹。后来，美国著名物理学家、1965年诺贝尔物理奖得主费曼以电子为例，对于物质的波粒二象性作了正确的解释：电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，它具有经典粒子的第一条属性和经典波的第三条属性，是粒子与波动这一对矛盾的综合体。因此，对于电子这类东西的物理实在性，我们就失去了过去曾经得到的一种清晰的图像，甚至连电子（或电子波场）的模糊图像我们也没有了。过去的电子是有大小、有质量、有电荷量的一个小球体，电子波场则可以用振幅、波长、频率、周期、相位、波速等物理量来描述。现在，对于电子（或电子波场）我们仅仅知道的是波函数。3 不确定原理德国年轻的学者、量子力学的主要创立人海森堡，在1927 年经过推论认为，只要微观粒子具有波粒二象性，它的位置和动量就不能同时被准确地测定，这是物质本身属性，而与人类的测量水平无关。称为测不准关系，又名“测不准原理”、“不确定关系”。这一假设经历了大半个世纪争论才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要原理，它反映了微观粒子运动的基本规律。由于这一贡献，年仅31岁的海森堡获得1932年诺贝尔物理奖。在海森堡著名的1927年论文里，写出以下公式 (3-1)这公式给出了任何位置测量所造成的最小无法避免的动量不确定值。虽然他提到，这公式可以从对易关系导引出来，他并没有写出相关数学理论，也没有给予和确切的定义。他只给出了几个案例（高斯波包）的合理估算。(3-1)式可用高三物理波动光学的知识证明：高三物理有我们熟知的双缝干涉公式 (3-2)上式中的、L、d和分别表示相邻亮（暗）纹的距离、双缝与屏幕的距离、双缝之间的距离、单色光的波长。(3-2)式原则上也适用于单缝干涉的情况，ze式中的d表示单缝的宽度。 海森堡设一个光子从单缝运动到屏幕所用的时间为， (3-2)式也可以写为 (3-3)将德布罗意公式代入上式得，式中的d表示光子经过单缝时位置的范围，表示光子动量变化的范围，改用人们习惯的表示d，就得到。在海森堡的芝加哥讲义里，他又进一步改善了这关系式： (3-4)1927年厄尔肯纳德（Earl Kennard）首先证明（略）了现代不等式： (3-5)其中，是位置标准差，是动量标准差，是约化普朗克常数。1929年，霍华德罗伯森（Howard Robertson）给出（略）怎样从对易关系求出不确定关系式。关系式也可以写为 (3-6)上式中的表示外界对粒子做的功，由能量守恒原理可知它等于粒子获得的能量，即粒子能量的变化范围是,则（3-6）改写为 (3-7)设粒子转动的轨道半径为r，时间内角度的变化为，粒子位置的不确定范围是，将此式代入，得到 (3-8)其中，称为粒子的轨道角动量或动量矩的不确定范围。不确定原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等共轭量），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 （ ，其中是普朗克常数）用公式表示可有：， (3-9)海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。”这样，谈论电子的轨道已经变得毫无意义了。以上分析清楚地表明，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不准关系的表达式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。4 薛定谔方程的建立波恩、海森伯、约旦的矩阵力学提出不久，奥地利物理学家薛定谔在1926年提出了量子力学中的一个基本方程薛定谔方程（Schrdinger equation），它是波动力学的基础，也是量子力学的一个基本假定。薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立起来的二阶偏微分方程，其正确性只能靠实验来检验。后来，薛定谔方程被实验证明是正确的，由于这一贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。薛定谔后来证明，波动力学与矩阵力学在数学上是等价的，只是表现方式不同而已。数学中的傅里叶展开公式告诉我们，任何一列波都可以看成是若干列简谐波的叠加，因此，简谐波是我们研究波动的重点。根据经典物理中的振动和波、光学知识，沿z轴正方向传播、初相位为的简谐波，可以用余弦（或正弦）函数表示为 (4-1)上式中的 (4-2)为波的角频率， (4-3)为波的波矢。根据欧拉公式 (4-4)函数可以看成是以下函数的实数部分： (4-5) 薛定谔也就是说，对简谐波的研究，既可以以(4-1)为基础，用实数中的三角函数为工具进行，也可以以(4-5)为基础，用复数为工具进行。对于数学工具的选取没有任何规定，是任意的。这就像建立广义相对论时一样，既可以选用欧几里得几何，也可以选用非欧几里得几何作为数学工具。但是，我们发现在对振动和波、光学、电磁学、电工学一些问题的研究中，采用复数为工具会带来很多简便（千万不可认为虚数本身有什么真实的物理意义，正象不可认为非欧几何这类虚拟空间可以反映真实空间一样）。以下选用复数为工具进行运算。设微观粒子对应的波（量子波）沿r方向传播、初相位为0，其波函数为 (4-6)根据普朗克公式，微观粒子的能量为，其对应的角频率为 (4-7)德布罗意认为，一切微观粒子都具有波-粒二象性，其动量p和波长的对应关系为，其对应的波矢为 (4-8)将(4-7)、(4-8)代入 (4-6)得 (4-9)将(4-9)对时间t求偏导数得 (4-10)(4-9)也可以写为 (4-11)将(4-11)对x求偏导数得 (4-12)再将(4-12)对x求偏导数得 (4-13)同理可得 (4-14) (4-15)将(4-13)、 (4-14)、 (4-15)相加得 (4-16)(4-16)写为 (4-17)（称为拉普拉斯算符）为了引起读者的重视，我们把(4-17)、(4-10)两式改写成如下形式： (4-10) (4-17)仔细观察(4-10) 、(4-17)式，我们发现：似乎能量E与算符有某种对应关系!动量p与算符有某种对应关系!至于这种对应关系意味着什么，其背后隐藏着怎样的物理规律，我们不得而知。也就是说，如果我们把经典物理定律中出现能量E的地方用算符替换，出现动量p的地方用算符替换，似乎就可以建立微观粒子的波动方程！这只是一种假设，其正确与否必须通过实践进行检验。势能为U、质量为m、速度为u（远小于光速）的经典粒子的能量为 (4-18)用波函数作用于(4-18)式得到 (4-19)将(4-19)式中的E、p作替换E ，p，得到 (4-20)(4-20)式即为著名的薛定谔方程（非相对论量子力学的基本方程），它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。该方程是一种崭新的方程，它的解在物理学造成突破性的思维发展，引导出很多不同寻常、料想未及的后果。在该方程已经建立起来将近90年的今天，我们已经知道它在非相对论领域是正确的，也普遍进行了以上那类算符替换，当然会不以为然。实际上，薛定谔也不是用以上方法推导（假设）的。引入哈密顿算符，(4-20)写为 (4-21)上式为广义形式的薛定谔方程。多粒子体系的薛定谔方程为 (4-22)以上对于薛定谔方程的推导有两个重要的假设：其一是德布罗意的波-粒二象性假设，其二是能量、动量与算符的替换假设。其余的工作只不过是数学上的逻辑演算。如果没有以上突发奇想的两大智慧假设，只凭数学工具是不能发现任何物理规律的。其实，历史上薛定谔是用哈密顿力学来构建薛定谔方程的。以不含时的单粒子体系为例，势能为U、质量为m、动量为p（速度远小于光速）的经典粒子的哈密顿量为 (4-23)相应的哈密顿-雅可比方程为 (4-24)W为哈密顿特征函数，E为新的广义动量。薛定谔提出了一个关键性的假设： (4-25)其中无量纲，是与哈密顿特征函数W同量纲的比例常数。整理得 (4-26)薛定谔的第二个关键假设是：微观粒子不直接满足（4-26）式，但该式左边对起点和终点的空间积分后的变分为0，即 (4-27)将变分算符作用到被积函数，并将变分算符与梯度算符交换顺序，得对左边的第一项进行分部积分得由于为空间的函数，故它在两个端点的变分都为0，所以上式右边第一项为0，上式化为 (4-28)对(2-5)左边的第二、三项也作类似的计算，可得 (4-29)由于的任意性，最终得到 (4-30)即 (4-31)引入哈密顿算符，也可写为 (4-32)这就是量子体系的哈密顿函数不显含时间时，微观粒子所满足的基本方程，即定态薛定谔方程。 从上述推导看出，薛定谔具有非常扎实深厚的数学功底，更重要的是推导过程中出现的两个关键假设是很难做出的。第一个假设的作用是将描述经典世界的宏观量W与描述量子世界的微观量联系起来，这个式子使人联想到统计物理学中的波尔兹曼关系式 (4-33)其中S为宏观量熵，为系统的微观状态量，k是波尔兹曼常数。第二个假设表达的是量子体系与经典体系的区别: 经典体系的以 (4-26)的表述形式强制为0，对应着经典性质的波；量子体系的取消这种限制，改为让这种限制具有稳定性，即取令其变分为0的（4-27）式。作这两个假设有什么依据?就连薛定谔本人对此也难于理解。实际上，科学上的一些重大突破都是这样不可理喻的。这说明科学研究有着自身独特的内在规律，绝非单靠按部就班的推演所能成就的。事实表明，薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。薛定谔曾经推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于氢原子，计算出束缚电子的波函数，但很可惜，因为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方程推导出的结果不符合索末菲模型。他只好将这方程加以修改，除去相对论性部分，用修改后的方程来计算氢原子的谱线与实验相符。1926年，他正式发表了这篇论文。薛定谔方程是个非相对论性方程，它至少有三个局限：第一，不满足相对论协变性要求；第二，不适合静止质量为0的粒子，因为薛定谔方程中质量不能为0。第三，不能描述原子光谱的精细结构。5 波函数的诠释量子力学的波函数的物理意义是什么？ 在量子力学中，微观体系的状态不能用经典力学量来确定，而是要用力学量的函数，即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此，波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的模的平方，但与实验结果有矛盾，这一假设并不成功。薛定谔把波函数解释为描述物质波动性的某种振幅，用波群的运动来描述力学过程。薛定谔的波动力学提出后，人们普遍感到困惑的是其中某些关键概念（例如波函数）的物理意义很不明确。海森堡是德国物理学家玻恩的助手，玻恩、约旦与海森堡创立的矩阵力学早于薛定谔的波动力学，但当时波动力学的推广遇到很大困难，原因是当时的许多物理学家对矩阵这种数学工具不太了解。经典力学中波函数的模的平方表示波的强度，玻恩对此进行了修改，对薛定谔的波动力学作了重要补充，他在1926年6月发表题为“散射过程的量子力学”一文，指出：“迄今为止，海森堡创立的量子力学仅用于计算定态以及与跃迁相关的振幅，”但对于散射问题，则“在各种不同形式中，仅有薛定谔的形式看来能够胜任。”他在对两个自由粒子的散射问题进行计算后对波函数的物理意义作了探讨，指出：波函数本身没有直接的物理意义，而发现粒子的几率正比于波函数的模的平方。在周围的小体积元范围内发现粒子的概率为 (5-1)概率密度为 (5-2)在整个空间找到粒子的总概率为 (5-3)只要把波函数作这样的诠释，散射结果就有明确的意义。由于有了玻恩的诠释，波动力学才为公众普遍接受。由于这一工作，1954年玻恩获得诺贝尔物理奖。玻恩在回忆他是怎样想出这一诠释时写道：“爱因斯坦的观点又一次引导了我。他曾经把光波振幅解释为光子出现的几率密度，从而使粒子（光量子或光子）和波的二象性成为可以理解的。这个观念马上可以推广到函数上：必须是电子（或其他粒子）的几率密度。”可见，玻恩非常谦虚，他高度评价爱因斯坦在量子力学的发展中的作用，把自己看成是科学界中的一份子。值得注意的是，发现量子的概率与经典物理中的概率有着本质的区别。经典物理中的概率具有明显的主观特性，比如扔一枚色子，在盒子打开之前出现单数和双数的概率各为50%，这是针对盒子外面的人而言的，是一种主观概率。但对于盒子里面的人来说，他已经明确知道了客观结果，比如他已经知道出现单数的概率是100%而出现双数的概率是0。量子的概率则是一种本质属性，处于纠缠态的电子对，在测量它们的自旋之前，某个电子的自旋方向在本质上处于向上和向下的叠加状态。严重偏离人们的直觉。薛定谔与爱因斯坦观点相同，都不赞同这种统计或概率方法，以及它所伴随的非连续性波函数坍缩。爱因斯坦主张，量子力学是个决定性理论的统计近似。在薛定谔有生的最后一年，写给玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根诠释。6 K-G 方程的建立考虑到自由粒子的运动速度接近光速时，它的能量表达式不是而是采用狭义相对论关于能量与动量关系式 (6-1)将上式中的E、p作替换E ，p，得到 (6-2)上式即克莱因-戈尔登方程。该方程早由薛定谔导出，但当时因故没有发表，后来当他向世人公开时，发现它已由瑞典理论物理学家奥斯卡克莱因和德国人沃尔特戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出并已公开发表了。如果克莱因-戈尔登方程是正确的关于自由粒子的相对论性波动方程，那么，在极限远小于c的条件下，与自由粒子的薛定谔方程相同。令(6-2)的一般解为 (6-3)将(6-3)代入(6-2)得 (6-4)在数学中可以证明，当远小于c时，是一个无穷小量，可以忽略不计。由此得 (6-5)将(6-3)、 (6-5)代入(6-2)得 (6-6)上式正是自由粒子的薛定谔方程。 但是，有三个问题需要对克莱因-戈尔登方程进行讨论：1、负能量问题。显然，与所对应的波函数也是克莱因-戈尔登方程的解。此解导致粒子不稳定，它将向更付的能级跃迁。对此，克莱因和戈尔登都不能给予满意的解释。2、负概率问题。由克莱因-戈尔登方程得到的概率密度并不能保证为正值，尤其是，当能量为负值时，概率密度处处为负值。3、氢原子精细结构问题。由克莱因-戈尔登方程可得到氢原子能谱的解，将其关于精细结构常数进行运算时，理论值明显偏于，与实验不符。这也是当年薛定谔没有及时公开发表该方程的主要原因。由于以上三个原因，致使该方程提出后近10年时间里被认为是缺乏物理意义的而被人忽视。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍能够正确地给出零自旋粒子的相对论性波函数。7 狄拉克方程狄拉克方程的建立针对薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程的缺陷，英国物理学家保罗狄拉克试图建立一个适用范围更大、没有上述两个方程缺陷的量子力学波动方程。他的思路是：1、分析克莱因-戈尔登方程可知，负概率密度的出现是因为该方程出现时间的二次微商，所以他的首要目标是建立一个只含时间的一次微商的方程。2、如果要求波动方程只含时间的一次微商，则从相对论协变性的要求看，对空间的微商也应该是一次的。3、希望波动方程能够与广义薛定谔方程在形式上保持一致。 狄拉克因此，新的哈密顿算符只能含空间变量的一次微商，考虑到克莱因-戈尔登方程的哈密顿算符为，可设新的哈密顿算符 (7-1)只要能求出上式的和，就可以建立相对性的量子力学波动方程 (7-2)假设方程（7-2）具有以下形式的解（波函数） (7-3)将(7-3)代入（7-2）得 (7-4)将(7-4)乘以，经过整理（略），可以得到以下结论：结论1、和不是普通的数字，必须是4个独立的矩阵（方阵）。结论2、必须是偶数，而且大于2。结论3、为方便起见（类似零势能的选取），可以选取（必须是偶数，但不一定选4），则 (7-5)这里即为泡利矩阵 (7-6)因此系数矩阵和可进一步写为 (7-7)结论4、若选取，则说明狄拉克方程的波函数不是普通的函数，而是四个一列的函数 (7-8)粒子内部的自由度自旋以下对已经确定系数和的狄拉克方程进行讨论：1、概率密度均为正值。负概率问题宣告解决。2、由于，说明动量算符与哈密顿算符对易，动量守恒。3、设轨道角动量算符为，其在x轴的分量为，则 (7-9)同理可求和，三式合并写成 (7-10)（7-9）表明自由粒子轨道角动量的每个分量都不守恒。但在经典力学中，自由粒子的轨道角动量是守恒的。狄拉克好不容易克服了负概率困难，却又遇到这个新的难题！他只好将问题暂时搁置。1924年一位美籍德国物理学家克勒尼希从经典模型出发，认为电子因绕自己的轴作自转而具有自旋角动量。根据这一模型他用狭义相对论进行推导也得到同样结果，于是他急忙找到大名鼎鼎的物理学家泡利进行讨论，但遭到泡利的强烈反对，反对的原因一是泡利不相信如此微小的电子竟然具有固有角动量，不愿意在量子理论中保留任何经典概念，原因二是假如电子具有固有角动量,它表面的运动速度将超过光速。半年后，荷兰物理学家埃伦费斯特的两个学生，乌伦贝克和古德斯米特也提出了与克勒尼希同样的看法，他们的老师埃伦费斯特建议由他向著名物理杂志Nature投稿。接着两位学生又就此问题去请教物理大师洛伦兹，经过一周的思考和计算，洛伦兹根据两位学生的模型计算得到电子的表面运动速度达到光速的十倍。两位学生急忙向他们的老师埃伦费斯特索回论文稿件，但老师早已将论文寄出，并即将发表。该论文刊出后，得到德国著名物理学家海森堡的高度赞赏，海森堡认为，利用自旋轨道耦合可以解决泡利理论的困难。荷兰著名物理学家玻尔对此也很赞赏，他没有想到被困扰多年的原子光谱精细结构问题竟然可以仅用“自旋”这一简单的概念得以解决。但是，对于双线公式中多出的“因子”，是一个棘手的问题。1926年，英国学者托马斯考虑了前人忽略的坐标变换的相对论效应，考虑到电子具有加速度这一相对论效应，成功解决了“因子”困难，电子自旋的概念很快被物理届接受。狄拉克受到前人的启发，假设粒子的自旋角动量为 (7-11)可以证明，粒子的轨道角动量算符与自旋角动量算符之和守恒恒量 (7-12)另外，由 (7-13)可知，的本征值是，因此，狄拉克方程是相对论量子力学的一个正确描述自旋为1/2粒子的波动方程。至此，人们才认识到克莱因-戈尔登方程是相对论量子力学的一个正确描述自旋为0粒子的波动方程。4、狄拉克方程的负能量的解依然存在。如果按照常规的思维习惯，只取方程的正能量的解，负能量的解因没有物理意义而将其舍去就完事了。但是，由于物理中零势能的选取是任意的，所以没能够认为负能量的解因没有物理意义。狄拉克很想对此有一个合理、满意、经得起实验检验的解释。1928年，狄拉克根据泡利不相容原理提出了电子海的假设。他假定自然界中所有负能级状态都被电子填满（没有任何电荷效应），而泡利不相容原理阻止任何电子向负能级跃迁。当电子海中有一个电子从负能级向正能级跃迁时，负能级由于失去一个电子而出现净电荷效应为+e的空穴状态，从而预言自然界存在反电子即正电子。这是一个非常大胆的假设，但非常合乎逻辑。1932年，卡尔安德森在实验中发现了正电子(positron)而证实了狄拉克的猜想。由于这一贡献，狄拉克与薛定谔分享了1933年诺贝尔物理奖，这一年狄拉克年仅31岁。根据狄拉克回忆，当他1928年在哥本哈根跟随玻尔做研究时，玻尔曾问他进来忙什么，他回答说，试图得到有关电子令人满意的相对性理论。玻尔说克莱因和戈尔登已经得到了，言下之意是玻尔对克莱因和戈尔登方程已经很满意。玻尔的回答使狄拉克感到不安，但他仍然继续努力寻找无负概率的理论。1928年的