数学中的美.ppt

引例1 科克 Koch 雪花曲线 你能想象一条封闭的 具有无限长度的曲线 其包围的面积却是一个有限数的情景吗 1904年由瑞典数学家科克构造的科克曲线就是这样一条曲线 其生成过程很简单 先给出一个正三角形 然后将每一个边中间三分之一去掉并向外折起 第二步在此基础上 再将每个小边中间三分之一去掉并向外折起 重复此操作直至无穷次 即可得到该图形 引例2 用三个4 并利用各种运算符号组成一个算式 使它的结果分别等于1 2 3 10 你会做吗 怎样反复使用一种特殊的数学运算符号与三个2 把任意自然数表示出来 这种数学运算符号就是 开平方根 使用N重根号即可将任意自然数N表达为 符号美 符号常常比发明它们的数学家更能推理 F 克莱因 1849 1925 所谓符号其实就是一种用来传达信息的标记或记号 它既可以是文字 图形 也可以是别的东西 如 结绳记事 中的结 联络用的暗号 人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物 符号正是这样产生的 文字是用声音和形象表达事物的符号 一个语种就是一个 符号系统 这些符号的组合便是语言 符号对于数学的发展来讲是极为重要的 它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束 集中精力于主要环节 这在事实上增加了人们的思维能力 如果没有符号去表示数 形及其运算 数学的发展是不可想象的 数与形是科学的语言 符号则是记录 表达这些语言的载体 正如没有文字 语言也难以发展一样 几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存 数学符号是贯穿于数学全部的支柱 古代数学的漫长历程 今日数学的飞速发展 十七 十八世纪欧洲数学的兴起 我国几千年数学发展进程的缓慢 这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否 简练 方便的数学符号对于书写 运算 推理来讲 都是何等方便 反之 没有符号或符号不恰当 不简练 势必影响到数学的推理和演算 然而 数学符号的产生 发明 使用和流传 传播 却经历了一个十分漫长的过程 这个过程始终贯穿着自然 和谐与美 数学符号的产生也与数学发展的背景有着紧密的联系 同一概念开始往往运用不同的符号表示 人们在使用过程中不断对其进行鉴别以确定优劣 实用性 方便性 简洁性等 这里面也蕴涵一个审美过程 数学符号按其性质可分为元素符号 如记数符号 关系符号 如等号 运算符号 约定和辅助符号 如括号 它们都是简化逻辑推理所不可缺少的 形式简洁具有某种对称性 部分符号 符号美的主要特征 如 记数符号1 2 3 9 0四则运算符号 人们记数 经历了从原始记数至数字符号记数的发展阶段 其中 原始符号记数又包括实物记数 结绳记数和刻痕记数等 随着生产的发展 许多文明发达较早的民族逐渐产生了各自的记数符号和记数方法 经过长期的 一定范围内的交流 传播和比较 鉴别 到16世纪以后 逐渐形成了目前比较通用的阿拉伯记数符号和记数方法 例1 记数符号 乘号 十个10相加 10 10 例2 部分 运算符号 乘方 十个10相乘 阶乘 10 连乘 连加 说到数学符号 我们当然不能忘记图形 希尔伯特就说过 算术符号是写出来的图形 而几何图形则是画出来的公式 点 线 面 体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括 欧氏几何 非欧几何 解析几何 拓扑学等就是研究这类图形的数学分支 除此之外 还有许多精彩的例子 例3 图形符号 能够一笔画出的图形 其奇点 经过该点的线段条数为奇数的点 个数只能是0或2 若奇点个数为2n 则至少需要n笔 一笔画问题 一个旅行者从始点A出发 需经过四个阶段到达终点E 前面三个阶段分别有3个 4个和2个中转点 旅行者在每一阶段只能选择一个中转点作为本阶段的到达点 具体线路如下图所示 边旁参数为该边起点到终点的距离 求A至E的最短路径 最短路径问题 例4 行列式符号 行列式的概念要追溯到G Leibniz 1678 H Cramer是第一个发表有关这个主题的人 1750 行列式 这一名词首先是由C F Gauss 1801 创立的 行列式理论是与解线性方程组 的问题相联系而发展的 表示对所有n元排列求和 n阶行列式是由个数所确定的一个数 上式表明 是n 项的代数和 每项都是n个因子的乘积 n个因子取自不同的行与列 每项前的符号由排列的逆序数决定 其中 行列式简洁 整齐 便于记忆 这些特点往往使某些数学方程变得更漂亮 例如 表示 等等 表示 例5 黎曼 积分符号 被誉为 人类精神最高胜利 的微积分 其符号是由它的理论创立者牛顿 莱布尼兹各自独立创造的 牛顿把变量叫作流 变量的变化率叫作流数 对于流的流数记作 莱布尼兹于1684年在一篇文章中首先使用微分记号d 积分记号 是莱布尼兹与雅各 贝努利在通信讨论中共同创造的 是 和 Sum一词第一字母的拉长 莱布尼兹是历史上最大的符号学者之一 他所创设的微积分符号 远远优于牛顿的符号 这对微积分的发展有极大的影响 他煞费苦心地研究 要把记号选得最好 开始 1673年 他用拉丁文omnia的头三个字母omn表示积分 用表示今日的 且经常用表示 1675年他已开始用 代替omn 但他却用表示 不久他便改为后者 定积分符号 O 定积分的几何意义是曲线与直线轴所包围图形的面积 求面积的主要步骤是 分割 求和 取极限 有人说 代数学其实就是 符号的形式运算 你认为是否确实如此 记数法方面的一个伟大创造是位值制 进位制 的发明 即不同位置的数字符号代表不同的值 现实生活中的进位制主要有哪些 圆周率是不是符号 呢 问题与思考 谢谢 图论 graphtheory 离散数学的一个分支 其特色在于对所研究的对象进行几何的探讨 图论的主要对象是图和它的推广 图论中最早的一些问题是解数学趣味难题 哥尼斯堡七桥问题 旅行售货员问题等 最早的结果之一是走遍一个图的所有边而没有一边通过两次的可能性的判定准则 该准则由L Euler于1736年在解哥尼斯堡七桥问题时得出 19世纪中叶明确提出的四色问题 定理 虽然当时仅是作为一个趣味性的难题 却导致了理论的和应用的图论研究 20世纪初 图被用于表示某些数学对象 以及形式地表述不同的离散问题 其它名称如地图 复形 图解 网络 迷宫等也被使用