数学解题真经(一)问题与信息.doc

问题解决与问题信息 我们通常把数学问题（常见的习题）的结构分为两部分。题设条件(已知部分)和结论(未知部分)。这种认识是针对问题的组成结构而言的，远离了问题解决的过程。其实，问题解决是问题与人的思维活动相互作用的结果，人在认识和解决一个问题时，并不十分关注问题的结构，而是重视问题呈现的有意义的材料，特别是主观认为与问题解决有关的问题信息。 信息加工理论认为：“人的大脑是一台类似计算机的信息处理装置，我们在解题时，就如一台计算机那样，接受信息，加工信息，作出反应。”当然，人脑远非计算机可比，除了能进行思维活动外，还有精神、情感和意志。这一观点虽然抛弃了人的情感、动机、社会交流等外在和内部因素，但它把问题作为一组信息看待，用计算机的操作规程来模拟人的思维活动，也近似地描述了问题解决的过程。所以，在解题过程中我们不能把问题的条件和结论孤立地看待，它们都是问题信息的组成部分，应当联系地整体地思考和研究。（一）问题结论所蕴藏的信息对问题解决有着不可忽视的作用我们在解题过程中，通常重视问题的条件信息，轻视问题的结论信息，认为条件才是问题解决的基础材料，结论是问题解决所追求的终极目标。其实，这是一种片面的认识，问题结论所隐藏的信息又何尝不是问题解决的基础，同样也存在着不可忽视的作用。例1 已知A、B、C为锐角，且. 求证 +. 这个问题呈现的信息有3项：A、B、C(0、)；A、B、C的关系式；A、B、C的正切函数关系式. + (1) 可以看出：条件信息只是角的关系式，丝毫没有体现与结论“正切函数关系式”的联系，对解题思路既不能明导也不能暗示。相反，结论信息（1）式“左边为3个根式的和，右边为常数”，这为我们寻找解题方案作出了暗示，我们只要回想自己的认知经验，立即可以想到“去掉根号化为整式，有利于进一步化简和推理”。（这就是问题解决的假设方案） 如何才能去掉根号呢？只需利用 “均值不等式”或“柯西不等式”就可实现这一条解题方案。 （为什么要添系数？），从而，左边 (2)可见，要解答此题，只需证明 即可。（这是中学熟知的结论） 从此题的解答来看。条件信息只是保证根式有意义和式子成立而已，对探求解题思路的作用不大；而结论信息反而为解题提供明确的思路去根号。就提供解题策略而言，条件作用弱，结论作用大。于是我们可以得到一点解题经验：对于题设简单，结论复杂的数学综合题，挖掘问题结论所隐藏的信息，是寻找解题思路的一条途径。 （二）问题结论不一定是问题解决过程中追求的重点目标 问题的结论既是一组信息，也是我们解题时所追求的终极目标，但并不一定是解题过程中追求的重点目标。重点目标有可能是问题结论的反面，或者是一个矛盾，或者是与结论相关的等价的另一问题只要我们对问题的所有信息进行综合加工处理，重点目标必将浮现出来。 例2 设且，求证。结论信息是关于的对称轮换式，易知当时不等式取“=”.于是我们联想到磨光变换. 不妨设，则，设.令，则。(这是磨光变换中常用的技巧)因。因，则。（此题可用增量法证明）此题的终极目标是证明成立，加工处理问题信息后，我们想到了磨光变换。此时，问题解决的重点目标已转化为证明成立. 从上述论述来看，问题解决最重要的环节是解题思路的探求，在解题思路的探求过程中，条件非解题的唯一条件，结论非一成不变的结论。将问题的条件信息和结论信息联系地整体地思考和研究，结合大脑中储备的与问题有关的知识经验进行综合加工，才有利于发现问题解决的重点目标，探求到合理而有效的解题方案。（三）问题信息的分类为了深入理解问题的信息，我们根据其表现形式分为以下三类。 1形象信息。 数学问题中以图形，表格等直观形象的形式表达出来的信息，称为形象信息。如几何图形，函数图象，坐标系，表格等，呈现给我们的是直观形象的感性材料。 2符号信息。 用字母、数字、数学式子等形式表达的信息。呈现给我们的是抽象的数学符号，通常称为数的信息。 3语词信息。 就是用有意义的语词来表达的信息，也就是用汉语、数学语言来表达的数量关系、概念和数学问题中的解释、说明。 这三类信息既有区别又有联系。虽然在表达形式上不同，但在解题过程中是可以互相转化的。在解答平面几何和解析几何问题时，我们常常根据题意作出草图，这就是把语词信息向形象信息转化。又如，用