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浅议距离与离差 七台河市职业技术学校 周冰慧 目目 录录 摘要 1 关键字 1 1 点到点的距离 1 2 点到直线的距离 1 2 1 平面内点到直线距离的概念及判定 1 2 2 平面内点到直线距离的求法 1 2 3 空间内点到直线距离的计算 1 3 点与平面间的距离 2 3 1 离差的定义及点到平面的距离定义 3 3 2 点与平面位置关系的判定 3 3 3 点到平面距离的计算 3 3 4 平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 3 4 直线到直线的距离 4 4 1 空间两直线的相关位置的判定 4 4 2 空间直线间距离的计算 5 5 平面到平面的距离 6 5 1 平面间的位置关系的判别 6 5 2 平面间距离的计算 7 结束语 7 参考文献 8 英文摘要 9 1 浅议距离与离差 周冰慧 摘要摘要 总结平面及空间内点 直线 平面间的距离求法 并浅议距离和离差的关 系 关键字关键字 距离 离差 空间内直线 1 点到点的距离点到点的距离 对于点到点的距离可以分成两种状态考虑 即平面内点到点的距离和空间内点到 的 距离 定理 1 在平面内两点与间的距离为 111 P x y 222 P xy 22 2121 dxxyy 在空间两点与间的距离是 1111 P x y z 2222 P xyz 222 212121 dxxyyzz 2 2 点到直线的距离点到直线的距离 2 1 平面内点到直线距离的概念及判定 平面内点到直线距离的定义为 过点向直线做垂线 垂线段的长度就叫做点到直 线的距离 若点满足直线方程 则点在直线上 若点不满足直线方程则点在直线外 2 2 平面内点到直线距离的求法 平面直线与点的相关位置有两种情况 即在直线上和不再直线上 在直线上时距 离为零 不再直线上时可根据高中时学习过的点到直线距离公式求解 平面内点 到直线的距离为 00 M xy0AxByC 00 22 AxByC d AB 2 3 空间内点到直线距离的计算 空间直线与点的相关位置有两种情况 即点在直线上与点不再直线上 点在直线上的 2 条件是点的坐标满足直线方程 这是点与直线的距离为零 当点不在直线上时 在空间直角坐标系下给定空间一点与直线 0000 Mxyz 111 xxyyzz l XYZ 这里为直线 上的点 为直线 的方向矢量 我们考虑和 1111 Mx y zl vx y z lv 矢量为两边构成的平行四边形 这个平行四边形的面积等于 显然 10 M M 10 vM M 点到 的距离就是这平行四边形的对应于为底的高 0 Mldv 因此我们有 10 vM M d v 222 010101010101 222 yyzzzzxxxxyy YZZXXY XYZ 例 1 求点到直线的距离 2 3 1 P 220 322170 xyz xyz 解 将直线方程化为标准方程 1125 212 xyz l 令 解 0 0y 2 230 32170 xz xz 得11 25xz 10 222 010101010101 222 1 vM M d v yyzzzzxxxxyy YZZXXY XYZ 3 3 点与平面间的距离点与平面间的距离 3 3 1 离差的定义及点到平面的距离定义 在求点与平面间距离之前 我们先引进点关于平面离差的概念 定义 如果自点到平面引垂线 其垂足为 Q 那么矢量在平面的单 0 M 0 QM 位法矢量上的射影叫做点与平面间的离差 记做 0 n 0 M 0 0 n QM 射影 那么 有如下 定理 2 点与平面 间的离差为 0 M 0 0 0nrp 0 0 nrp 这里 00 rOM 推论 1 点与平面 间的距离的离 0000 Mxyzcoscoscos0 xyzp 差是 000 coscoscosxyzp 显然 离差的绝对值 就是点与平面之间的距离 0 M d 3 2 点与平面位置关系的判定 容易看出 空间的点与平面间的离差 当且仅当点位于平面的单位法矢量 0 M 所指向的一侧 与同向 离差 0 在平面的另一侧 与方 0 n 0 QM 0 n 0 QM 0 n 向相反 离差 对于另一部分点 则有 AxByCzD 0AxByCzD 0 在平面上的点 0AxByCzD 4 直线到直线的距离 4 1 空间两直线的相关位置的判定 空间两直线的相关位置有异面与共面 在共面中又有相交 平行于重合三种情况 现在我们来导出这些相关位置成立的条件 设两个直线的方程为 111 1 111 xxyyzz l XYZ 222 2 222 xxyyzz l XYZ 定理 4 判定空间两直线 与 的相关位置的充要条件为 1 异面 212121 111 222 0 xxyyzz XYZ XYZ 2 相交 0 111222 XYZXYZ 3 平行 5 111222 XYZXYZ 212121 xxyyzz 4 重合 111222 XYZXYZ 212121 xxyyzz 4 2 空间直线间距离的计算 1 特殊情况时两直线间间距离 空间两直线上的点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离 显然 两条相交或重合的直线间距离等于零 两平行直线间的距离等于其中中一条直线的任意一点到另一条直线的距离 在点 到直线的距离一节中研究 2 两直线异面时距离 公垂线的定义 同时与两条异面直线垂直而且相交的直线只有一条 这条直线我 们就称为这两条异面直线的公垂线 其夹在异面直线之间的部分就叫做两条异面直线 的公垂线段 异面直线间距离的定义 我们就把两条异面直线的公垂线的长度叫做两异面直线 间的距离 定理 5 设两异面直线 与它们的公垂线的交点分别为 那么与 1 l 2 l 0 l 1 N 2 N 1 l 之间的距离 2 l 012 212121lvv dN NM MM M 射影射影 2112 12 M Mvv vv 所以两异面直线 的距离为 212121 111 222 222 111111 222222 xxyyzz XYZ XYZ d YZZXXY YZZXXY 例 3 已知两直线 6 1 1 110 xyz l 2 111 110 xyz l 间的距离 解 因为直线过点 方向矢量 从而有 1 l 1 0 0 1 M 1 1 1 0v 1212 112 11040 110 M Mv v 所以与为异面直线 1 l 2 l 2112 12 4 2 2 M Mvv d vv 5 平面到平面的距离 5 1 平面间的位置关系的判别 定理 6 空间两个平面的相关位置有三种情形 即相交 平行和重合 而且当且仅当两 平面有一部分公共点时它们相交 当且仅当两平面无公共点时它们相互平行 当且仅 当一个平面上的所有点就是另外一个平面的点时 这两个平面重合 因此如果设两平 面的方程为 11111 0AxB yC zD 12222 0A xB yC zD 那么 两平面间的距离跟两平面间的位置关系密切相关 定理 两平面 1 与 2 相交的充要条件是 111222 ABCABC 平行的充要条件是 1111 2222 ABCD ABCD 重合的充要条件是 1111 2222 ABCD ABCD 7 在直角坐标系下 由于两平面与的法矢量分别为 1 2 与 11 11 nA BC 2222 nA B C 当且仅当不平行于时 与相交 当且仅当与相互重合 1 n 2 n 1 2 12 nn平行 1 2 所以 5 2 平面间距离的计算 有了平面位置关系的判定定理 可以轻松判定两个平面间的位置关系 从而知道两 平面间的距离 当两平面与重合和相交时 平面间距离为 0 1 2 当两平面与平行时 平面间距离为 1 2 2 21 22 111 DD d ABC 下面对此结论简单证明 证明 在平面上取一点 1 0 00 M x yz 那么点到的距离可根据点到平面计算出M 2 2 10101 02 22 111 AxB yC zD d ABC 因为 10101 01 0AxB yC zD 所以 2 21 22 111 DD d ABC 结论得证 例 4 求下列两平面间的距离 与1948210 xyz 1948420 xyz 解 根据平面间距离公式 22 21 2222 111 4221 1 19 4 8 DD d ABC 8 结束语 本文归纳及总结了平面及空间内的点与直线与平面的位置关系 并着重讨论了空间 内点与平面的距离与离差的关系 在此过程中充分运用了矢量这一工具 通过矢量来 处理这类问题的好处是与坐标系的选取无关 参考文献参考文献 1 高等教育出版社 解析几何 第三版 吕林根 许子道 等编著 2 杨振麟 点到平面距离的公式的一种简捷求法 J 南昌高专学报 3 田宝运 王秀珍 浅谈点到平面距离的求法 J 数理化学习 高中版 4 贾士代 殷都学刊 1994 1 点到平面的距离公式的简明证法 5 张二艳 点到平面及异面直线间的距离公式 北京印刷学院学报 2003 年 04 期 9 ON THE DISTANCE AND DEVIATI