直线和圆的方程汇总.doc

第八章第八章 直线和圆的方程直线和圆的方程 知识图解 方法点拨 1 掌握直线的倾斜角 斜率以及直线方程的各种形式 能正确地判断两直线位置关系 并能熟练地 利用距离公式解决有关问题 注意直线方程各种形式应用的条件 了解二元一次不等式表示的平面区域 能解决一些简单的线性规划问题 2 掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法 并能够熟练运用对称性来解决问题 3 熟练运用待定系数法求圆的方程 4 处理解析几何问题时 主要表现在两个方面 1 根据图形的性质 建立与之等价的代数结构 2 根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质 5 要重视坐标法 学会如何借助于坐标系 用代数方法研究几何问题 体会这种方法所体现的数形结 合思想 6 要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题 还要注意综合运用三角函数 平面向 量等与本章内容关系比较密切的知识 点 中点坐标 两点间距离 圆 位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 方程形式 标准方程 一般方程 点到直线的距离 直 线 直线斜率与倾斜角 两条直线位置关系 平行 相交垂直 方 程 形 式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 点与直线位置关系 直 线 与 圆 的 方 程 空间直角坐标系 第 1 课 直线的方程 考点导读 理解直线倾斜角 斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程的几种形式 能根据 条件 求出直线的方程 高考中主要考查直线的斜率 截距 直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程 属中 低档题 多以填空题和选择题出现 每年必考 基础练习 1 直线 xcos y 2 0 的倾斜角范围是3 5 0 66 2 过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 3 2 P10320 或xyxy 3 直线 l 经过点 3 1 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 则直线 l 的方程为 42 或yxyx 4 无论取任何实数 直线必经过一定点 P 则 P 的坐标为k 14232 140k xk yk 2 2 5 已知直线 l 过点 P 5 4 且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 个平方单位 求直线 l 的方程 28 612 55 或yxyx 范例导析 例例 1 1 已知两点 A 1 2 B m 3 1 求直线 AB 的斜率 k 2 求直线 AB 的方程 3 已知实数 m 求直线 AB 的倾斜角 的取值范围 3 1 31 3 分析 运用两点连线的子斜率公式解决 要注意斜率不存在的情况 解 1 当 m 1 时 直线 AB 的斜率不存在 当 m 1 时 1 1 k m 2 当 m 1 时 AB x 1 当 m 1 时 AB 1 21 1 yx m 3 当 m 1 时 2 当 m 1 时 13 3 13 k m 2 6 223 故综合 得 直线 AB 的倾斜角 2 63 点拨 本题容易忽视对分母等于 0 和斜率不存在情况的讨论 例例 2 2 直线 l 过点 P 2 1 且分别交 x 轴 y 轴的正半轴于点 A B O 为坐标原点 1 当 AOB 的面积最小时 求直线 l 的方程 2 当 PA PB 取最小值时 求直线 l 的方程 分析 分析 引进合适的变量 建立相应的目标函数 通过寻找函数最值的取得条件来求 l 的方程 解解 1 设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 则点 A 2 0 B 0 1 2k 且 2 0 1 2k 0 即 k 0 1 k 1 k AOB 的面积 S 1 2k 2 4k 4 4 当 4k 即 k 时 AOB 的面积有最小值 1 2 1 k 1 2 1 k 1 k 1 2 4 则所求直线方程是 x 2y 4 0 2 解法一 由题设 可令直线方程 l 为 y 1 k x 2 分别令 y 0 和 x 0 得 A 2 0 B 0 1 2k 1 k PA PB 当且仅当 k2 1 即 k 1 时 PA PB 取得 22 22 11 44 1 84 4kk kk 最小值 4 又 k 0 k 1 这是直线 l 的方程是 x y 3 0 解法二 如下图 设 BAO 由题意得 0 且 PA PB 2 4 4 sincossin2 PEPF 当且仅当 时 PA PB 取得最小值 4 此时直线 l 的斜率为 1 直线 l 的方程是 x y 3 0 4 点评点评 求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本 量 在研究最值问题时 可以从几何图形开始 找到取最值时的情形 也可以从代数角度出发 构建目 标函数 利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值 例例 3 3 直线 l 被两条直线 l1 4x y 3 0 和 l2 3x 5y 5 0 截得的线段中点为 P 1 2 求直线 l 的方程 分析分析 本题关键是如何使用好中点坐标 对问题进行适当转化 解 解法一解 解法一 设直线 l 交 l1于 A a b 则点 2 a 4 b 必在 l2 所以有 y xO P E F B A 例 2 图 解得 430 3 2 5 4 50 ab ab 2 5 a b 直线 l 过 A 2 5 P 1 2 它的方程是 3x y 1 0 解法二解法二 由已知可设直线 l 与 l1的交点为 A 1 m 2 n 则直线 l 与 l2的交点为 B 1 m 2 n 且 l 的斜率 k A B 两点分别 l1和 l2上 消 n m 4 1 2 30 3 1 5 2 50 mn mn 去常数项得 3m n 所以 k 3 从而直线 l 的方程为 3x y 1 0 解法三解法三 设 l1 l2与 l 的交点分别为 A B 则 l1关于点 P 1 2 对称的直线 m 过点 B 利用对称关 系可求得 m 的方程为 4x y 1 0 因为直线 l 过点 B 故直线 l 的方程可设为 3x 5y 5 4x y 1 0 由于直线 l 点 P 1 2 所以可求得 18 从而 l 的方程为 3x 5y 5 18 4x y 1 0 即 3x y 1 0 点评点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法 本题也可以先设直线方程 然后求交点 再根据中 点坐标求出直线 l 的斜率 但这种解法思路清晰 计算量大 解法一和解法二灵活运用中点坐标公式 使 计算简化 对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程 解法三是利用直线系方 程求解 对学生的思维层次要求较高 反馈练习 反馈练习 1 已知下列四个命题 经过定点 P0 x0 y0 的直线都可以用方程 y y0 k x x0 表示 经过任意两个不同点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 不经过原点的直线都可以用方 程 1 表示 经过定点 A 0 b 的直线都可以用方程 y kx b 表示 其中正确的是 a x b y 2 设直线 l 的方程为 当直线 l 的斜率为 1 时 k 值为 5 当直线 l 在 232603xkykk x 轴 y 轴上截距之和等于 0 时 k 值为 1 或 3 3 设直线 ax by c 0 的倾斜角为 且 sin cos 0 则a b满足的关系式为 0 ba 4 若直线 l y kx与直线 2x 3y 6 0 的交点位于第一象限 则直线 l 的倾斜角的取值范围是3 2 6 5 若直线 4x 3y 12 0 被两坐标轴截得的线段长为 则 c 的值为 c 1 5 1 6 过点 P 1 1 作直线 l 与两坐标轴相交所得三角形面积为 10 则直线 l 有 4 条 7 若三点共线 则的值等于 2 2 0 0 0 AB aCb ab 11 ab 1 2 8 若直线 m2 1 x y 2m 1 0 不经过第一象限 则实数 m 的取值范围是 1 1 2 9 已知直线 被两直线 4x y 6 0 与 3x 一 5y 一 6 0 截得的线段中点为坐标原点 那么直线 的ll 1 l 2 l 方程是 x 6y 0 10 已知两直线 a1x b1y 1 0 和 a2x b2y 1 0 的交点为 P 2 3 求过两点 Q1 a1 b1 Q2 a2 b2 a1 a2 的直线方程 分析 利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解 P 2 3 在已知直线上 2a1 3b1 1 0 2a2 3b2 1 0 2 a1 a2 3 b1 b2 0 即 21 21 aa bb 3 2 所求直线方程为 y b1 x a1 3 2 2x 3y 2a1 3b1 0 即 2x 3y 1 0 点拨 1 由已知求斜率 2 运用了整体代入的思想 方法巧妙 11 在 ABC 中 BC 边上的高所在的直线方程为 x 2y 1 0 A 的平分线所在直线方程为 y 0 若点 B 的 坐标为 1 2 求点 A 和点 C 的坐标 分析 分析 利用高线与 A 的平分线求得点 A 坐标 然后求出直线 AC 与 BC 的方程 从而求出 C 点坐标 解解 A 点既在 BC 边的高线上 又在 A 的平分线上 由得 A 1 0 kAB 1 而 x 轴是角 A 的平分线 kAC 1 210 0 xy y AC 边所在直线方程为 y x 1 又 kBC 2 BC 边所在直线方程为 y 2 2 x 1 联立 得 C 的坐标为 5 6 点拨 点拨 综合运用三角形和直线有关知识 寻找解题突破口 将问题转化为先求一些直线方程 再求直 线的交点 这是解决这一类问题的常用办法 12 一条直线经过点 P 3 2 并且分别满足下列条件 求直线方程 1 倾斜角是直线 x 4y 3 0 的倾斜角的 2 倍 2 与 x y 轴的正半轴交于 A B 两点 且 AOB 的面积最小 O 为坐标原点 解 1 设所求直线倾斜角为 已知直线的倾斜角为 则 2 且 tan tan tan2 4 1 15 8 从而方程为 8x 15y 6 0 2 设直线方程为 1 a 0 b 0 a x b y 代入 P 3 2 得 1 2 得 ab 24 a 3 b 2 ab 6 从而 S AOB ab 12 2 1 此时 k a 3 b 2 a b 3 2 点拨 此题 2 也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值 第 2 课 两条直线的位置关系 考点导读 1 掌握两条直线平行与垂直的条件 能根据直线方程判定两条直线的位置关系 会求两条相交直线 的交点 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式 2 高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用 有时考察单一知识 点 有时也和函数三角不等式等结合 题目难度中等偏易 基础练习 1 已知过点 A 2 m 和 B m 4 的直线与直线 2x y 1 0 平行 则 m 的值为 8 2 过点 1 3 且垂直于直线 x 2y 3 0 的直线方程为 2x y 1 0 3 若三条直线和相交于一点 则 k 的值等于2380 xy 10 xy 1 0 2 xkyk 1 2 4 已知点 P 1 1 P 5 4 到直线的距离都等于 2 直线的方程 12 ll 为 3x 4y 11 0 或 3x 4y 9 0 或 7x 24y 81 0 或 x 3 0 5 已知 A 7 8 B 10 4 C 2 4 求 ABC 的面积 简解 答案为 28 3 范例导析 例例 1 1 已知两条直线 x m2y 6 0 m 2 x 3my 2m 0 当 m 为何值时 与 1 l 2 l 1 l 2 l 1 相交 2 平行 3 重合 分析 利用垂直 平行的充要条件解决 解 当 0 时 x x 1 l 2 l 1 l 2 l 当 2 时 x y y 1 l 2 l 与相交 1 l 2 l 当 m 且 m 时 由得 m 或 m 由得 m 3 m m m32 1 2 mm2 6 2 1 故 当 m 且 m 且 m 时与相交 1 l 2 l m 或 m 时 1 l 2 l 当 m 时与重合 1 l 2 l 点拨 判断两条直线平行或垂直时 不要忘了考虑两条直线斜率是否存在 例例 2 已知直线 经过点 P 3 1 且被两平行直线 x y 1 0 和 x y 6 0 截得的线段之长为l 1 l 2 l 5 求直线 的方程 l 分析 可以求出直线 与两平行线的交点坐标 运用两点距离公式求出直线斜率l 解法一 若直线 的斜率不存在 则直线 的方程为x 3 此时与 的交点分别是 A1 3 4 和ll 1 l 2 l B1 3 9 截得的线段 AB 的长 AB 4 9 5 符合题意 若直线 的斜率存在 则设 的方程为ll y k x 3 1 解方程组得 A 10 31 xy yk x 1 23 k k 1 14 k k 解方程组 得 B 60 31 xy yk x 1 73 k k 1 19 k k 由 AB 5 得 25 2 3237 11 kk kk 2 4191 11 kk kk 解之 得 k 0 即所求的直线方程为 y 1 综上可知 所求 的方程为 x 3 或 y 1 l 解法二 设直线 与 分别相交于 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 y1 1 0 l 1 l 2 l x2 y2 6 0 两式相减 得 x1 x2 y1 y2 5 又 x1 x2 2 y1 y2 2 25 联立 可得或 12 12 5 0 xx yy 12 12 0 5 xx yy 由上可知 直线 的倾斜角为 0 或 90 又由直线 过点 P 3 1 故所求 的方程为 x 3 或lll y 1 点拨 点拨 用待定系数法求直线方程时 要注意对斜率不存在的情况的讨论 例例 3 3 设已知三条直线 1 0 lmxym 2 10 lxmym m 3 110lmxym 它们围成 ABC 1 求证 不论 m 为何值 ABC 有一个顶点为定点 2 当 m 为何值时 ABC 面积有最大值和最小值 并求此最大值与最小值 分析 本题问题 2 考察直线过定点的问题 问题 3 可以建立面积的表达式 转化为求函数最值问 题 解 解 1 证明 因为直线恒过定点 1 0 直线 1 0lmxym 也恒过定点 1 0 所以直线与的交点为定点 1 0 即 3 110lmxym 1 l 2 l ABC 有一个顶点为定点 不妨设为 C 1 0 2 因为所以 即 AB AC 又与的交点为 B 0 m 1 由点到直线 110 mm 12 ll 3 l 2 l 距离公式得 B 到直线 AC 的距离 点 C 到 AB 的距离 所以 2 1 1 B d m 2 2 1 1 c mm d m ABC 的面积 S 当 m 0 时 等号在时成 2 2 1 1 2 1 mm m 11 1 1 2 m m 1 2m m 1m 立 S 有最大值 当时 等号在时成立 S 有最小值 3 4 0m 1 2m m 1m 1 4 点拨 解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题 反馈练习 反馈练习 1 已知直线 在轴上的截距为 1 且垂直于直线 则 的方程是lxxy 2 1 l22 xy 2 若直线与互相垂直 则 3 或 1 3 1 yaax5 32 1 yaxa a 3 若直线 l1 ax 2y 6 0 与直线 l2 x a 1 y a2 1 0 平行 则 a 的值是 1 4 已知 且点到直线的距离等于 则等于 2 0 cos 1 1cossin yx 4 1 6 5 设 a b c 分别是 ABC 中 A B C 所对边的边长 则直线 sinA x ay c 0 与 bx sinB y sinC 0 的位置关系是垂直 6 已知点 分别是直线 上和直线 外一点 若直线 的方程是 则方程 111 yxP 222 yxPlll 0 yxf 表示的图形是 0 2211 yxfyxfyxf 2 Pl过且与平行的直线 7 点关于直线的对称点的坐标是 2 1 3 2 1 yx 8 经过直线与的交点 且平行于直线的直线方程是 3x 6y 2 0 0732 yx01157 yx032 yx 9 两条直线和互相垂直 则垂足的坐标为210 axay 1110axay 27 15 30 10 线过点 过点 且与之间的距离等于 5 求与的方程 1 l 0 5 A 2 l 1 0 B 1 l 2 l 1 l 2 l 1 l 2 l 解 与的方程分别为 12x 5y 60 0 12x 5y 5 0 或 x 5 x 0 1 l 2 l 11 条直线和共有三个不同的交点 求 a 的范围 10 xy 280 xy 350axy 解 且且3a 6a 1 3 a 12 已知 ABC 的三边方程分别为 AB BC CA 43100 xy 20y 3450 xy 求 1 AB 边上的高所在直线的方程 2 BAC 的内角平分线所在直线的方程 解 1 AB 边上的高斜率为且过点 C 解方程组得点 C 2 所以 AB 边上的 3 4 20 3450 y xy 13 3 高方程为 34210 xy 2 设 P为 BAC 的内角平分线上任意一点 则解得 x y 22 22 4310345 4334 xyxy 或 由图形知即为所求 7750 xy 150 xy 7750 xy 第 3 课 圆的方程 考点导读 1 掌握圆的标准方程与一般方程 能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程 理解圆的标准方 程与一般方程之间的关系 会进行互化 2 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程 利用三角换元或数形结合求最值问题 题型难度 以容易题和中档题为主 基础练习 1 已知点 A 3 2 B 5 4 以线段 AB 为直径的圆的方程为 x 1 2 y 1 2 25 2 过点 A 1 1 B 1 1 且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是 x 1 2 y 1 2 4 3 已知圆 C 的半径为 2 圆心在轴的正半轴上 直线与圆 C 相切 则圆 C 的方程为x0443 yx 04 22 xyx 4 圆与 y 轴交于 A B 两点 圆心为 P 若 APB 120 则实数 c 值为 11 22 420 xyxyc 5 如果方程所表示的曲线关于直线对称 那么必有 22 0 xyDxEyF 22 40DEF yx D E 范例导析 例 1 设方程 若该方程表示一个圆 求 m 的取值 2224 2 3 2 1 4 1690 xymxmym 范围及这时圆心的轨迹方程 分析 配成圆的标准方程再求解 解 配方得 该方程表示圆 则有 2 2 22 3 1 4 1 67xmymmm 2 1 670mm 得 此时圆心的轨迹方程为 消去 m 得 由得 1 1 7 m 2 3 41 xm ym 2 4 3 1yx 1 1 7 m x m 3所求的轨迹方程是 20 4 7 2 4 3 1yx 20 4 7 x 注意 方程表示圆的充要条件 求轨迹方程时 一定要讨论变量的取值范围 如题中 20 4 7 x 变式 1 方程表示圆 求实数 a 的取值范围 并求出其中半径最小的圆的 22 4 1 40axayaxy 方程 解 原方程可化为 2 2 2 2 2 1 24 22 aaa xy aaa 当 a时 原方程表示圆 2 220 aa 0 又 2 222 222 2222 44 4 22 22 aaaaaa r aaa 当 所以半径最小的圆方程为 min 2 2ar 22 112xy 例例 2 求半径为 4 与圆相切 且和直线相切的圆的方程 0424 22 yxyx0 y 分析 分析 根据问题的特征 宜用圆的标准方程求解 解 解 则题意 设所求圆的方程为圆 222 rbyaxC 圆与直线相切 且半径为 4 则圆心的坐标为或 C0 yC 4 1 aC 4 2 aC 又已知圆的圆心的坐标为 半径为 3 0424 22 yxyxA 1 2 若两圆相切 则或 734 CA134 CA 1 当时 或 无解 故可得 4 1 aC 222 7 14 2 a 222 1 14 2 a1022 a 所求圆方程为 或 222 4 4 1022 yx 222 4 4 1022 yx 2 当时 或 无解 故 4 2 aC 222 7 14 2 a 222 1 14 2 a622 a 所求圆的方程为 或 222 4 4 622 yx 222 4 4 622 yx 说明 说明 对本题 易发生以下误解 由题意 所求圆与直线相切且半径为 4 则圆心坐标为 且方程形如0 y 4 aC 又圆 即 其圆心为 222 4 4 yax0424 22 yxyx 222 3 1 2 yx 1 2 A 半径为 3 若两圆相切 则 故 解之得 所以欲求圆34 CA 222 7 14 2 a1022 a 的方程为 或 222 4 4 1022 yx 222 4 4 1022 yx 上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形 而疏漏了圆心在直线下方的情形 另外 误解中0 y0 y 没有考虑两圆内切的情况 也是不全面的 点评 点评 在解决求圆的方程这类问题时 应当注意以下几点 1 确定圆方程首先明确是标准方程还 是一般方程 2 根据几何关系 如本例的相切 弦长等 建立方程求得 a b r 或 D E F 3 待定系数法的应用 解答中要尽量减少未知量的个数 例2 设圆满足 截y轴所得弦长为2 被x轴分成两段圆弧 其弧长的比为3 1 在满足条件 的 所有圆中 求圆心到直线l x 2y 0的距离最小的圆的方程 分析 注意挖掘题目的条件 充分利用圆的几何性质解决问题 解法一解法一 设圆心为P a b 半径为r 则点P到x轴 y轴的距离分别为 b a 由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900 知圆P截x轴的弦长为 故r2 2b22r 又圆P截y轴所得的弦长为2 所以有r2 a2 1 从而得2b2 a2 1 又点P a b 到直线x 2y 0的距离为 2 5 ab d 所以5d2 a 2b 2 a2 4b2 4ab a2 4b2 2 a2 b2 2b2 a2 1 当且仅当a b时上式等号成立 此时5d2 1 从而d取得最小值 由此有 解此方程组得 由于r2 2b2知于是 所求圆的方程是 2r x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 解法二解法二 同解法一得 222 2 25 5 44 55 ab dabd abbdd 得 将a2 2b2 1代入上式 整理得 24 5510 22 bdbd 把它看作b的二次方程 由于方程有实根 故判别式非负 即 8 5d2 1 0 得5d2 1 所以5d 2有最小值1 从而d有最小值 5 5 将其代入 式得2b2 4b 2 0 解得b 1 将b 1代入r2 2b2 得r2 2 由r2 a2 1得a 1 综上 a 1 b 1 r2 2 由 a 2b 1知a b同号 于是 所求圆的方程是 x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 点拨 求圆的方程通常有两类方法 一是几何法 即通过研究圆的性质 直线和圆 圆和圆的位置关系进而求 得圆的基本量 圆心 半径 和圆的方程 二是代数法 即根据题意设出圆的方程 再利用条件得到有关方程 系数的方程组 解方程组得到方程系数 从而求出圆的方程 例 4 在平面直角坐标系中 已知圆心在第二象限 半径为的圆与直线相切于坐标xoy2 2Cyx 原点 椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 O 22 2 1 9 xy a C10 1 求圆的方程 C 2 试探究圆上是否存在异于原点的点 使到椭圆右焦点的距离等于线段的长 若存CQQFOF 在 请求出点的坐标 若不存在 请说明理由 Q 分析 问题 2 可以转化为探求以右焦点 F 为顶点 半径为 4 的圆 x 4 2 y2 8 与 1 所求的圆的交点数 解 1 设圆心坐标为 m n m0 则该圆的方程为 x m 2 y n 2 8 已知该圆与直线 y x 相切 那 么圆心到该直线的距离等于圆的半径 则 2 2 nm 2 即 4 nm 又圆与直线切于原点 将点 0 0 代入得 m2 n2 8 联立方程 和 组成方程组解得 2 2 n m 故圆的方程为 x 2 2 y 2 2 8 2 5 a2 25 则椭圆的方程为 1a 其焦距 c 4 右焦点为 4 0 那么 4 925 OF 要探求是否存在异于原点的点 Q 使得该点到右焦点 F 的距离等于的长度 4 我们可以转化为探求OF 以右焦点 F 为顶点 半径为 4 的圆 x 4 2 y2 8 与 1 所求的圆的交点数 通过联立两圆的方程解得 x y 5 4 5 12 即存在异于原点的点 Q 使得该点到右焦点 F 的距离等于的长 5 4 5 12 OF 点拨 解决圆的综合问题时 一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题 另一方面还要注意几何问题代 数化的思想运用 反馈练习 反馈练习 1 关于 x y 的方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示一个圆的充要条件是 B 0 且 A C 0 D2 E2 4AF 0 2 过点 P 8 1 Q 5 12 R 17 4 三点的圆的圆心坐标是 5 1 3 若两直线 y x 2k 与 y 2x k 1 的交点 P 在圆 x2 y2 4 的内部 则 k 的范围是 1 1 5 k 4 已知圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 则这个圆的方程是 22 460 xyxy 5 直线 y 3x 1 与曲线 x2 y2 4 相交于 A B 两点 则 AB 的中点坐标是 31 10 10 6 方程表示的曲线是 两个半圆 2 11 1 xy 25 2 x 9 2 y 7 圆关于直线的对称圆的方程是2 4 3 22 yx0 yx 22 4 3 2xy 8 如果实数 x y 满足等式 那么的最大值是 3 2 2 23xy y x 9 已知点和圆 求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路程为 1 1 A4 7 5 22 yxC 8 10 求经过点 A 5 2 B 3 2 圆心在直线 2x y 3 0 上的圆的方程 解 设圆心 P x0 y0 则有 2 0 2 0 2 0 2 0 00 2 3 2 5 032 yxyx yx 解得 x0 4 y0 5 半径 r 10 所求圆的方程为 x 4 2 y 5 2 10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 11 一圆与 y 轴相切 圆心在直线 x 3y 0 上 且直线 y x 截圆所得弦长为 2 求此圆的方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 7 解 因圆与 y 轴相切 且圆心在直线 x 3y 0 上 故设圆方程为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 222 3 9xbybb 又因为直线 y x 截圆得弦长为 2 7 则有 9b2 2 3 2 bb 2 7 解得 b 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头故所求圆方程为 或 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 22 3 1 9xy 22 3 1 9xy 点拨 1 确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程 2 待定系数法 3 尽量利用几何关 系求 a b r 或 D E F 12 在直角坐标系中 以为圆心的圆与直线相切 xOyO34xy 1 求圆的方程 O 2 圆与轴相交于两点 圆内的动点使成等比数列 求的取值范OxAB PPAPOPB PA PB A 围 解 1 依题设 圆的半径等于原点到直线的距离 OrO34xy 即 4 2 1 3 r 得圆的方程为 O 22 4xy 2 不妨设 由即得 1212 0 0 A xB xxx 2 4x 2 0 2 0 AB 设 由成等比数列 得 P xy PAPOPB 222222 2 2 xyxyxy A 即 22 2xy 2 2 PA PBxyxy AA 22 2 4 2 1 xy y 由于点在圆内 故PO 22 22 4 2 xy xy 由此得 2 1y 所以的取值范围为 PA PB A 2 0 第 4 课 直线与圆的位置关系 考点导读 能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系 熟练运用圆的有关性质解决直线与圆 圆与圆 的综合问题 运用空间直角坐标系刻画点的位置 了解空间中两点间的距离公式及其简单应用 基础练习 1 若直线 4x 3y 2 0 与圆 x2 y2 2ax 4y a2 12 0 总有两个不同交点 则 a 的取值范围是 6 a 4 2 直线 x y 4 0 被圆 x2 y2 4x 4y 6 0 截得的弦长等于2 2 3 过点 P 2 1 且与圆 x2 y2 2x 2y 1 0 相切的直线的方程为 x 2 或 3x 4y 2 0 4 设集合 若 M N M 则实数 a 的取值范 22 25 Mx yxy 2 2 9 Nx yxay 围是 2 a 2 5 M 2 3 8 关于坐标平面 xOy 对称点的坐标为 2 3 8 范例导析 例 1 已知圆 C x 1 2 y 2 2 25 直线 l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m R 1 证明 不论 m 取什么实数 直线 l 与圆恒交于两点 2 求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 分析 直线过定点 而该定点在圆内 此题便可解得 1 证明 l 的方程 x y 4 m 2x y 7 0 由得 270 40 xy xy 3 1 x y 即 l 恒过定点 A 3 1 圆心 C 1 2 AC 5 半径 5 点 A 在圆 C 内 从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点 2 解 弦长最小时 l AC 由 kAC 2 1 l 的方程为 2x y 5 0 点拨 直线与圆相交截得弦长的最小值时 可以从垂径定理角度考虑 充分利用圆的几何性质 例 2 已知圆 O 圆 C 由两圆外一点引两圆切线1 22 yx1 4 2 22 yx baP PA PB 切点分别为 A B 满足 PA PB 1 求实数 a b 间满足的等量关系 2 是否存在以 P 为圆心的圆 使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切 若存在 求出圆 P 的方程 若不存在 说明理由 分析 问题 1 可直接根据题目条件求得 在解决问题 2 时 要注意 问题 1 结论的运用 1 连结 PO PC PA PB OA CB 1 PO 2 PC 2 从而 2222 4 2 baba 化简得实数 a b 间满足的等量关系为 052 ba 2 圆 O 和圆 C 的半径均为 1 若存在半径为 R 圆 P 与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切 则有 且 于是有 即1 RPO1 RPC2 POPC2 POPC 从而得 两边平方 整理得2 4 2 2222 baba 2 4 22 baba 将代入上式得 52 ba01 22 ba 故满足条件的实数 a b 不存在 不存在符合题设条件的圆 P 点拨 注意圆与圆的位置关系的判断 例 3 已知圆 C 与两坐标轴都相切 圆心 C 到直线的距离等于 yx 2 1 求圆 C 的方程 2 若直线与圆 C 相切 求证 1 xy l mn 2 2 mn 64 2 mn 分析 本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法 解 1 设圆 C 半径为 由已知得 r 或 2 2 ab ra ab 1 1 ab r 1 1 ab r 例 2 圆 C 方程为 2222 1 1 1 1 1 1xyxy 或 2 直线 0lnxmymn 方程为 22 1 1 1lCxy 直线与圆相切 22 1 nmmn nm 222 nmmnnm 左边展开 整理得 222 mnmn 2 2 mn mn 0 0 2mnmnmn 2 2 2 mn mn 2 420 mnmn 22 22 mnmn 或 2 2mn 22mn 64 2 mm 点拨 有关直线和圆的位置关系 一般可以考虑圆心到直线的距离 当然也以联立方程组用代数手段解决 例例 4 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 平行于 x 轴且过点 A 3 2 的入射光线 l1被直线 l y x 反 3 3 3 射 反射光线 l2交 y 轴于 B 点 圆 C 过点 A 且与 l1 l2都相切 1 求 l2所在直线的方程和圆 C 的方程 2 设 P Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点 求 PB PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标 解 解 1 直线设 1 2 ly 1 2 3 2llDD交于点 则 的倾斜角为 反射光线所在的直线方程为l 30 2 60l 的倾斜角为 2 3 k 2 l 即 23 2 3 yx 340 xy x y O A B l2 l1 l 例 4 已知圆 C 与 1 lA切于点 设C a b 圆心 C 在过点 D 且与垂直的直线上 又圆心 C 在过点 A 且与垂直的直线上 l38ba 1 l 圆 C 的半径 r 3 3 3a 381ba 故所求圆 C 的方程为 22 3 3 1 9xy 2 设点关于的对称点 则 得 固定点 Q 可发现 0 4B l 00 B xy 00 0 0 43 232 4 3 yx y x 2 3 2 B 当共线时 最小 BPQ PBPQ 故的最小值为 此时由 得 PBPQ 32 213B C 13 3 2 12 33 3 3 3 yx yx 3 1 22 P 反馈练习 1 圆 x2 y2 4x 0 在点 P 1 处的切线方程为3320 xy 2 直线x y 2 0 截圆 x2 y2 4 得的劣弧所对的圆心角为33 3 解析 如图 7 7 所示 由 4 0323 22 yx yx 消 y 得 x2 3x 2 0 x1 2 x2 1 A 2 0 B 1 3 AB 2 22 30 12 又 OB OA 2 AOB 是等边三角形 AOB 故选 C 3 评述 本题考查直线与圆相交的基本知识 及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想 同时 也体现了数形结合思想的简捷性 如果注意到直线 AB 的倾斜角为 120 则等腰 OAB 的底角为 60 因此 AOB 60 更加体现出平面几何的意义 3 已知直线 过点 当直线 与圆有两个交点时 其斜率 k 的取值范围是l 02 lxyx2 22 22 4 4 4 设 m 0 则直线 x y 1 m 0 与圆 x2 y2 m 的位置关系为相切或相离2 解析 圆心到直线的距离为 d 圆半径为 2 1m m d r m 2 1 1 2 0 2 1m m 2 1 m 2 1 m 直线与圆的位置关系是相切或相离 5 圆 x 3 2 y 3 2 9 上到直线 3x 4y 11 0 的距离等于 1 的点有个数为 3 6 点 P 从 1 0 出发 沿单位圆逆时针方向运动弧长到达 Q 点 则 Q 的坐标为 1 22 yx 3 2 2 3 2 1 7 若圆与直线相切 且其圆心在轴的左侧 则的值为0 4 1 22 mxyx1 yym 3 4 8 已知 P 3 0 是圆 x2 y2 8x 2y 12 0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是 x y 3 0 过点 P 的最 长弦所在直线方程是 x y 3 0 9 设 P 为圆上的动点 则点 P 到直线的距离的最小值为 1 1 22 yx01043 yx 10 已知与曲线 C x2 y2 2x 2y 1 0 相切的直线 L 交 x 轴 y 轴于 A B 两点 O 为原点 且 OA a OB b a 2 b 2 1 求证曲线 C 与直线 L 相切的条件是 a 2 b 2 2 2 求 AOB 面积的最小值 解 依题意得 直线 L 的方程为 1 即 bx ay ab 0 圆 C 的方程为 x 1 2 y 1 2 1 x a y b 1 直线与圆相切 1 化简 a 2 b 2 2 2 由 a 2 b 2 2 得 ab 2a 2b 2 S AOB ab a b 1 a 2 b 2 1 2 3 2 3 2 3 当且仅当 a b 2 时 面积有最小值 2 3 a 2 b 2 222 11 已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内 0 0 240 x y xy 222 Cxaybr 部所覆盖 1 试求圆的方程 C 2 若斜率为 1 的直线 与圆 C 交于不同两点满足 求直线 的方程 l A BCACB l 解解 1 由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部 且 是直角 0 0 4 0 0 2 OPQOPQ 三角形 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 故圆心是 2 1 半径是 所以圆的方程是5C 22 2 1 5xy 2 设直线 的方程是 lyxb 因为 CACB 所以圆心到直线 的距离是 Cl 10 2 即 22 21 10 2 11 b 解得 所以直线 的方程是 15b l15yx 12 本题满分 16 分 已知 和定点 由 外一点向 引切线 O 22 1xy 2 1 AO P a bOPQ 切点为 且满足 Q PQPA 1 求实数间满足的等量关系 ab 2 求线段长的最小值 PQ 3 若以为圆心所作的 与 有公共点 试求半径取最小值时的 方程 PPOP 解 解 1 连为切点 由勾股定理有 OPQ PQOQ 222 PQOPOQ 又由已知 故 即 PQPA 22 PQPA 22222 1 2 1 abab 化简得实数 a b 间满足的等量关系为 3 分 230ab 2 由 得 230ab 23ba 2222 1 23 1PQabaa 2 5128aa 2 64 5 55 a 故当时 即线段 PQ 长的最小值为 7 分 6 5 a min 2 5 5 PQ 2 5 5 3 设P 的半径为 P 与O 有公共点 O 的半径为 1 AR AAA 即且 11 ROPR 1ROP 1ROP 而 22222 69 23 5 55 OPabaaa 故当时 此时 6 5 a min 3 5 5 OP 3 23 5 ba min 3 51 5 R 得半径取最小值时P 的方程为 12 分 A 222 633 51 555 xy 解法 2 P 与O 有公共点 P 半径最小时为与O 外切 取小者 的情形 而这些半径的最小值AAAA 为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1 圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l 与 l 的交点 P0 r 1 1 3 2 2 1 2 3 5 5 又l x 2y 0 解方程组 得 即 P0 20 230 xy xy 6 5 3 5 x y 6 5 3 5 所求圆方程为 222 633 51 555 xy 2 2 O P Q x y A P0 l 解法 2 本章自主检测 一填空 1 点 P a b Q b 1 a 1 关于直线 L 对称 则 L 的方程是 x y 1 0 2 过点 P 2 1 且被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的弦长最大的直线的方程是 3x y 5 0 3 如果点 4 a 到直线的距离不大于 3 那么 a 的取值范围是 0 10 0134 yx 4 直线当 k 变动时 所有直线都过定点 3 1 031 kykx 5 直线和直线平行的充要条件是012 ayx01 13 ayxa 1 0 6 a 或 6 方程 x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t2 9 0 t R 表示圆方程 则 t 的取值范围是 1 1 7 t 7 点 A 是圆 C 上任意一点 A 关于直线的对称点也在圆 C 上 则 22 450 xyaxy 210 xy 实数 a 的值为 10 8 过圆 x2 y2 4 外一点P 4 2 作圆的两条切线 切点为A B 则 ABP的外接圆方程是 x 2 2 y 1 2 5 9 M 为圆内异于圆心的一点 则直线与该圆的位置关系为 00 yx 0 222 aayx 2 00 ayyxx 相离 填相切 相交 相离 10 设直线与圆相交于 两点 且弦的长为 则0 30axy 22 1 2 4xy ABAB2 3a 11 已知圆 C 过点 A 4 1 且与圆相切于点 B 1 2 则圆 C 22 2650 xyxy 的方程为 2 2 51 3 y x 12 25 22 34250 xyxyxy 若点 在直线上移动 则的最小值为 13 过点的直线 将圆分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时