量子力学期末复习题.pdf

一 填空题 1 索末菲的量子化条件为 德布罗意关系为 用来 解释光电效应的爱因斯坦公式为 2 波函数的统计解释 波函数的标准条件为 3 几 率 流 密 度 矢 量 J 几 率 守 恒 定 律 的 公 式 是 4 一粒子的波函数为 zyxr 则粒子位于 dxxx 间的几率 5 自由粒子体系 守恒 中心力场中运动的粒子 守恒 6 力学量算符应满足的两个性质是 7 厄密算符的本征函数具有 答 8 设 为归一化的动量表象下的波函数 则 的物理意义为 9 给出如下对易关系 10 z LL 2 的共同本征函数是 相应的本征值又分别是 和 11 坐标和动量的测不准关系是 12 在定态条件下 守恒的力学量是 13 隧道效应是指 14 lmnlnlm YrR 为 氢 原 子 的 波 函 数 nlm的 取 值 范 围 分 别 为 15 设体系的状态波函数为 如在该状态下测量力学量 有确定的值 则力学量 算符 与态矢量 的关系为 16 写出态和力学量的表象变换公式 17 一 维 谐 振 子 的 归 一 化 波 函 数 和 能 级 表 达 式 18 设粒子处于态 2021 3 1 10 2 1 cYYY 为归一化波函数 Ylm为球谐函数 则系数 c 的取值为 z L 的可能值为 2 L本征值为 6 2 出现的几 率为 19 原子跃迁的选择定则为 20 为自旋算符 则 21 乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 22 费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有 玻色子所组成的全同粒子 体系的波函数具有 23 两个全同粒子组成的体系 单粒子量子态为 q k 当它们是玻色子时波函数为 21 qq s 当它们为费米子时 21 qq A 24 在量子统计中 由费米子组成的体系服从 统计 由玻色子组成的体系服从 统计 三 基础题 1 s L 分别为电子的自旋和轨道角动量 LsJ 为电子的总角动量 证明 LsJ 0 JJ 2 0 zyx 2 证明 xx p x f i x f xfp 2 2 2 22 3 证明 2 2 p HV x m 是厄密算符 4 证明下列算符的对易关系 5 设粒子在势阱宽度为设粒子在势阱宽度为a的一维无限深势阱中运动 其本征值和本征函数分别为的一维无限深势阱中运动 其本征值和本征函数分别为 2 222 2ma n En a xn a x n sin 2 如果粒子的状态由波函数 如果粒子的状态由波函数 sincosx a x a x a 4 2 描述 求粒子的能量的可能值和相应的几率 描述 求粒子的能量的可能值和相应的几率 6 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱 xxV 时 波函数 x 及其 x 的边界条件 8 何谓几率流密度 已知几率流密度 2 i j m 证明 几率流连续性方程 0j t 9 证明 0 0 0 222 LsJssLL 其中 LsJzyx 10 证明 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 11 设粒子处于一维无限深势阱 axx ax xV 或0 0 0 中 求处于定态 x n 中的粒子位置x的平均值 12 一个谐振子处于基态 2 2 2 1 22 tix etx 求势能 22 2 1 xmV 的平均值及动能 mpT2 2 的平均值 13 证明下列关系式 1 2 0 2 LL 3 21 2 21 23 其中L 为角动量算符 yx LiLL 为泡利算符 p 为动量算符 14 对于自旋为 2 1 的体系 求 yx SS 的本征值和本征态 在具有较小的本征值所相应的态 中 测量 2 z s的几率是多大 15 一体系由三个全同的玻色子组成 玻色子之间无相互作用 玻色子只有两个可能的单粒 子态 问体系可能的状态有几个 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成 二 简答题 1 什么是光电效应 光电效应有什么规律 爱因斯坦是如何解释光电效应的 2 写出德布罗意假设和德布罗意公式 3 简述波函数的统计解释 为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态 几率波满足的条件 4 以微观粒子的双缝干涉实验为例 说明态的叠加原理 5 何谓定态 它有何特征 6 什么是束缚态 它有何特征 束缚态是否必为定态 定态是否必为束缚态 举例说明 7 简述量子力学中的态叠加原理 它反映了什么 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗 为什么 8 1 波函数 与 k i e是否描述同一态 2 下列波函数在什么情况下才是描述同一态 2211221121 21 ii ececcc 这里 21 c c是复常数 21 是实常数 9 量子力学为什么要用算符表示力学量 表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的 10 简述量子力学的五个基本假设 11 简并 简并度 12 简述测不准关系的主要内容 并写出时间t和能量E的测不准关系 13 量子力学中的守恒量是如何定义的 用式子表示 守恒量有什么性质 14 原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的 15 什么是全同性原理和泡利不相容原理 二者是什么关系 16 那些实验事实说明电子存在自旋 自旋有什么特征 17 自旋可在坐标空间中表示吗 它与轨道角动量性质上有何差异 18 自旋与轨道角动量的不同之处 19 什么是光谱的精细结构 产生精细结构的原因是什么 考虑精细结构后能级的简并度是多少 20 完全描述电子运动的旋量波函数为 2 2 r r sr z 准确叙述 2 2 r 及 2 3 2 rrd 分别表示什么样的物理意义 21 二电子体系中 总自旋 21 ssS 写出 z SS 2 的归一化本征态 即自旋单态与三重态 22 何谓正常塞曼效应 正常塞曼效应的本质是什么 33 何谓反常塞曼效应 对于反常塞曼效应 有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条 34 何谓斯塔克效应 35 给出一维谐振子升 降算符 aa 的对易