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河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子7-8 两个电子的自旋函数对于两个电子体系，若不计自旋轨道耦合，自旋变量和空间变量可分离。因电子是费米子，波函数应是反对称的，即下面讨论两个电子的对称化的自旋波函数。一、单体近似下两个电子的自旋波函数 体系的哈密顿中不含电子自旋之间的相互作用项（即不计耦合），两个电子的自旋函数是每个电子自旋函数之积，即， 此时自旋函数存在四种组合，即的共同本征态，即的本征态自旋方向的本征值00其中总自旋角动量平方算符，总自旋角动量在轴上的投影算符。说明：（1）、和是无耦合表象的基矢，但未对称化，可以把它们组成对称或反对称的形式，即当交换两个电子时，不变号，为对称自旋函数；改变符号，为反对称自旋函数。（2）由组成的四个相互独立的对称化的自旋波函数、彼此正交归一，组成完全系。它们是耦合表象的基矢。二、在有确定对称性的自旋波函数所表示的态中的本征值而是第一个（第二个）电子的自旋算符，只能作用在相应电子的自旋波函数上，且对单电子而言 有 于是同理可得 而的本征值为，的本征值为。其中为两个电子总自旋量子数；为总自旋磁量子数。于是可以列表如下：的共同本征函数的本征值的本征值1三重态（三重简并）11000000单态三、讨论由以上计算可知： 当总自旋量子数时，总自旋矢量在空间可以有三种取向，对应于总自旋磁量子数，相应的自旋态分别为、。在态中，两电子自旋平行，分量沿正方向（如图）；在态中，两电子自旋平行，分量沿负方向（如图）；在态中， ，两电子自旋分量相互反平行，但垂直于z轴的分量则相互平行（如图）。当总自旋量子数时，总自旋矢量在空间只有一种取向，对应于总自旋磁量子数，相应的自旋态为，所以在态中，两电子的自旋反平行，总自旋为零（如图）。以轴为对称轴作一锥面，高为（以为单位），斜高为，在锥面上画一旋进的矢量表示电子的自旋，锥底向上的，锥底向下的，这样表示有确定值，无确定值，反映了的对易关系。小 结一、单体近似下两个电子的自旋波函数二、自旋
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