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课时3 基本不等式的证明【课前自主探究】考纲链接（1）了解基本不等式及其证明方法；（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；（3）会用分析法、综合法、比较法证明一些简单的不等式（ 教材回归基础重现： 1不等式的基本性质：（1）（传递性） ；（2）（加法性质） ；（3）（同向不等式可加性） ；（4）（乘法性质） ；（5）（正数同向不等式可乘性） ；（6）（乘方性质） ；（7）（开方性质） 2 几个重要不等式：（1） ；（2） （当仅当a=b时取等号）；（3）如果a，b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）3证明不等式的基本方法：（1）比较法：作差比较， ；作商比较， ； （2）综合法： ；（3）分析法： 基础重现答案：1.（1）如果，那么（传递性）；（2）如果，那么（加法性质）；（3）如果，那么（同向不等式可加性）；（4）当时，；当时，（乘法性质）；（5）如果，那么（正数同向不等式可乘性）；（6）如果，那么（乘方性质）；（7）如果，那么（开方性质）2（1）；（2）（当仅当a=b时取等号）；（3）如果a，b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号） 3(1) 根据ab0ab，欲证ab只需证ab0；当b0时，ab1；(2) 从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式；(3) 从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径思维升华： 1某大商场，在国庆期间举行商品大酬宾销售活动，准备分两次降价，设计了三种实施方案：（A）第一次8折销售，第二次再7折销售；（B）第一次7折销售，第二次再8折销售；（C）第一次与第二次都折销售（1）试确定哪一种实施方案最受顾客欢迎？（2）从这里你能得出一个怎样的一般性的数学结论？2已知都是正数，给出下面两个命题：（1）如果积是定值，那么当时，和的有最小值；（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值这两个命题是否成立？怎样证明？从这里你能得到怎样的启发？思维升华答案：1（1）设商品的原价为元/件，则三种实施方案的销售物价分别是：（A）（元/件）；（B）（元/件）；（C）（元/件），故A和B两种实施方案受顾客欢迎（2）一般地，若令第一次打折销售，第二次打折销售，由上述研究我们可以得到不等式，（当且仅当时取等号），由于，故上不等式可以变形为（，当且仅当时取等号），这表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数此不等式称为基本不等式，它在高中数学中有着十分广泛的应用 2正确，可运用基本不等式证明如下：都是正数，（1）当积为定值时，有，即上式中，当时取等号，因此，当时，和有最小值（2）当积为定值时，有，即上式中，当时取等号，因此，当时，积有最大值从这里，我们可以认识到：基本不等式（当且仅当时取等号）可以用来解决某些具有和或积的结构的函数式的最值问题 基础自测1（2008陕西卷改编）“”是“对任意的正数，”的 条件答案：充分不必要条件2 (2008河北衡水中学第四次调考改编)若，则下列不等式： ； 中，正确的不等式有 个 答案：33（2010安徽卷文数） 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)； ； ； 答案：，解析：令，排除；由，命题正确；，命题正确；，命题正确4（2010全国卷1文数改编）设，则的大小关系是 答案：解析：a=2=，b=In2=，而，所以ab，c=，而，所以ca，综上cab5（20010无锡市辅仁高中模拟卷）已知且，那么下列各数：中，最大的一个是_答案：最大解析：，只要比较与的大小就可以了，最大【课堂师生共探】 经典例题题型一 用比较法证明不等式例1已知a，b，cR+，求证：a3+b3+c33abc分析：根据不等式的意义，要证明，只要证明就可以了，因此，可用作差比较的方法来证明不等式解：a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)a2+b2+c2-ab-bc-ca，a，b，cR+，a+b+c0(c-a)20，即a3+b3+c3-3abc0，a3+b3+c33abc点评：（1）运用作差比较法证明不等式，一般步骤是：一、作差；二变形；三、定号其中，“变形”是关键，常用的变形手段有配方、因式分解等，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式（2）作差比较法也是比较两个实数的大小的一种基本方法和常用的方法变式训练：设，求证：解析： ，因为，又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立故 题型二 用综合法证明不等式例2已知求证分析：要证明不等式，当然可以考虑比较法，通过作差变形判断符号来实现证明，但这样做，变形的过程运算量大，比较麻烦考虑到有，联想基本不等式，我们有下面十分简洁的证明方法解：，又，点评：（1）与两个实数的和或积有关的不等式的证明，考虑基本不等式的运用，往往可以收到化繁为简，事半功倍的效果（2）运用基本不等式证明不等式，要注意检查的条件是否具备了，如果不具备，应通过合理变形，使其具备这一条件后才能运用例如本题中，若将“已 知”变为“已知”，则结论为可证明如下：，得：，（3）从本题中，我们可以得到一个更一般的结论：“（当且仅当时取等号）”，这一结论在解题中可以直接加以运用变式训练：已知求证解析：由知不可能同为负数故都为正数，或异号，或中有一个为0当都为正实数时，由，和得当异号或中有一个为0时，一定成立综上知，当时，总有题型三 用分析法证明不等式例3 设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证： 分析：直接运用比较法或综合法来证明，显得不太方便，不妨从要证明的不等式入手，运用分析法来实现证明解：要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式显然成立原不等式成立点评：（1）从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立这种证明方法称为分析法（2）在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此变式训练：已知，求证：解析：这个不等式的证明方法很多，既可以用比较法，又可以用综合法，还可以用分析法证法1（比较法）左式-右式=，由条件不难得出差证法2（分析法）欲证原不等式成立，由于只需证，只需证，只需证，由已知条件，可得是显然成立的，故原不等式成立证法3（综合法）由，故；同理；两式相加得高考新题零距离1 （2010全国高考题）设，则a,b ,c的大小关系是 。答案：cab解析： a=2=， b=In2=，而，所以ab，c=，而，所以ca，综上cab2（2010安徽高考题）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)； ； ； ； 答案：，解析：令，排除；由，命题正确；，命题正确；，命题正确典型错误警示1忽视不等式等号成立条件，造成范围失真以向量不等式等号成立的条件为例，当向量且与方向相同时“+”不等式取等号； 当向量且与方向相反时“-”不等式取等号2忽视题设条件或隐含条件有些题设条件看似平淡，但在解题中就会显示出其隐蔽性，学生往往由于忽视了隐含条件，或对隐含条件的挖掘只浮于表面，而未能展示其真正的面目，从而在解题过程中误入陷阱3多元不等式的元认知障碍当不等式含有好几个元(变量)时，需将这些元分别虚拟定位为“常量”、“参元”、“变元”等若定位点不到位，解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序，从而形成元认知障碍典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：学以致用课时3 基本不等式的证明 【基础级】1已知三个互不相等的实数、满足：若不是最大时，则最小；若不是最小，则最大，则这三个实数的大小关系是答案：2设，都是实数，给出下列条件：；其中能推出“，中至少有一个数大于1”的条件是 （请你把正确的序号都填上） 答案：3下列不等式的证明过程正确的是 （1）若则；（2）若则；（3）若则；（4）若且则答案：（4）解析：（1）中，只有当才成立，而题设不具备这一条件，因此（1）是错误的；（2）中，时，不一定成立，例如，因此（2）是错误的；（3）中，则应有，因此（3）是错误的；只有（4）正确 4当时，下列不等式不正确的是（1）； （2）；（3）；（4）答案：（4）解析： ，成立，又是减函数，可得，（4）是错误的，其他都正确5已知且，那么中，最大的是_答案：解析：，只要比较与的大小就可以了，最大6若且则，三数从小到大的排列顺序为_ 答案：解析：且，又，得，而是增函数，7（2010年江苏卷12）设实数