26、指数方程和对数方程的讨论(二).doc

高三复习第27课：指数方程和对数方程的讨论（2）【教学目标】掌握含参数的指数、对数方程的解题方法【教学重点】掌握含参数的指数、对数方程的解题方法【教学难点】学会分类讨论、转化的数学思想【知识整理】指数方程与对数方程的类型及其解法类型指数方程的解法对数方程的解法最简型同底型换元型【例题解析】【属性】高三，函数，指数和对数方程，填空题，易，逻辑能力【题目】函数在上最大值比最小值大，则【解答】解：【属性】高三，函数，指数和对数方程，填空题，易，逻辑能力【题目】函数的最大值比最小值大，则【解答】解： 【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】解指数方程【解答】令，得 【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】解对数方程【解答】令，得【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力 【题目】解对数方程【解答】得= 【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，分析问题解决问题能力【题目】已知函数，求证：方程没有负数根【解答】证明：假设是方程的负数根，且，则， 即， 当时,而由知. 式不成立；当时，而.式不成立综上所述，方程没有负数根【课堂反馈】【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】解指数方程【解答】令，得【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】解对数方程【解答】令，得 【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，探究能力【题目】若关于x的方程25-|x+1|45-|x+1|m=0有实根，求m的取值范围.【解答】解法一：设y=5|x+1|，则0y1，问题转化为方程y24ym=0在（0，1内有实根.设f（y）=y24ym，其对称轴y=2，f（0）0且f（1）0，得3m0.解法二：m=y24y，其中y=5|x+1|（0，1，m=（y2）243，0）.【课堂小结】1、 指对数方程的解法2、含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围.【作业布置】【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，探究能力【题目】若关于x的方程9-|x-2|43-|x-2|a=0有实根，求a的取值范围.【解答】解法一：设y=3-|x-2|，则0y1，问题转化为方程y24ya=0在（0，1内有实根.设f（y）=y24ya，其对称轴y=2，f（0）0且f（1）0，得3a0.解法二：a=y24y，其中y=3-|x-2|（0，1，a=（y2）243，0）.【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，难，分析问题解决问题能力【题目】为何值时，方程有两解？一解？无解？【解答】令，则原方程化为，进一步整理得的交点情况即为解的情况先求得由图像知：时 两解时 一解时 无解【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，逻辑能力【题目】若关于的方程有实数解，求实数的范围。【解答】方程整理得考虑图像有交点。由图像知：时 有解【属性】高三，函数，指数和对数方程，填空题，中，计算能力【题目】方程xlgxx2=1000的解集为_。【解答】解：原方程变形为xlgx+2=1000，取对数得lgxlgx+2=3，即（lgx）2+2lgx-3=0，解得lgx=1或lgx=-3，于是x=10或x=。即应填。点拨：af(x)=ag(x)型方程可变形为f(x)=g(x)；af(x)=bg(x)型方程可变形为f(x)lga=g(x)lgb；af(x)=b型方程可变形为f(x)=logab。【属性】高三，函数，指数方程，解答题，中，计算能力【题目】求方程的解集【解答】解：对原方程变形为，设y=，原方程可化为：y2-8y+1=0，解得y=4+或y=4-。亦即，或，于是x=2或x=-2。即应填。点拨：对于f(ax)=0型方程，只须设y=ax，原方程就变形为f(y)=0。【属性】高三，函数，指数方程，解答题，中，计算能力【题目】方程log3(3x-1)log3(3x-1-)=2的解集为_。【解答】解：原方程变形为log3(3x-1)log3=2，即log3(3x-1)2-log3(3x-1)-2=0，设y=log3(3x-1)，原方程可化为：y2-y-2=0，解得y=-1或y=2，亦即log3(3x-1)=-1，或log3(3x-1)=2。于是3x=，或3x=10。解得x=log34-1或x=log310。即应填。点拨：把一个代数式当作一个整体进行换元，以达到减少运算量的目的。【属性】高三，函数，指数方程，解答题，中，分析问题解决问题能力【题目】方程lgx=sinx的根的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】解：设y1=lgx，y2=sinx，在同一坐标系作出它们的图象；这两条曲线只有3个交点，易知方程lgx=sinx的根的个数是3个。即应选C。【属性】高三，函数，指数方程，选择题，中能力，逻辑【题目】设方程lgx=10-x的根是，方程10x=10-x的根是，则+的值是（ ）A. 100B. 10C. 5D. 4【解答】设y1=lgx，y2=10x，y3=10-x在同一坐标系作出它们的图象：于是=，由于函数设y1=lgx与y2=10x关于直线y=x对称，因而。即应选B。点拨：利用数形结合的方法来解决代数问题，具有直观形象，生动新颖的特点，此法在高中数学中具有广泛的应用。图2【属性】高三，函数，指数方程，解答题，中，计算能力【题目】已知关于x的方程2a2x-27ax-1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根。【解答】解：x=2是关于x的方程2a2x-27ax-1+3=0的一个根，2a27a+3=0，解得a=或a=3（1）当a=时，对原方程变形为，于是解得x=2或x=1log23。（2）当a=3时，对原方程变形为232(x-1)143x-1+3=0，于是3x-1=或3x-1=3，解得x=1-log32或x=2。综上所述，a的值为或3。当a=时，方程的另一根是x=1log23；当a=3时，方程的另一根是x=1log23。【属性】高三，函数，指数方程，解答题，中，计算能力探究能力【题目】设对数方程lg(ax)=2lg(x-1)，讨论当a在什么范围内取值时，该方程有解，并求出它的解。【解答】解：ax0且x1，当a0，x1时，原方程可化为ax=(x-1)2。变换主元，求出原方程有解的条件，即求当x1时，a=的值域。a=0（x1）。当a0时，原方程有解，解方程x2-(2+a)x+1=0，得。而，。因而当a0时，原方程有解为。点拨：主元与非主元是相对的，是可以互相转变的。在解题过程中，可根据需要，进行不断的调整。【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，分析问题解决问题能力【题目】关于的方程有实数解，求实数的范围。【解答】令方程整理得 转化得 所以时原方程有实数解。【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，难，探究能力【题目】设，。（1）将表示为的函数，并求出的定义域；（2）若关于的方程有实数根，求的取值范围。【解答】（1）令，则，因为 ，所以（2）因为 在有实根。 令则原方程转化为，在有实根参变分离得因为 （考虑单调性）所以。【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，计算探究能力【题目】 解关于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0.【解答】 化原方程为： a，a2+6a-3+6-30，故由(x-a2)=a2+6a-3得：x-a=即x=a (a).【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，计算探究能力【题目】 解关于x的方程：a24x+(2a-1)2x+1=0.【解答】 令t=2x，则关于t的一元方程至少有一个正根，a是否为0，决定了方程的“次数”.当a=0时，2x=1，x=0； 当a0时，=(2a-1)2-4a2=1-4a；若0则a (a0).且关于t的一元二次方程a2t2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根，而两根之积为0，故两根之和为正数，即0a，故a (a0)时，2x=，故a (a0)时，x=log2为原方程之根.归纳 ：方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围. 【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，计算探究能力【题目】当a为何值时，关于x的方程4x-(2a+1)2x+a2+2=0的根一个比另一个大1.【解答】 令y=2