导数的概念及导数的几何意义.doc

教案课型：讲授章节 第二章 导数与微分 第一节 导数及其运算 1导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数 2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程 3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义 2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义 2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别 2、引入导数概念 3、给出导数定义 （1）函数在某点导数的定义 （2）函数在某区间导数的定义 （3）单侧导数的定义 4、求导数举例 5、导数的几何意义 6、求切线和法线方程举例 7、可导与连续的关系 8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性 9、课堂小结 10、布置作业1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数: s=f(t), 求动点在时刻t0的速度. 考虑比值 , 这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t00, 取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 , 这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: . 令Dx=x-x0, 则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), xx0相当于Dx 0, 于是成为 或. 导数的定义 设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义, 当自变量x在x0处取得增量Dx时, 相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，如果当Dx0时，的极限存在, 则称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记作, 即 , 也可记作, 或. 函数f(x)在点x0处有导数（即极限存在），有时也说成f(x)在点x0可导.如果极限不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于Dx0时,也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 , . 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果函数y=f(x)在开区间（a，b）内的每一点都可导, 就称函数y=f(x)在开区间（a，b）内可导, 这时, 对于开区间（a，b）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数. 这样就构成了一个以（a，b）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数, 简称导数，记作, , 或. 即=或 f (x0)与f (x)之间的关系: 函数f(x)在点x0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点x=x0处的函数值, 即. 导函数f (x)简称导数, 而f (x0)是f(x)在x0处的导数或导数f (x)在x0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f(x)在的左导数:=; f(x)在的右导数:=. 左导数和右导数统称为单侧导数. 导数与左右导数的关系: 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f -(x0) 和右导数f +(x0)都存在且相等. 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f +(a) 和左导数f -(b)都存在, 就说f(x)有闭区间a, b上可导. .3、求导数举例 例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数. 解: . 即 (C ) =0. 例2. 求的导数. 解: . 例3. 求的导数. 解: . 例2求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数. 解: f (a)(x n-1+ax n-2+ +a n-1)=na n-1. 把以上结果中的a 换成x 得 f (x)=nx n-1, 即 (x n)=nx n-1. (C)=0, , , . 更一般地, 有(x m)=mx m-1 , 其中m为常数. 例3求函数f(x)=sin x 的导数. 解: f (x) . 即 (sin x)=cos x . 用类似的方法, 可求得 (cos x )=-sin x . 例4求函数f(x)= a x(a0, a 1) 的导数. 解: f (x) . 特别地有(e x )=e x . 例5求函数f(x)=log a x (a0, a 1) 的导数. 解: . 解: . 即 . : 特殊地 . , . 例6求函数f(x)=|x|在x=0处的导数. 解: , , 因为f -(0) f +(0), 所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导. 二、导数的几何意义设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT, 直线就称为曲线有点处的切线. 设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f(x0)处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x, y), 于是割线MN的斜率为 , 其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, xx0. 如果当x 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0)且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率, 即 f (x 0)=tan a , 其中a是切线的倾角. 如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处具有垂直于x轴的切线x=x0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0). 过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f (x0)0, 法线的斜率为, 从而法线方程为 . 例8. 求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: , 所求切线及法线的斜率分别为 , . 所求切线方程为, 即4x+y-4=0. 所求法线方程为, 即2x-8y+15=0. 例9 求曲线的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x0, 则切线的斜率为 . 于是所求切线的方程可设为 . 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 , 解之得x0=4. 于是所求切线的方程为 , 即3x-y-4=0. 三、函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数y=