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厦门大学高等数学课程期中试卷试卷类型：（理工类A卷） 考试日期 2011.11.27 高等数学A类教学组 1求下列函数的极限：（每小题4分，共16分） （1） （2） （3） （4）解：（1） （2） （3） （4）2求下列数列的极限：（每小题4分，共8分） （1） （2）解：（1）， （2）法一、由拉格朗日定理，知，使得， 法二、3（10分）设数列满足，（1）试证明此数列极限存在，并求出；（2）试求。（1）证明：由归纳假设知，又由单调有界准则可知此数列极限存在；令则由，得故；（2）解：。4（10分）求函数的间断点，并判断其类型。解：其间断点为。和都不存在且不为，是振荡间断点；，是跳跃间断点；，是可去间断点；，是无穷间断点。5（6分）求函数的导数和微分。解：；6（10分）已知，试求。解： 7（10分）已知在处可导，试求出和。解：由在处可导，知 以及 可得 以及 故以及，8（10分）设函数的极坐标式为，求及。 解：，。9（10分）设函数和都是二阶可导，并且为的反函数，已知，求及。解：由，两边对x求导，可得 （1）把x=1代入（1）式，得；再次对（1）式两边x求导，得 （2）把x=1代入（2）式，得。10（10分）以下两题任选其一（仅做一题）（1）设在上连续，在内可导，证明：至少存在，使得。（2）设在上连续，在内可导，证明：至少存在，使得。解：（1），由介值定理，知，使得。 令，则在上连续，在内可导，且， 由罗尔定理，存在，使得即。（2）令，则在上连续，在内可导，且，由罗尔定理，存在，使得即。附加题 （10分）依次求解下列问题（1） 证明方程有唯一的实根；（2） 证明存在并求其值A；（3） 证明当时，与是同阶无穷小。证：（1）令，则 ，由连续函数的零点定理知，对任意给定的自然数n ，均存在，使得，又因为 ，所以函数关于x严格单调增加，故函数有唯一的实根，即对任意给定的自然数n，方程有唯一的实根。（2）由于 ，即 ，
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