卡尔曼分解、互质分解下讨论最小实现以及零极点相消.docx

目录一卡尔曼分解下讨论零极点相消与最小实现11.1卡尔曼分解概述11.2卡尔曼分解的原理21.3 卡尔曼分解与最小实现以及互质分解3二零极点相消与最小实现的关系42.1 概述42.2 单变量系统的能控性、能观性与传递函数零极点相消之间的关系。42.3 最小实现的判据6三利用互质分解83.1 互质分解与卡尔曼分解83.2 matlab上的验证103.3 最小实现与互质分解以及卡尔曼分解之间的关系11摘要：本文主要在卡尔曼分解以及互质分解下讨论了最小实现以及零极点相消的问题。讨论了非互质的传递函数会使系统实现时出现不能控或者不能观的部分，从而引出了卡尔曼分解，卡尔曼分解后的能控能观部分的实现为最小实现，系统维数降低，说明出现了零极点相消的情况。系统的维数等于互质分解后传递函数的维数的实现时最小实现，此时的实现也是能控能观的实现。但如果传递函数中消掉的是不稳定的零极点，则不稳定的极点会导致不稳定的状态，出入输出稳定与系统渐进稳定之间是有很大差别的。一 卡尔曼分解下讨论零极点相消与最小实现1.1 卡尔曼分解概述卡尔曼分解，即能控能观性分解，在已知系统状态方程不能控或者不能观的情况下，对其做矩阵等价变换，使其状态变量划分为能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四个部分。状态方程能够分解为不能控或者不能观部分说明了两个问题：1. 对一个实际系统，并不是所有的状态都能控，也不是说所有的初始状态都能够通过系统输出反映出来，表征输入输出关系的传递函数也仅反映能控能观部分的关系，从而区分输入输出稳定以及系统渐进稳定；2. 卡尔曼分解说明了系统实现时的维数是大于最小实现时的维数的（参见第二章最小实现的内容），因此在表示系统传递函数时必然存在零极点相消的现象，或者说零极点相消的现象使得系统实现时存在不能控或者不能观的部分。卡尔曼分解也提醒我们在系统实现时要注意不稳定零极点相消的问题，因为相消的极点如果为不稳定极点，则说明存在不能控或不能观的状态，而且这个状态是处于发散状态的。1.2 卡尔曼分解的原理能控性分解跟能观性分解是具有对偶性的，因此这里先讲能控性的分解，要说明能控性分解的原理，这里先证明一个小结论。结论1：对于能控性矩阵如果把矩阵展开，即，那么矩阵可以表示为：那么结论是：如果与前面（左边）的向量线性相关，则同样与前面的向量线性相关。要证明这个结论非常简单，因为表示以矩阵每一列作为一个向量然后进行线性叠加，而，同样是矩阵每一列的线性叠加，因此如果与一组向量线性相关，则必然与同样一组向量线性相关。能控性分解：如果能控性矩阵不满足行满秩，设的秩为，则可以构造等价变换矩阵其中取自矩阵的任意个线性独立列，其余的任意取，只要保证矩阵非奇异就可以。则通过等价变换，状态方程可以转化为：（式子1-1）利用上面的结论1，可以简单证明上面的式子。因为，也就是说第i列是在基下面的表示，又因为是与线性相关的，因此前列为，又因为对于基是线性独立的，因此的列为的形式。而，显然，因为B与线性相关，因此的形式为的形式，至此原式得证。能观性分解以及能控能观分解：由于能控性跟能观性的对偶性质，能观性也可以参照能控的做法进行分解，也可以得到相对应的分解形式： （式子1-2）如果对状态变量先进性能控性分解，再进行能观性分解，也就可以得到下面的状态方程：（式子1-3）1.3 卡尔曼分解与最小实现以及互质分解再对状态方程进行能控分解时，我们还可以得到另外一个结论：原来状态方程的传递函数与能控性分解后的能控性部分得到的传递函数相等。即：的传递函数与原状态方程相同。最直接的证明是直接对式子1-1求传递函数，然后分块计算每一部分的值以及最后得到的传递函数，由于式子1-1为上三角分块矩阵，因此可以利用上三角矩阵的求逆公式来求，在此不再展开。卡尔曼分解后得到能控能观部分的最小实现的结果说明了一个问题，原来的系统如果按照最小实现来构建的话，则系统的维数必然会降低，而系统的维数降低又说明了原来的传递函数中存在零极点相消的现象。反之亦然，按照第三章传递函数互质与卡尔曼分解的讨论中可以看出，传递函数如果存在公共因子，那么在传递函数实现的时候，必然会存在不能控或者不能观的部分，因此可以按照上面的思路，构建非奇异变换矩阵来实现卡尔曼分解。因此卡尔曼分解、传递函数的互质性以及最小实现之前是互相联系，可以互相推导的。二 零极点相消与最小实现的关系2.1 概述每个线性时不变系统都可以用输入-输出函数：ys=Gsu(s)来描述，且这系统是集中的，用状态方程描述为： xt=Axt+But （2-1）yt=Cxt+Dut如果状态方程是已知的，那么传递函数阵可以求出：Gs=C(sI-A)-1B+D。这计算出来的传递函数阵是唯一的。相反，通过一个给定的传递函数阵求其相对应的状态空间方程的问题，称为实现问题。如果存在有限维状态方程(2-1)或者说A，B，C，D使的Gs=C(sI-A)-1B+D,则称传递函数阵G(s)是可实现的。并且A，B，C，D称为G(s)的一个实现。发散的线性时不变系统可以用传递函数阵描述，但是不能用有限维状态方程描述，所以不是所有的G(s)都是可以实现的，如果G(s)是可以实现的，那么它有无线多种实现的方法，不一定要有相同的维数，所以实现问题相当复杂，其中我们称最小维的实现为最小实现。2.2 单变量系统的能控性、能观性与传递函数零极点相消之间的关系。（2-1）对应的传递函数为：gs=c(sI-A)-1b=c.adj(sI-A)bdet(sI-A)=N(s)D(s) (2-2)其中，Ns=c.adjsI-Ab,Ds=detsI-A定理：动态方程2-1能控能观的充分必要条件是gs无零极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因子。证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0既使N(s0)=0,又使D(s0)=0:Ds0=detsI-A=0,Ns0=c.adjsI-Ab=0利用恒等式sI-AsI-A-1=sI-AadjsI-AdetsI-A=I故DsI=sI-Aadj(sI-A)将s=s0代入，可得 Aadjs0I-A=s0adj(s0I-A) (1)将上式前乘c、后乘b后即有 c.AadjsI-Ab=s0c.adj(s0I-A)b=s0Ns0=0 (2)式(1)前乘cA、后乘b，并考虑到(2)的结果后即有cA2adjs0I-Ab=s0c.Aadjs0I-Ab=s02Ns0=0,以此类推可得N(s)=c.adjs0I-Ab=0c.A adjs0I-Ab=0c.A2 adjs0I-Ab=0 c.An-1 adjs0I-Ab=0这组式子又可写成ccAcAn-1 adjs0I-Ab=0因为假设动态方程能观的。上式中前面的能观矩阵是可逆矩阵，故adjs0I-Ab=0所以我们有adjs0I-Ab=k=0n-1pk(s0)AkbbAbAn-1bp0(s0)p1(s0)pn-1(s0)=0但因pn-1(s)1故detbAbAn-1b=0,这与系统可控的假设相矛盾。矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。再证充分性：即若N(s)和D(s)无相同的因子，要证明（2-1）是能控能观的。用反证法。设该系统不是既能控又能观的。不妨设系统是不能控的，这是可按能控性分解，并且可知这时传递函数gs=c(sI-A)-1b=c.adj(sI-A)bdet(sI-A)=N(s)D(s)=c1(sI-A1)-1b1=c1.adj(sI-A1)b1det(sI-A1)=N1(s)D1(s)在上面的式子中,D(s)是n次多项式，而D1(s)是n1次多项式，由于系统不可控，所以n1n,而N(s)和D(s)无相同因子可消去，显然N(s)D(s)N1(s)D1(s)这和两者应相等矛盾。同样可以证明状态方程也是不能观的。2.3 最小实现的判据（A，B，C）为严格真传递函数矩阵G(s)的一个n维实现，则其为最小实现的充分必要条件是(A,B)能控且(A,C)能观测。证明：先证必要性，即已知(A,B,C)为最小实现，欲证(A,B)能控和(A,C)能观测。采用反证法，反设(A,B,C)不能控或不能观测，则可以通过结构分解找到能控且能观测的(A1,B1,C1)，使C1(sI-A1)-1B1=G(s),且有 dimA1dimA (3)表明(A,B,C)不是G(s)的最小实现，从而与已知条件矛盾，故反设不成立，(A,B,C)必为能控且能观测的。必要性得证。再证充分性，即已知(A,B,C)能控且能观，欲证(A,B,C)为最小实现。也采用反证法，反设（A，B，C）能控且能观测，但不是最小实现，这时必存在另一个最小实现(A,B,C) 使 dimAdimA,与反设相矛盾，故反设不成立，即不存在比(A,B,C)维数更小的实现。充分性得证.所以传递函数阵无零极点相消，则实现是完全能控的且完全能观的，而这样的系统被称为是最小实现。例如，Gs=s2-14(s3-1)。它的分子分母有一个公因子s-1,故其存在零极点相消，它的能控性实现为x=Ax+bu=00-1100010x+100uy=cx=140-14xAb=00-1100010100=010,A2b=A*Ab=00-1100010010=001所以，rank(b,Ab, A2b)=3,满秩。该实现为完全能控的。cA=140-1400-1100010=0-14-14,cA2=cA*A=0-14-1400-1100010=-14-140rankccAcA2=23,所以该实现为不能观的，综上所述系统不是最小实现。而对于系统G1s=(s+1)4(s2+s+1),它的能控性实现为： x=Ax+bu=1110x+10uy=cx=1414Ab=111010=11,cA=14141110=1214rank(b,Ab)=2,满秩，该实现为完全能控的，rankccA=2,满秩，该实现也是完全能观 的。故该实现为最小实现。三 利用互质分解3.1 互质分解与卡尔曼分解先用一例子来说明，互质分式传递函数与卡尔曼分解之间的关系设一系统I的传递函数为： 式A-1有Y(s)=G(s)*U(s)其中Y(s)为系统输出信号的拉氏变换，U(s)为系统输入信号的拉氏变换令D(s)V(s)=U(s)（式A-2）定义变量v(t)为V(s)的反拉氏变换，有Y(s)=N(s)V(s) 式A-3设状态变量为： 式A-4 将式A-4代入A-2得sX1(s)=-1X1(s)-2X2(s)-3X3(s)-4X4(s)+U(s)对其进行拉式反变换有x1(t)=-1-2-3-4x(t)+u(t)同理，将式A-4代入A-3得y(t)=4 3 2 1x(t)综合上述各式可得 式A-5现在开始讨论式A-1中N(s)与D(s)是否互质与A-5的能控能观性的关系由式A-5可得该系统的能控矩阵为：Det(C)=1，很明显系统I传递函数的该实现是一定能控的。如果A-1中N(s)与D(s)不互质的话，则必然存在一非零常数r使得N(r)=1r3+2r2+3r+4=0 D(r)=r4+1r3+2r2+3r+4=0 A-6令为非零向量，由A-6可知N(r)=cz=0，另外故有其中O为能观矩阵，很明显O不满秩，因此当N(s)与D(s)不互质时A-5必然不能观。假设N(s)与D(s)互质时，如果系统不能观则存在A的一特征值r和非零向量z使得由此可得N(r)=1r3+2r2+3r+4=0应此可得r为N(s)=0的一个根，又因为r为A的特征根即为特征方程D(s)=0的一根，从而N(s)与D(s)有公因子s-r，故而N(s)与D(s)不互质。与假设矛盾。综上所述，A-5当且仅当A-1互质的情况下才能控能观。对A-1取转置有此实现必定能观，由对偶律与上述描述可知，该实现当且仅当A-1为互质分式时才能控。推广至一般情况可以得出结论：对于SISO系统而言，如果系统的状态空间表达式能控且能观，则必定互质，即对于卡尔曼分解得出来的能控能观状态空间表达式其传递函数必定互质。3.2 matlab上的验证下面通过对A-1与其能控能观设置不同参数用matlab来对上述讨论进行验证。在matlab的command窗口中输入一下语句syms s;D=(s + 1)*(s + 3)*(s + 5)*(s + 6);N=(s + 2)*(s + 5)*(s + 6);expand(D)expand(N)可得D=s4 + 15*s3 + 77*s2 + 153*s + 90N=s3 + 13*s2 + 52*s + 60为一对有公因子的两多项式，利用上述参数设置能控型参数输入A=-15 -77 -153 -90;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;c=1 13 52 60;O=obsv(A,c);rank(O)可知O的秩为2 系统不能观，可知传递函数不互质时，系统的能控标准实现不能观。利用上述参数设置能观型参数，输入A=-15 1 0 0;-77 0 1 0;-153 0 0 1;-90 0 0 0;b=1;13;52;60;C=Ctrb(A,b);rank(C)可知C的秩为2，系统不能控再在maltab的command中输入syms s;D=(s + 1)*(s + 3)*(s + 7)*(s + 8);N=(s + 2)*(s + 5)*(s + 6);expand(D)expand(N)可得D=s4 + 19*s3 + 119*s2 + 269*s