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金融经济学导论作业 三 参考答案 1 以下几种情况 证券组合前沿分别是什么样子的 请画图说明 以下几种情况 证券组合前沿分别是什么样子的 请画图说明 1 投资者的无风险借款利率投资者的无风险借款利率低低于无风险贷款利率于无风险贷款利率 2 投资者的借款是不允许的 即不允许卖空投资者的借款是不允许的 即不允许卖空无风险资产和风险资产无风险资产和风险资产 3 投资者可以借入资金 但不能卖空风险资产投资者可以借入资金 但不能卖空风险资产 答答 1 当投资者的无风险借贷利率不相等时 证券组合前沿如下图所示 其 中 1 f r为借款利率 2 f r为贷款利率 由于投资者不能以 1 f r融资 因此 A 点以上部 分不能实现 图中用虚线表示 同理 由于投资者不能以 2 f r买入无风险资产 因此 B 点以下部分也不能实现 所以整个证券组合前沿为图中红色实线部分 2 当投资者不能借款时 证券组合前沿是 f r到切点 M 之间的线段 加上切点 右端曲线 蓝色部分 注 很多同学都少了切点后蓝色曲线部分 3 当投资者不能卖空风险资产时 证券组合前沿是一条射线 如下图所示 2 假设有假设有 n 种资产 每种资产收益种资产 每种资产收益的方差为的方差为 2 1 不同资产收益的协方差为 不同资产收益的协方差为 2 则则从理论上讲 一个资产组合的方差可以分散到什么程度 实际上我们能否从理论上讲 一个资产组合的方差可以分散到什么程度 实际上我们能否 做到这一点 做到这一点 答 资产组合的方差计算公式为 22 pijijiiijij ijiij Var r 假设有 n 种资产 每种资产收益的方差为 2 1 不同资产收益的协方差为 2 当 在每种资产上投资相同时 即 1 1 p n 有 22 122 22 1111 lim lim limlim piij xxxx iiij n Var r nnnn 这说明当资产增加到足够数目时 单个证券的风险可以完全被分散 资产组合只 剩下系统风险 但是 在实际的操作中很难达到完全分散个体风险的程度 主要有以下原因 1 随着资产种类的增加 信息的搜集和处理成本迅速上升 当资产种类为 n 时 协方差矩阵 V 的规模为nn 确定该矩阵的工作量随着资产种类 的增加而迅速上升 同时求解协方差矩阵列逆的运算量也会以超过 2 O n的速度增加 这些都使得对于大的资产组合的管理成本十分巨大 2 交易成本过大 由于实际中每笔交易通常都有最少交易量存在 即现实 中资产并不是无限可分的 因此当资产数量过多时 调整组合的成本也 会变大 3 随着资产种类上升 分散风险的边际收效下降很快 从上面的特例可以 看出 可分散风险是以 1 O n 减少的 因此在资产种类较多时 继续增加 资产种类能够分散掉的风险是很少的 总之 过多的资产种类将会使得成本巨大而收益很小 因此现实中不能达到完全 分散个体风险的程度 注 本题有部分同学未结合题意 求出极限条件下的组合方差 另外请注意对 于为何实际中无法实现完全分散的原因解释 3 设一种风险证券在期末的随机支付为设一种风险证券在期末的随机支付为y y S为它在时间为它在时间 0 的均衡价格 假设的均衡价格 假设 CAPM 成立 该证券的成立 该证券的 Beta 值为值为 ym 证明 证明确定等价定价公式的成立确定等价定价公式的成立 f ym fmymf y r yyE rrEr yE S 1 1 其中其中 c o v m m ym m fm ry ry r rrE 证明 由 CAPM 模型可得 yfymmf E rrE rr 1 由收益的定义可得 y y y yS r S 两边取期望得 1 y y E y E r S 2 1 yy E yE rS 3 联立 1 式与 2 式得 1 y fymmf E y S rE rr 4 至此 等价定价公式前半部分得证 将等价定价公式右端按照所给条件展开得到 2 cov cov 111 mf mm mf ym mmm fff E rr y ry r E yyE yE rr E yy ryrr rrr 5 将 5 式中的协方差按定义展开化简 cov 1 1 cov mmm yyyymm yyymm yym y rEyE yrE r ErSE rSrE r S ErErrE r Srr 6 又因为 2 cov ym ym m rr r 则将 6 式结果代入 5 式可得 1 111 ymyymmfyyyf y fff E yyE ySE rrE ySSE rr S rrr 至此 等价定价公式得证 4 已知短期国库券 可认为是无风险的 的收益率为已知短期国库券 可认为是无风险的 的收益率为 5 假定一个贝塔值为 假定一个贝塔值为 0 7 的证券组合的均衡期望收益率为的证券组合的均衡期望收益率为 8 5 根据资本资产定价模型 根据资本资产定价模型 1 市场证券组合的期望收益率为多少 市场证券组合的期望收益率为多少 2 如果某股票的当前价格为 如果某股票的当前价格为 40 元 将来的股票价格有两种可能 其中为元 将来的股票价格有两种可能 其中为 41 5 元的可能性为元的可能性为 0 6 为 为 39 元的可能性为元的可能性为 0 4 股票的贝塔值为 股票的贝塔值为 0 5 在股票 在股票 投资期内预计派发的红利为投资期内预计派发的红利为 1 5 美元 如果你是基金经理 你会不会买入这种股美元 如果你是基金经理 你会不会买入这种股 票 说明你这样操作的原因 票 说明你这样操作的原因 3 如果某股票将来的期望价格为 如果某股票将来的期望价格为 12 18 元 将来价格和市场证券组合收益元 将来价格和市场证券组合收益 率之间协方差为率之间协方差为 0 24 市场证券组合收益率的标准差为 市场证券组合收益率的标准差为 0 1 试问股票的当前价 试问股票的当前价 格为多少时 你才会购买这支股票 格为多少时 你才会购买这支股票 答 1 由 CAPM 可得 yfmf rrrr 根据题目条件 5 0 58 5 fy rr 可以解出 10 m r 2 该股票的预期收益率为 1 541 560 3940 15 40 y r 而由 CAPM 模型 该股票均衡收益率应该为 5 0 5 10 5 2 5 y r 因此该股价格被低估 应该买入 另一方面 由于该股具有和无风险资产相同 的预期收益率 同时 其和市场反向变动的特性比无风险资产更有利于减少资产 组合的风险 因此应该买入 3 由第 3 题结论可得 2 cov 0 24 12 18 10 5 0 01 10 46 115 m mf m y f y r E yE rr r S r 因此 当股票价格低于 10 46 元时 才应该购买该股票 注 本题有些同学错用cov 0 24 m y r 来求股票的Beta 需仔细理解定义 5 假设均值假设均值 方差可行集仅仅由方差可行集仅仅由 A B 两种风险资产构成 它们的方差两种风险资产构成 它们的方差 协方协方 差矩阵为差矩阵为 0 00810 00 0025 证券 证券 A 的期望回报率为的期望回报率为 30 证券 证券 B 的期的期 望回报率为望回报率为 20 回答如下问题 回答如下问题 1 假设投资者甲选择的 假设投资者甲选择的 市场证券组合市场证券组合 由由 75 的的 A 和和 25 的的 B 组成 投组成 投 资者乙选择的资者乙选择的 市场证券组合市场证券组合 由由 50 的的 A 和和 50 的的 B 组成 求每个投资者计算组成 求每个投资者计算 的关于的关于 A 的的 Beta 值 值 2 给定你对 给定你对 1 的回答 下面哪一个论述是正确的 的回答 下面哪一个论述是正确的 请从请从 Beta 值角度解值角度解 释原因 释原因 I 投资者甲将比乙需要一个更高的投资者甲将比乙需要一个更高的 A 的期望回报率的期望回报率 II 两者都需要相同的两者都需要相同的 A 的期望回报率的期望回报率 III 投资者乙将比甲需要一个更高的投资者乙将比甲需要一个更高的 A 的期望回报率的期望回报率 3 计算两个投资者的证券市 计算两个投资者的证券市场线方程场线方程和资本市场线方程 并画图表示 和资本市场线方程 并画图表示 答 1 投资者甲对 A 的 Beta 值 75 30 25 20 27 5 var 75 75 0 008125 25 0 00250 0047 cov cov 75 25 0 750 0081 1 29 var var 0 0047 m r mA Am AAB A mm E rr rr rrr rr 甲 甲 甲 甲 甲甲 投资者乙对 A 的 Beta 值 50 30 50 20 25 var 50 50 0 008150 50 0 00250 00265 cov cov 50 50 0 500 0081 1 53 var var 0 00265 m r mA Am AAB A mm E rr rr rrr rr 乙 乙 乙 甲 乙乙 注意理解Beta的定义 2 说法 II 正确 Beta 值度量了某种资产与市场组合的风险相关度 一般来说 Beta 值越 大 则该资产相对于市场组合的风险越高 因此相对于市场组合的收益应越 大 由 1 中结果可知 甲的市场组合收益率为 27 5 乙的市场组合收益 率为 25 由于二者的市场组合收益不同 对应的单位风险溢价也可能不同 因此不能仅通过比较 Beta 得出对 A 期望收益率的高低 事实上 由于可行集 只由资产 A 和 B 构成 因此其市场定价即为甲乙二人投资者对 A 的期望回 报 即 30 因此两名投资者对资产 A 的期望回报相等 注 这里有一些同学认为III正确 未考虑到用Beta进行比较的前提条件 3 由前两问可知 r 27 5 r 25 1 291 53 r r 30 mmAAAA EEEE 甲乙甲乙甲乙 由 CAPM 模型 解出甲乙两名投资者的无风险利率 30 1 29 27 5 18 88 30 1 53 25 15 57 fff fff rrr rrr 甲甲甲 乙乙乙 因此 甲的证券市场线为 18 88 27 5 18 88 0 18880 0862 ii