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第三节 子环与同态基本概念：子环的概念、同态、同构重点、难点: 子环的概念及判别准则、同态与同构的概念及一些基本性质.一、 子环一基本概念定义3.3.1设R是环，S是R的一个非空子集若S对于R的代数运算来说作成一个环，则称S是R的一个子环，也称R是S的一个扩环，记做类似的，可以定义子整环，子除环，子域的概念例如，注1 任意环R都至少有两个子环：0和R，称之为R的平凡子环注2 设且，则称S是R的一个真子环注3 易知，子环的交仍为子环二 判别准则设S是环R的一个非空子集，则S对于R的运算一定满足结合律于是有定理3.3.1（1）设R是环，S是R的一个非空子集一个子集，则(2) 设R是除环，S是R的一个非空子集一个子集，则S是R的子除环例1假设R是环，记集合（同每一个元交换的元之集），称为环R的中心，则证根据上面定理可以直接验证例2 求模12的剩余类环的所有子环？解由于的加法群是一个循环群，故剩余类环的子环关于加法是（，）的子循环群，共有下面6个：；经检验，它们都是的子环，从而有上面的6个子环附注：设，有下面一些事实：1. 在交换性上(1)若R是交换环，则S也是交换环； (2)若S是交换环，则R未必是交换环2. 在有无零因子上(1)若R无零因子，则S也是无零因子； (2)若S无零因子，则R未必无零因子3. 在有无单位元上(1)若R有单位元，则S未必有单位元； (2)若S有单位元，则R未必有单位元二、 同态一基本概念定义3.3.2设R和R是环，为映射若f保持运算，即对任意有则称f是环R到R的一个同态同样有单同态、满同态、同构的概念和群中的情形想类似，我们有定理3.3.2设为环同态(1) 若0是R中的零元，则f(0)是R中的零元；(2) ；(3) 若，则；(4) 若，则二满同态设为环的满同态，则环R与R在很多性质上有一定的联系，但并不完全一致例如有如下几条：1. 在交换性上(1)若R是交换环，则R也是交换环； (2)若R是交换环，则R未必是交换环2. 在有无零因子上(1)若R无零因子，则R未必无零因子； (2)若R无零因子，则R未必无零因子3. 在有无单位元上(1)若R有单位元1，则R有单位元f(1)； (2)若R有单位元，则R未必有单位元 例3 设，定义R的代数运算如下：，则R显然作成一个环，称之为与的直积，记为易知映射为满同态，但中有零因子，而无零因子三 同构设为环同构，则环R与R在的代数性质完全一致定理3.3.3假定，则R是整环（除环、域） R是整环（除环、域）引理3.3.4假定在集合A与A之间存在一个一一映射f，并且A中有加法和乘法，可以A中定义加法和乘法，使得是同构映射定理3.3. 5（挖补定理）假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元作成的集合
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