二重积分的计算.ppt

二重积分的计算 一 二重积分在直角坐标系下的计算二 二重积分在极坐标系下的计算 一 二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分的计算主要是化为两次定积分计算 简称为化为二次积分或累次积分 下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法 在直角坐标系中 如果用平行于两个坐标轴的两组直线段 将区域D分割成n个小块从而有 由定积分的几何应用 设一立体满足 在区间 a b 上任取一点x 过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截 若截面面积为S x 则所给立体体积 设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点 区域D可以用不等式表示为 1 在 a b 上取定一点x 过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体 截面为一曲边梯形 将这曲边梯形投影到Oyz坐标面 它是区间 y1 x y2 x 上 以z f x y 为曲边的曲边梯形 将x认定为不变 因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示 故曲顶柱体的体积 也就是二重积分为 2 将二重积分化成了先对y积分 后对x积分的二次积分 为了简便常记为 需要指出 计算时 应将x视为常量 按定积分的计算方法解之 同样 设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点 区域D可以用不等式表示为 3 在 c d 上取定一点y 过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体 所得截面也为一曲边梯形 若截面面积为S y 则 所给立体体积 因此 4 即化成先对变元x积分 后对变元y积分的二次积分 先对x积分时 中的y应视为常量 按定积分的计算方法解之 在上述讨论中 我们假定f x y 0 但是实际上 上述结论并不受此限制 如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交 其交点多于两个 则先将区域D划分为几个子区域 其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时 交点不多于两个 用前述方法及重积分的可加性可求区域D上的二重积分 为了便于确定积分区域D的不等式表达式 通常可以采用下述步骤 1 画出积分区域D的图形 2 若先对y积分 且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点 那么确定关于y积分限的方法是 作平行于y轴的直线与区域D相交 所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y y1 x 称之为入口曲线 作为积分下限 该直线离开区域D的边界线y y2 x 称之为出口曲线 作为积分上限 而后对x积分时 其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间 a b a是下限 b是上限 即 如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时 在不同的范围内 入口曲线或出口曲线不同 则应该将积分区域D分为几个部分 在每个部分区域上 所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定 例1用二重积分计算由平面2x 3y z 6和三个坐标平面所围成的四面体的体积 解即求以z 6 2x 3y为顶 以 ABC围成区域D为底的柱体体积 也就是计算二重积分 解法1先对y积分 作平行于y轴的直线与区域D相交 入口曲线为y 0 作为积分下限 出口曲线为 作为积分上限 解法2也可先对x积分 作平行于x轴的直线与区域D相交 沿x轴正向看 入口曲线为x 0 作为积分下限 出口曲线为 作为积分上限 积分区域D在y轴上投影区间为 0 2 这个结果与我们熟知的四面体的体积是一致的 例2计算积分 其中D是正方形区域 解像这样的正方形区域可以不必画 即得 例3计算积分 其中D是由y x y 0和所围成的三角形区域 解法1先对y积分 作平行于y轴的直线与积分区域D相交 沿着y的正方向看 入口曲线为y 0 出口曲线为y x D在x轴上的投影区间为 解法2先对x积分 作平行于x轴的直线与积分区域D相交 沿x轴的正方向看 入口曲线为x y 出口曲线为 D在y轴上的投影区间为 故 例4计算积分 其中D由y 0确定 解法1先对y积分 作平行于y轴的直线与区域D相交 沿着y轴正方向看 入口曲线y 0 出口曲线为 因此 解法2先对x积分 作平行于x轴的直线与区域D相交 沿着y轴正方向看 入口曲线为 出口曲线为 因此 比较两种解法可知 解法1比解法2简便些 说明将二重积分化为二次积分时 应注意选择积分次序 例5计算积分 其中D是由不等式 所确定的长方形区域 解这题可以不必画积区域 分析被积函数可知 如先对x积分 需用分部积分法 如先对y积分则不必 计算会简单些 因此 我们选择先对y积分 即 例6计算 其中D由不等式及所确定 解法1化为先对y积分后对x积分的二次积分 作平行于y轴的直线与区域D相交 沿y轴正方向看 入口曲线为 出口曲线为y x 因此 x轴上的积分区间为 1 2 解法2化为先对x积分后对y积分的二次积分 作平行于x轴的直线与积分区域D相交 可知入口曲线不唯一 这需要将积分区域分为两个子区域 在y轴上的积分区间为 当时 平行于x轴的直线与区域D相交时 沿x轴正方向看 入口曲线为 出口曲线为x 2 当时 平行于x轴的直线与区域D相交时 沿x轴正方向看 入口曲线为x y 出口曲线为x 2 显然解法1较简便 因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题 例7计算积分 其中区域D由直线y x y 0与x 1围成的区域 解由不定积分可知不能用初等函数表示出来 因此 所给积分不能化为先对x积分后对y积分的积分次序 欲化为先对y积分后对x积分的二次积分 作平行于y轴的直线与区域D相交 沿y轴正方向看 入口曲线为y 0 出口曲线为y x 因此 将积分区域D投影到x轴上 投影区间为 0 1 故 例8计算二次积分 解由不定积分可知其被积函数的原函数不能用初等函数表示 因此依题中所给积分次序不能计算出此二重积分 对此类问题常考虑采用交换积分次序的方法来解决 其一般步骤为 1 先依给定的二次积分限 定出积分区域D的范围 并依此作出D的图形 2 再依区域D的图形 依前述确定积分限的方法 确定出另一种积分次序的积分限 由给定的积分限可知积分区域D的范围为 例8通常又称为交换二重积分次序问题 例9交换二次积分的符号分次序 解所给积分由两部分组成 设它们的积分区域分别为D1与D2 先依给定的积分限将积分区域Di用不等式表示 如果转换为先对y积分 后对x积分 只需作平行于y轴的直线与区域D相交 沿y轴正方向看 入口曲线为y x 出口曲线为y 2 x 因此在D中 例10交换二次积分 的积分次序 解所给积分由两部分组成 设它们的积分区域分别为D1与D2 而的解为 1 1 如果换为先对x积分 后对y积分 作平行于x轴的直线与D相交 沿x轴正方向看 入口曲线 出口曲线为x 2 y 因此 在区域D中 于是 由于的解为 1 1 二 二重积分在极坐标下的计算 若点M在直角坐标系中坐标为 x y 在极坐标系中坐标为 则有如下关系 在极坐标系中 我们用r 常数和 常数来分割区域D 设是由半径为r和的两个圆弧与极角等于和的两条射线所围成的小区域 这个小区域近似地看作是边长为和的小矩形 所以它的面积 因此 在极坐标系中 于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式 公式 6 区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示 右端的边界曲线方程应用极坐标表示 现在分三种情形讨论 1 若极点在区域D之外 为了确定 的变化范围 过原点作两射线 和 使D恰好被夹在此二射线之间 且 那么 便知 取值范围是 再确定r的取值范围 则D可以记为 从而有 2 极点在区域D的边界线上 D的边界曲线为 又设射线刚好夹住区域D 且 则D可以表记为 则有 3 若极点在区域D的内部 D的边界曲线为 则D可以记为 则有 如果积分区域D为圆 半圆 圆环 扇形域等 或被积函数f x2 y2 形式 利用极坐标常能简化计算 通常出现下面两类问题 1 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分 需依下列步骤进行 1 将代入被积函数 2 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式 确定相应的积分限 3 将面积元dxdy换为 2 将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似 只需依反方向进行 例11计算二重积分区域D为由x2 y2 2y及x 0围成的第一象限内的区域 解 区域D为第一象限内的圆心为 0 1 半径为1的右半圆 极点在D的边界线上 D的边界曲线为x2 y2 2y 用代换 可得极坐标表达式 此时D可以表示为 例12计算二重积分 其中D为 区域D的边界曲线为 将代换 得极坐标系下的表达式r 1 因此D可以表示为 例13求 D是由y x y 0 x2 y2 1在第一象限内所围成的区域 区域D可以表示为 例14计算二重积分 其中D是单位圆域 例15计算积分 解积分域是圆环 D可以表示为 例16用极坐标计算例4中的二重积分 积分区域同例4中的D 解显然D