拓扑空间中集合的导集.doc

拓扑空间中集合的导集题目：拓扑空间中集合的导集摘要：如果在一个拓扑空间中给定一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各不相同，因此可以对它们进行分类处理。本文介绍了拓扑空间中集合的导集。正文：1、拓扑空间的定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件： （1）X， T；（2）若A，BT，则ABT；（3）若 T，则 ，则称T是X的一个拓扑。如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。2、导集的定义设X是一个拓扑空间，AX如果点xX的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U（A-x），则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）如果xA并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U（A-x），则称x为A的一个孤立点即:(牢记)3、离散空间中集合的凝聚点和导集设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果xX，则X有一个邻域x，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）4、平庸空间中集合的凝聚点和导集设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集我们分三种情形讨论：第1种情形：A=这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明）第2种情形：A是一个单点集，令 A如果xX，x，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即xd（A）然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A第3种情形：A包含点多于一个请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）X定理：设X是一个拓扑空间，AX则（l）d（）=；（2）AB蕴涵d（A）d（B）；（3）d（AB）d（A）d（B）；（4）d（d（A）Ad（A）定义 设X是一个拓扑空间，AX如果A的每一个凝聚点都属于A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集例如，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集定理 设X是一个拓扑空间，AX则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集定理 设X是一个拓扑空间记F为所有闭集构成的族则：（1）X，F（2）如果A，BF，则AUBF（从而如果)（3）如果在此定理的第（3）条中，我们特别要求的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义 总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集其余情形不一定（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集其余情形不一定定义 设X是一个拓扑空间,AX,集合A与A的导集d(A)的并Ad(A)称为集合A的闭包,记作或容易看出,(注意:与xd(A)的区别)定理 拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=Ad(A)定理设X是一个拓扑空间,则对于任意A,BX,有： 定理拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集定理设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有 即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交由定理可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画定义设（X，)一个度量空间X中的点x到X的非空子集A的距离（x，A）定义为 （x，A）inf（x，y）|yA根据下确界的性质以及邻域的定义易见：（x，A）0当且仅当对于任意实数0，存在yA使得（x，y），换言之即是：对于任意B（x，）有B（x，)A，而这又等价于：