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初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即两个负数比较大小，绝对值大的反而小两个绝对值不等式:；或2 乘法公式：平方差公式：立方差公式：立方和公式：完全平方公式：，完全立方公式：3 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。方法：提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法。4 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。关于方程解的讨论当时，方程有唯一解；当，时，方程无解 当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。（4）解二元一次方程组的方法：代入消元法，加减消元法。6 不等式与不等式组（1）不等式：用符不等号（、）连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。7 一元二次方程：方程有两个实数根 方程有两根同号 方程有两根异号 韦达定理及应用：, 8 函数（1）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：若两个变量,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。当=0时，称是的正比例函数。（3）一次函数的图象及性质把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。在一次函数中，当0， O，则经2、3、4象限；当0，0时，则经1、2、4象限；当0， 0时，则经1、3、4象限；当0， 0时，则经1、2、3象限。当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。（4）二次函数： 一般式：()，对称轴是顶点是；顶点式：()，对称轴是顶点是；交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点（5）二次函数的性质 函数的图象关于直线对称。时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值9 图形的对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。10 平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做轴或横轴，铅直的数轴叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。（2）平面直角坐标系内的对称点：设，是直角坐标系内的两点，若和关于轴对称，则有。若和关于轴对称，则有。若和关于原点对称，则有。若和关于直线对称，则有。若和关于直线对称，则有或。11 统计与概率：（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整数。（2）扇形统计图：用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。（3）各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。（5）平均数：对于个数，我们把()叫做这个个数的算术平均数，记为。（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。（7）中位数与众数：N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。（8）调查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。（9）频数与频率：每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。（10）数据的波动：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。标准差就是方差的算术平方根。一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。（11）事件的可能性：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。（12）概率：人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。必然事件发生的概率为1，记作（必然事件）；不可能事件发生的概率为，记作（不可能事件）；如果A为不确定事件，那么衔接知识点的专题强化训练 专题一 数与式的运算【要点回顾】1绝对值1绝对值的代数意义： 即 2绝对值的几何意义： 的距离 3两个数的差的绝对值的几何意义：表示 的距离4两个绝对值不等式:；2乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式： ；2完全平方和公式： ；3完全平方差公式： 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：公式1公式2(立方和公式)公式3 (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”3根式1式子叫做二次根式，其性质如下：(1) ；(2) ；(3) ； (4) 2平方根与算术平方根的概念： 叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根3立方根的概念： 叫做的立方根，记为4分式1分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质： （1） ； （2） 2繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1） （2）4例2 计算： （1） （2）（3） （4）例3 已知，求的值例4（选做） 已知，求的值例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1） （2） （3） （4） 例6 设，求的值例7 化简：（1） （2）（1）解法一：原式= 解法二：原式=（2）解：原式=说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 【巩固练习】1 解不等式 2 设，求代数式的值3 （选做）当，求的值4 （选做）设，求的值5 （选做）计算6化简或计算：(1) (2) （选做）(3) (4) 专题二 因式分解【要点回顾】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等1公式法常用的乘法公式：1平方差公式： ；2完全平方和公式： ；3完全平方差公式： 45(立方和公式)6 (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解2分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式3十字相乘法（1）型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是1；常数项是两个数之积； 一次项系数是常数项的两个因数之和，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式（2）一般二次三项式型的因式分解由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法【例题选讲】例1 （公式法）分解因式：(1) ；(2) 例2 （分组分解法）分解因式：（1） （2）例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2) 例5 （拆项法）分解因式【巩固练习】1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) （选做）(4) （选做） (5) 2已知，求代数式的值3现给出三个多项式，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4（选做）已知，求证： 专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为： 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有1当 0时，方程有两个不相等的实数根： ；2当 0时，方程有两个相等的实数根： ；3当 0时，方程没有实数根2一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2(x1x2)xx1x20【例题选讲】例1 已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根例2 （选做） 已知实数、满足，试求、的值例3 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 例4 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解：(1) 假设存在实数，使成立 一元二次方程的两个实数根， ，又是一元二次方程的两个实数根， ，但不存在实数，使成立(2) 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为【巩固练习】1若是方程的两个根，则的值为()ABCD2若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()ABCD大小关系不能确定3设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _ _ ，= _ _ 4已知实数满足，则= _ _ ，= _ ，= _ 5已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根6若是关于的方程的两个实数根，且都大于1(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1平面直角坐标系1 组成平面直角坐标系。 叫做轴或横轴， 叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。2 平面直角坐标系内的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标轴 轴 原点 点 直线 直线 直线 直线 2函数图象 1一次函数： 称是的一次函数，记为：(k、b是常数，k0)特别的，当=0时，称是的正比例函数。2 正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k0)的图象是 的一条直线，当 时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 3 一次函数的图象与性质：函数(k、b是常数，k0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设(k0)，则当 时，y随x的增大而 ；当 时， y随x的增大而 4反比例函数的图象与性质：函数(k0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点【例题选讲】例1 已知、，根据下列条件，求出、点坐标(1) 、关于x轴对称；(2) 、关于y轴对称；(3) 、关于原点对称例2已知一次函数ykx2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若AOB的面积为2，求此一次函数的表达式。 例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值解：（1）在的图象上， 又在的图象上，即 ，解得：， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为， （2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。【巩固练习】1函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ） 2如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，求点的坐标 3（选做）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为（1）求的值；（2）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标 专题五 二次函数【要点回顾】1 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c， 所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：1当a0时，函数yax2bxc图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最小值 2当a0时，函数yax2bxc图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最大值 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2二次函数的三种表示方式1二次函数的三种表示方式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式： 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出三点，其中两点为与x轴的两个交点.时可利用交点式来求3分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数【例题选讲】例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 例3 已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1）；（2）已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8) 例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0x100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20x40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数这个函数的解析式为 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示【巩固练习】1选择题：（1）把函数y(x1)24的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（1，4） （B）（1，4） （C）（1，4） （D）（1，4）（2）函数yx24x6的最值情况是 （ ） （A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2（3）函数y2x24x5中，当3x2时，则y值的取值范围是 （ ） （A）3y1 （B）7y1 （C）7y11 （D）7y11 2填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 （2）已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 3根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为44如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点设点A移动的路程为x，PAC的面积为y（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围 专题六 二次函数的最值问题【要点回顾】1二次函数的最值二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值2二次函数最大值或最小值的求法 第一步确定a的符号，a0有最小值，a0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值3求二次函数在某一范围内的最值如：在（其中）的最值第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；第二步：讨论：1若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论： 对称轴小于即，即对称轴在的左侧； 对称轴，即对称轴在的内部； 对称轴大于即，即对称轴在的右侧。2 若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：对称轴，即对称轴在的中点的左侧；对称轴，即对称轴在的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值 （1）； （2）例2当时，求函数的最大值和最小值例3当时，求函数的取值范围例4当时，求函数的最小值(其中为常数)分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：函数的对称轴为画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间即时：当时，；(3) 当对称轴在所给范围右侧即时：当时， 综上所述：例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】1抛物线，当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象过原点2用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值4已知函数在上的最大值为4，求的值5求关于的二次函数在上的最大值(为常数)