线性代数 复习资料.doc

第一章 行列式知识点：1. 逆序数2. 行列式的性质（1） 行列式与它的转置行列式相等，即（2） 交换行列式的两行（或列），行列式变号（3） 若行列式中有两行（或列）相同，则该行列式为零。（4） 用数k乘行列式的某一行（或列），等于用数k乘此行列式（5） 行列式中若有两行成比例，则该行列式为零。（6） 将行列式的某一行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式不变。3. 行列式的计算（1）行列式的性质（2）三角化（三角行列式和对角行列式）（3）降阶法（行列展开）（4）特征值法4余子式和代数余子式5范德蒙行列式6.两个特殊的拉普拉斯展开式7.克莱姆法则解方程组第二章 矩阵1. 矩阵的定义2. 两个矩阵相等：即矩阵对应的元素要相等3. 几种特殊的矩阵：行矩阵，列矩阵，对角矩阵，单位矩阵，数量矩阵4. n阶方阵的行列式或的运算性质（1）（2）（3）方阵的幂：为方阵A的k次幂（1） （2）5.对称矩阵：n阶方阵满足反对称矩阵：n阶方阵满足6伴随矩阵：基本性质：若可逆，则，7.矩阵的线性运算规则：8.矩阵乘法的运算规则：9.矩阵可交换：若10.转置矩阵的运算性质：11.逆矩阵（1）定义（2）n阶矩阵可逆的等价条件：线性无关 非奇异（3）求逆矩阵的方法：1.伴随矩阵法 2.初等行变换（4）逆矩阵的运算性质1若矩阵A可逆，则其逆矩阵也可逆，且2若矩阵A可逆，则3. 4. 512.矩阵方程13.分块矩阵14.初等变换（三种）和初等矩阵关于初等变换的几个重要定理：15.矩阵等价：反身性，对称性，传递性16.矩阵的秩：（1）定义（2）矩阵秩的求法：初等行变换化为行阶梯行矩阵（3）矩阵秩的性质1.2. 3.矩阵秩不改变：1.初等变换 2.乘以可逆矩阵，即若B为可逆矩阵，则 3.等价的矩阵秩相等 4.相似矩阵的秩相等第三章 线性方程组线性无关1. 齐次线性方程组解的判定，若将矩阵列分块为线性相关 通解的结构：是的基础解系，则通解为为任意实数2. 非齐次线性方程组解的判定无穷解无解通解的结构：是的解，是的基础解系，则其通解为：为任意实数3.向量组的秩，即用初等行变换将矩阵化为行阶梯矩阵，非零行的行数即矩阵A的秩。4.向量组的极大无关组：5.向量组线性相关：向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示矩阵的秩，为向量的个数。若矩阵为方阵，线性无关当向量组中向量的个数大于向量的维数时，即当矩阵为阶时，若，则向量组线性相关。（5）若向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。即部分相关则整体相关。（6）若线性无关，而线性相关，则向量可由唯一地线性表示。6.向量组线性无关：（1）定义（2）矩阵的秩，为向量的个数。（3）若矩阵为方阵，线性无关（4）线性无关的向量组中的任一部分组都线性无关。即整体无关则部分无关。7.两个向量组等价：向量组：与向量组：能相互线性表示。两个向量组之间的线性关系：（1） 向量组能由向量组线性表示，若，则向量组线性相关。（2） 向量组能由向量组线性表示，若向量组线性无关，则。向量组能由向量组线性表示，则（3） 向量组与可以相互线性表示，若与都是线性无关的，则。等价的向量组的秩相等。8.向量空间，向量空间的一组基和维数9.中的坐标变换公式，过渡矩阵第四章 矩阵的特征值1.内积的定义与性质, 向量的长度与性质,向量间的夹角2向量的正交3.规范正交基的求法4.正交矩阵5.矩阵的特征值与特征向量6.特征值与特征向量的性质：（1）n阶矩阵与它的转置矩阵的特征值相同。（2）矩阵的迹（4） 矩阵多项式的特征值7.特征向量之间的关系：（1）正交的向量组线性无关（2）不同特征值对应的特征向量之间是线性无关的（3）若矩阵是实对称的，则不同特征值对应的特征向量是正交的。8.相似矩阵（1）定义（2）性质：反身性，对称性，传递性相似矩阵有相同的特征值行列式相等有相同的可逆性相似矩阵的秩相等9.矩阵相似对角化的条件（1）若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A与对角矩阵相似（2）若n