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京翰教育中心 射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（）：t中，若为高，则有DAD、或。（证明略）二、变式推广逆用如图（）：若中，为高，且有或或，则有或，均可等到为直角三角形。（证明略）一般化，若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）如图（）：中，D为上一点，若，或，则有，可得AB；反之，若中，为上一点，且有，则有，可得到，或。（证明略）三、应用例如图（），已知：等腰三角形中，高、交于点，求证：分析：易证=900-CHBD，联想到射影定理变式（2），可得，又，故有结论成立。（证明略）例如图（）：已知中，为弧中点，过点的弦被弦分为和两部分，求。分析：易得到，满足射影定理变式（2）的条件，故有，易求得(解略)例3已知：如图（5），中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，交的延长线于点，求证：。证明：连，垂直平分，平分，又C公共，。例4如图（6），已知中， 为直径，内接于圆，AE =AC ,连BE 交圆于点F ，求证：ACF AED 。分析：由条件易知，为直角三角形，为高，由射影定理有AC 2=，又AE=AC ，故有AE 2=，满足射影定理变式（2）条件，易得结论成立。例5已知：如图（7），直线y=x+3交x轴于点，交y轴于点，以点（，）为圆心，为半径作交的延长线于，与y轴交于另一点（！）求点的坐标。（）连、，交x轴于，求证：。（）若为弧上任一点时（图8），的延长线交于Q,点，问当点在弧（不含端点、）上运动时，的值地否改变？试证明你的结论。略解：（）作x轴于，运用割线定理及相似三角形的性质，可得的坐标为（，）。（2）法1：由OEDNE，通过计算有EMEC，EDE，又，。法2：连BM，又，（）的值为定值。连MP,，2。点评：本例（）中围绕，反复运用变式推广，正面用过来，反面用回去，其运用之妙，体现着数学的变化之美。例6已知：如图（9），直线y=2x+2交x、y轴于、两点，过、两点作，交轴于另一点，交轴于另一点，且圆心在轴上（） 求点的坐标。（） 以为圆心，为半径作（如图10），点为的优弧上任一点，连并延长交于点，求证：。（） 当点在的优弧（不含
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