对一道2013年湖南数学高考客观题的探究.pdf

1 2 中学数学研究2 0 1 4 年第1 期 即髫 詈时 3 厶U 5 提炼模型 豁然开朗 在解决数学问题时 通过对问题结构特征的观 察 联想 并与已有认知结构中的模式相类比 往往 能发现其特殊的背景和隐藏的模型 把这些背景和 模型提炼出来 赋予问题新的意义 有利于透过现象 看到本质 抓住问题的实质 突破思维定势 从而诱 发解题的直觉 本题中 前面几种解法已经提炼出向 量 不等式 斜率等数学模型 其实本题还可以构造 三角模型 利用三角函数的特殊性解决问题 解析1 1 由y c o s x s i n x 2 添置辅助角得 广 l s i n x 妒 2 其中t a n 妒 Y 根据三角函 数有界性得Is i n x 妒 I l 所以 鲁 l 解 l 1 得 万 当y 万时 妒 T 仃 石 詈适合题意 因 此 当菇 詈时 Y 疵 幅 数学直觉是预见解题思路 明晰解题方向的有 效途径 细致深入地观察与分析是产生直觉的基础 良好的知识组块和形象直感是产生直觉的前提 因 此在平时的教学中 我们要引导学生对问题进行多 维度分析 多角度感知 形成直觉探索的能力 提升 直觉思维的水平 让直觉思维在数学解题活动中展 现独特的魅力和迷人的风彩 参考文献 1 任樟辉 数学思维理论 广西教育出版社 2 0 0 3 1 对一道2 0 1 3 年湖南数学高考客观题的探究 湖南师范大学数学与计算机科学学院 4 1 0 0 8 1 杨伟昌国良 2 0 1 3 年全国高考湖南卷理科数学第8 题为最后 一道选择题 此题立意新颖 解题方法富有灵活性 蕴含了较高的思维价值 对日常教学有很好的启示 作用 本文将从解法探究 结论推广与教学启示三方 面展开论述 C 题目 在等腰直角三角 形A B C 中 A B A C 4 点P 是边A B 上异于A B 的一点 光 线从P 出发 经B C C A 反射后 又回到点P 如图1 若光线 Q R 经过A A B C 的重心 则A P 等于 A 2B 1 c 音 1 解法探究 解法1 点对称法 如 图2 所示 以A 点为坐标原 点 A B 边为石轴 A C 边为Y 轴 建立平面直角坐标系 则点A 的坐标为 0 0 点8 B 的坐标为 4 O 点C 的 坐标为 O 4 G 为重心且 D 图1 坐标为 设P 点坐标为 m o m o N P 点关于B C 边与A C 边的对称点D 和E 都在R Q 直线 上 所以E 点坐标为 一m 0 而直线曰C 的方程为Y 一茁 4 根据对称易求得D 点坐标为 4 4 一m 所以直线尺Q 的方程为y 芒 茗 m 把c 点代 斗 m 入此方程 得 焉 m 解出m o 舍 B4 e 或m 了4 A P 丁4 图2 解法2 平面几何法 如 图3 所示 G 为等腰R t A A B C 的重心 延长C G 交A 曰边于点 D 过点A B 作c D 边的平行 线分别与边R Q 相交于点E E F 设A P m m 0 P R Q O r P q Q R 分别为 入射与反射光线 由反射原理 图3 可知z P Q B 二R Q C 同理 c R Q L A R P 由 A A B C 为等腰直角三角形 得 B L C 詈 所 以有z B P Q 7 r 一 P Q 曰 Z B z C R Q 仃 万方数据 2 0 1 4 年第1 期 中学数学研究 1 3 一L K q C o A 武 1 在R t Z k I K 尸甲 A R P A P R 手 2 由 1 2 可知 A P 尺 二曰P Q2 手 乞即Q2 手 即R P 上P Q 由平行线 截线段成比例定理 得篆 A 历E 箦 B 历F 故蕴R A 器 墨铲 在梯形A E 刚邶G 为中位线 幽2 丝C R 鲤C O 婴C G l 即妲C O 一 一 一 l K 一 1 垒 素丝 3 由前面论证易知 A B q P A C q R 箦 簇 丝q R s i 似4 由 3 4 两式可知箦 酣B P C R 一融 B P e A C 一2 P u t A B A P 础 扣P 詈 即 4 一m C R 4 一 孙n a 生 三生 5 椭t t K t Z M I A Fi s l n a2 2 L 3 叨 4 一詈1 t a n 2 詈 t a n A R P t a n 罕 面A P 2 轧n 詈 丢 代入 5 中得 4 忑 m 解出m 了4 即A P 2 4 1 解法3 算两次 如图4 所示 以A 点为坐标原点 A B 边为菇轴 A C 边为y 轴 建立 平面直角坐标系 则点A 的坐 标为 O 0 点B 的坐标为 4 O 点C 的坐标为 O 4 c 为重心且坐标为 了4 i 41 图4 设P 点坐标为 m 0 m 0 R 点坐标为 0 Q 点的横坐标为戈 设直线R Q 斜率方k 后 0 因为后 0 时 显然不会回到P 点 即上P q 证法同解 法二 直线R P 与直线P Q 的斜率分别为一矗 直线R P 的方程为 一k x m 令菇 0 I i I m 同理直线尺Q 的方程为 一了4 j 石一 令菇 o 一争 得詹m 了4 4 3 k 1 而直线e q 的方程为 石一m 直线B C 的 方程为 一石 4 联立两者解出菇口 等等半 同理 联立直线R q 与直线B C 的方程 同样得出菇o 翥等 砖并 老等郴 m 8 2 茹百可 侍雨2 罚百可锑 加 6 卜 由 1 2 解出居 1 m 0 舍去 或后 1 m 4 即A P 4 2 结论推广 定理在等腰直角三角形A B C 中 A B A C 口 口 0 点P 是边A B 上异于A B 的一点 光线从 P 出发 经B c C A 反射后又回到点P 如图2 若光 线衄经过Z X A B C 的重心 则p 为A B 边的三等分点 即A P 号 证明 如图2 所示 以A 点为坐标原点 A 曰边为 石轴 A C 边为 轴 建立平面直角坐标系 则点A 的坐 标为 0 0 点B 的坐标为 a 0 点C 的坐标为 0 口 G 为重心且坐标为 詈 詈 设P 点坐标为 m 0 m 0 则P 点关于B C 边与A C 边的对称点D 和E 都在尺Q 直线上 所以E 点坐标为 一m 0 而 直线B C 的方程为y 一髫 a 根据对称易求得D 点 坐标为 a a m 所以直线R Q 的方程为Y 生芒 石 m 把G 点代入此方程 即为詈 a m j 焉 号 m 解出m o 舍去 或m 詈 即A P 结论得证 j 3 教学启示 对于在考场上解决这道高考选择题 考虑到时 间因素 我们还是提倡选择点对称法来解题 但这并 不意味着后面两种解法就不重要了 相反今后的教 学中它们在帮助学生打开解题思路及开阔解题视野 方面发挥着重要作用 从而使学生能够从多角度去 体会此问题背后所蕴含的各种数学思想与方法 进 而提高他们分析问题与解决问题的能力 为此在教 学中提出以下建议 1 在教学中注重基础 重视基础知识 基本技 能 基本思想方法的教学 注重知识发生 发展过程 重视通性通法 例如本文中 由一个特殊情况推广到 一般情况时结论仍然成立 即满足条件的点P 为直 万方数据 1 4 中学数学研究2 0 1 4 年第1 期 角边A B 的一个三等分点 且不会随边长8 的变化而 变化 2 要重视学生思维能力的培养 数学是思维 的体操 在日常教学中要注重思想与方法的教学 尤 其是探究性思维教学 3 要注重渗透数形结合思想的教学 数形结 合在解选择题时能显示出极大的优越性 所以要注 意培养这种思想意识 使学生做到胸中有图 见数想 图 以开拓思维视野 提高其解题能力 参考文献 1 代银 戴晨希 一道2 0 1 2 年高考客观题的探究 J 中学 数学教学 2 0 1 3 2 1 1 1 3 2 白雪峰 一道有关三角形重心问题的多种解法与推广 J 中国数学教育 2 0 1 3 4 4 6 4 8 江苏省丹阳高级中学 2 1 2 3 0 0 史建军 1 问题的提出 已知只茗 o x 2 b x c a O 且方程八z 石无实数解 下列命题 方程九八戈 茹也一 定没有实数解 若口 0 则不等式 八茹 茗对 一切实数石都成立 参若口 若a b c 0 则不等式九八茗 0 时 由方程八菇 茗无实数解 抛物线厂 茗 瞄2 h c 开口向上 且与直线 茗无公共点 即抛物线以戈 似2 b x c 恒在直 线Y 茗上方 设火茹 的值域为 m 故Y 瞰茗 的图像为Y 以茗 图像的一部分 所以 似菇 图像也在 茗上方 图1 因删茗 茹对任意的卫恒成立 因此 正确 少 m X 以 一 形 八 图l图2 2 当a 0 时 由方程火石 菇无实数解 抛物线八茗 础2 k c 开口向下 且与直线 石无公共点 即抛物线火石 甜2 k c 恒在直 线Y 菇下方 设火菇 的值域为 一 1 故Y 九人并 的图像为Y 八石 图像的一部分 所以y 九火髫 图像也在y 茹下方 图2 因此尢厂 茹 菇对任意的菇恒成立 故 参不正确 而对于 由a b c 0 八1 0 即 灭茗 图像经过 1 0 而 1 0 在直线y 茗下方 又 方程厂 茗 石无实根 故抛物线开口向下 转化为 2 的情形 即 成立 综上可得 正确答案为 2 2 对上述解法的质疑 上述过程理由似乎相当充分 且答案与参考答 案一致 事实上 许多做对的学生亦采用了此法 但稍作分析却发现 以上思考的逻辑有问题 所以 Y 似戈 的图像为Y 八戈 图像的一部分 故Y 似髫 图像也在y 茗上 下 方 果真如此 吗 显然不是 如八菇 茗2 与九以菇 均表示 抛物线 但点 2 1 6 在