2010年高考江苏省数学卷试题解法集锦.pdf

2010 年高考江苏省数学卷试题解法集锦 苏州大学 王金才 整理 江苏卷第 12 题 江苏姜堰 周媛媛 江苏海安 田秀权 江苏南通 马 进 江苏南京 文 敏 山东单县 齐行超 江苏徐州 张昌盛 沈家书 江苏苏州 卢伟玲 江苏兴化 邢友宝 张乃贵 江苏高邮 黄桂君 题目 设实数x y 满足3 xy 2 8 4 x 2 y 9 则x 3 y 4的最大值是 解法 1 观察条件式与被求式的结构得 x 3 y 4 x 2 y 2 x y 2 由 3 xy 2 8 4 x 2 y 9 得 x 3 y 4 max x 2 y 2 max x y 2 min 81 3 27 当且仅当 x 2 y 9 x y 2 3 即 x 3 y 1 时取到最大值 解法2 由条件易得x 0 y 0 故对条件 式和被求式取对数得 lg 3 lg x 2lg y 3lg 2 2lg 2 2lg x lg y 2lg 3 lg x 3 y4 3lg x 4lg y 令 m lg x n lg y t lg x 3 y 4 3lg x 4lg y 所以题目等价转化为 已知 lg 3 m 2n 3lg 2 2lg 2 2m n 2lg 3 求 t 3m 4n 的最大值 图 1 利用线性规则的知识可 知 满足这些条件的点 m n 的区域为图中的阴影部 分 可以求得 A lg 3 0 当 直线 l 过点A 时 tmax 3lg 3 4 0 lg 27 又函数y lg x 单调递增 故 x 3 y 4 max 27 解法 3 利用等价转化 如解法 2 原来问题 等价于 已知 lg 3 m 2n 3lg 2 2lg 2 2m n 2lg 3 求 t 3m 4n 的最大值 令3m 4n X m 2n Y 2m n 化简 得 3m 4n X 2Y m 2X Y n 所以 X 2Y 3 Y 2X 4 X 1 Y 2 即 3m 4n 2 2m n m 2n 所以 3m 4n max 2 2m n max m 2n min 4lg3 lg3 lg27 当 且 仅 当 2m n 2lg 3 m 2n lg 3 m lg 3 n 0 即 x 3 y 1 时成立 根据函数y lg x 的单调性得 x 3 y 4 max 27 解法 4 由于x 3 y 4 x 2 y 2 xy 2 图 2 令 xy 2 u x 2 y 2 v 则 3 u 8 16 v 81 建立直角坐标系 uOv 利用线性规则知识 作出 可行域 将 u v 看作点 u v 与 原点 O 连线的斜率 即得x 3 y 4的 最大值为 27 江苏卷第 13 题 江苏太仓 张惠良 江苏通州 曹 兵 江苏南京 盛 徽 江苏新沂 杜继渠 江苏淮安 费新慧 江苏连云港 车树勤 江苏兴化 张 俊 题目 在锐角 ABC 中 A B C 的对边分 别是为 a b c 且 b a a b 6cos C 则 tan C tan A tan C tan B 17 2010 年第 8 期 中学数学月刊 解法 1 特殊值法 令 a b 1 则cos C 1 3 由余弦定理 得c a2 b2 2abcos C 2 3 如图1 作CD AB 交A B 于D 则AD DB 图 1 1 3 CD 2 3 tan B tan A 2 tanC tan A B tan 2A 2tan A 1 tan2A 2 2 所以tan C tan A tan C tan B 4 解法 2 将角全部化归为边 将 cos C a2 b2 c2 2ab 代入b a a b 6cos C 并变形得2 a2 b 2 3c2 tan C tan A tan C tan B sin Ccos A sin A cos C sin Ccos B sin Bcos C c b 2 c 2 a 2 2bc a a2 b2 c2 2ab c c 2 a 2 b 2 2ca b a2 b2 c2 2ab 2c2 a 2 b 2 c 2 2c2 3 2 c2 c2 4 解法 3 将边全部化归为角 因为6cos C b a a b sin B sin A sin A sin B sin 2 A sin 2B sin A sin B 于是 6sin A sin Bcos C sin2A sin2B 因a2 b2 c2 2abcos C 故 sin2A sin2B sin 2C 2sin A sin Bcos C 于是 sin 2C 4sin A sin Bcos C tan C tan A tan C tan B sin C cos C cos A sin A cos B sin B sin Csin A B cos Csin A sin B sin2C sin Asin Bcos C 4 解法 4 将边与角部分进行转化 因 b a a b 6cos C 故 a2 b2 6abcos C 因a 2 b2 c 2 2abcos C 故c2 4abcos C 则 tan C tan A tan C tan B 1 cos C sin C sin A cos A sin C sin B cos B 1 cos C c a b2 c2 a2 2bc c b c 2 a 2 b 2 2ca c 2 abcos C 4 解法 5 如图 2 作 AD BC 交BC 于D 则 a BD DC ccos B bcos C 于是 a b c b cos B cos C 同理 b a c a cos A cos C 图 2 两式相加 得 b a a b c b cos B c a cos A 2cos C 从而 c b cos B c a cos A 4cos C 所以sin C sin B cos B sin C sin A cos A 4cos C 将上式两边同除以cos C 即得tan C tan A tan C tan B 4 江苏卷第 18 题 3 张 青 江 苏 省 苏 州 中 学 215007 卢玉才 江苏省太仓高级中学 215400 顾恩渌 江苏连云港市新浦区 222006 题目 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已 知椭圆x 2 9 y 2 5 1 的左 右顶点为 A B 右焦点 为 F 设过点 T t m 的直线TA TB 与此椭圆分 别交于点 M x1 y1 N x2 y2 其中 m 0 y1 0 y2 0 使得 f 0 x h x x 2 ax 1 则称 函数 f x 具有性质 P a 2 已知函数 g x 具有性质P 2 给定 x1 x21 1 x1 1 1 若 g g 0 所以 g x 在 1 上 递增 又 x1 x2 所 以 2