博弈论及其应用-课节4.doc

21教案5第二章 完全信息静态博弈教 案 4 教学题目：（第二章 完全信息静态博弈，23）学时数2教学目的和要求：理解Nash均衡的表达。掌握Nash均衡的应用。教学基本内容：基本方法：理解Nash均衡的表达。掌握Nash均衡的应用。教学重点与难点：重点在于Nash均衡的应用；难点在于例2.6的讨论。教学过程：1 课前复习理解博弈均衡的概念。2 讲授新课：2.2 Nash均衡我们再以囚徒困境为例讨论如下：囚徒B坦白囚徒B抗拒囚徒A坦白-6，-60，-10囚徒A抗拒-10，0-1，-1显然，不论囚徒A选择坦白还是抗拒，囚徒B的最优策略都是坦白；不论囚徒B选择坦白还是抗拒，囚徒A的最优策略都是坦白；由收益函数：（抗拒，坦白）10； （坦白，坦白）6；（抗拒，抗拒）1； （坦白，抗拒）0 。（抗拒，坦白）0； （坦白，坦白）6；（抗拒，抗拒）1；（坦白，抗拒）10 。（坦白， ） （抗拒, ）;（ , 坦白） （ , 抗拒）;这时，“坦白”策略就成为囚徒A,B的严格优策略，如果一个博弈中的所有局中人都存在严格优策略，那么由这些严格优策略组成的局势，就是该博弈的惟一均衡解。在囚徒困境中的囚徒A,B的严格优策略“坦白”组成的局势（坦白，坦白）就是该博弈的惟一均衡解。记 ，则局势。定义 22 （严格优策略）在n人博弈中，除局中人外，其余n1个局中人的所有可能的局势，局中人存在着一个自己的策略，使得对一切的，有,则称是局中人的严格优策略。囚徒A,B在囚徒困境中都有自己的严格优策略“坦白”，组成的局势（坦白，坦白）为该博弈的惟一均衡解。这种现象是一般规律吗？命题 21 在n人博弈中，如果每一个局中人都有自己的严格优策略，那么，n个局中人每人的严格优策略组成的局势是博弈的惟一均衡解, 并称为严格优策略均衡局势或严格优策略均衡解。证明：由以上的讨论，n个局中人的严格优策略组成的局势是博弈的一个均衡解。如果博弈有两个均衡解，则至少有一个局中人有两个严格优策略, 设, .因为是局中人的严格优策略, 所以(1) ; 又因为也是局中人的严格优策略, 所以(2) .结合(1) (2) 两式有:,此为矛盾. 因此, . 从而, , 即解是唯一的. 定义 24 （优策略）在n人博弈中，除局中人外，其余n1个局中人的所有可能的局势，局中人存在着一个自己的策略，使得对一切的，有,并且, 局中人至少存在着一个自己的策略，使得,则称是局中人的优策略。显然, 严格优策略一定是优策略.但在许多情况下，不要说严格优策略，就是优策略都未必存在！我们以例 2-1(猎鹿博弈)为例讨论如下:猎人B-猎鹿猎人B-猎兔猎人A-猎鹿10, 100, 1 猎人A-猎兔1, 01, 1由收益函数：（猎鹿，猎鹿）10； （猎兔，猎鹿）1；（猎鹿，猎兔）0； （猎兔，猎兔）1 。（猎鹿，猎鹿）10； （猎兔，猎鹿）1；（猎鹿，猎兔）0； (猎兔，猎兔）1 。但是，（猎鹿，）（猎兔，）不成立，因为 （猎鹿，猎鹿）10 （猎兔，猎鹿）1；（猎鹿，猎兔）0 （猎兔，）成立，因为 （猎鹿，猎鹿）10 （猎兔，猎鹿）1； （猎鹿，猎兔）1 （猎兔，猎兔）=0；因此，猎人A有严格劣策略“猎兔”；同理，猎人B也有严格劣策略“猎兔”。我们在上述基本式中剔除严格劣策略，我们就只剩下一个均衡解：猎人B-猎鹿 猎人A-猎鹿10, 10我们为什么要割资本主义的尾巴？智猪博弈产生了， 我的经历：猎鹿博弈 智猪博弈 囚徒困境例 2-2 斗鸡博弈首先, 依据情景描述写出博弈的基本式:再列出博弈双方的收益矩阵(双矩阵)飞车党党徒B让飞车党党徒B撞飞车党党徒A让10 1010 10飞车党党徒A撞10 10 最后, 用相对优势策略的划线法求解:飞车党党徒B让飞车党党徒B撞飞车党党徒A让10 1010 10飞车党党徒A撞10 10 博弈解的第一组值为（10, +10）（双值），对应博弈的解为（让，撞）;博弈解的第二组值为（+10, 10）（双值），对应博弈的解为（撞, 让），它们都是Nash均衡, 即此博弈有2个解, 或两个均衡点。例 2-3 双寡头垄断博弈(Cournot 模型(1838年)首先, 依据情景描述写出博弈的基本式；再列出博弈双方的收益矩阵(双矩阵)企业乙-定高价企业乙-定低价企业甲-定高价1000, 1000500, 1500企业甲-定低价1500, 500700, 700最后, 用相对优势策略的划线法求解:企业乙-定高价企业乙-定低价企业甲-定高价1000, 1000500, 1500企业甲-定低价1500, 500700, 700博弈的值为（700, 700）（双值），对应博弈的解为（低价，低价）;它是Nash均衡。思考: 它与哪一个博弈是一致的？例 24 (双人抬物)博弈的基本式为:局中人的集合；策略空间出力，不出力出力，不出力；收益函数：（出力，出力）， （出力，出力）， （出力，不出力）， （出力，不出力），（不出力，出力）， （出力，不出力），（不出力，不出力）。 （不出力，不出力）。容易看出局中人1的偏好序为： （不出力，出力）（出力，出力）（不出力，不出力）（出力，不出力）；容易看出局中人2的偏好序为： （出力，不出力）（出力，出力）（不出力，不出力）（不出力，出力）；显然，两局中人均有（不出力，）（出力，），（不出力，）（出力，）；即，选择“不出力”是两局中人的严格优策略，因此，惟一的Nash均衡为（不出力，不出力），博弈的值为（0, 0）。我们还可以用划线法解决：局中人2出力局中人2不出力局中人1出力，局中人1不出力，0， 0讨论：1. 例 25 (双人抬物)和哪一个博弈一致？2. 关于道德风险；3. 如何从技术上改变这种情况？ 例 26(双虎争猎物)博弈的基本式为:局中人的集合；策略空间坚持，放弃坚持，放弃；收益函数：（坚持，坚持）（坚持，坚持）， （坚持，放弃）（放弃，坚持），（放弃，坚持）（坚持，放弃），（放弃， 放弃）（放弃， 放弃）。容易看出两老虎没有严格优策略，我们还是用划线法解决：老虎B坚持老虎B放弃老虎A坚持，0 老虎A放弃0，0， 0因此，Nash均衡为（坚持，放弃）和（放弃， 坚持），博弈的值分别为（, 0）和（0，）。讨论：1. 例 210和哪一个博弈一致？2. 现实中有何意义？ 例 27(情侣分歧)博弈的基本式为:局中人的集合；策略空间古典音乐，流行音乐古典音乐，流行音乐。收益函数用矩阵表示为：乙古典音乐乙流行音乐甲古典音乐， 0， 0甲流行音乐0， 0， ，用划线法解决：乙古典音乐乙流行音乐甲古典音乐， 0， 0甲流行音乐0， 0， 因此，Nash均衡为（古典音乐，古典音乐）和（流行音乐，流行音乐），博弈的值分别为（， ）和（， ），（）。讨论：1. 例 27和哪一个博弈一致？2. 协调型博弈在现实中有何意义？ （总收益高）例 28 (公共产品的提供集资建桥)博弈的基本式为:局中人的集合；策略空间出资，不出资出资，不出资；收益函数根据参加出资的人数有不同的情况：1) 出资人数（人人出资才能建桥）（出资，出资）， 出资居民的收益（至少有一个人不出资）， 不出资居民的收益（至少有一个人不出资）。我们简化问题为两个局中人的情况：局中人出资局中人不出资局中人出资， ，0局中人不出资0， 0， 0因此，Nash均衡为（出资，出资）和（不出资，不出资）。2) 出资人数如果恰有个居民出资而个居民不出资。有2种情况，讨论如下：如果已经有个居民出资而个居民不出资，局中人将选择出资：个局中人出资，个局中人不出资局中人出资 局中人不出资0如果已经有个居民出资而个居民不出资个局中人出资，个局中人不出资局中人出资 局中人不出资Nash均衡出现了：（个居民出资，个居民不出资）；根据组合的知识，这样的均衡共有种。如果已经有个居民出资，那么局中人的选择是不出资，因为个局中人出资局中人出资 局中人不出资0由于每一个局中人面对（）个局中人出资时，必选择不出资，因此，Nash均衡为（不出资，不出资）。对（）个居民出资，局中人的选择是不出资，因为（）个局中人出资局中人出资 局中人不出资Nash均衡出现了：（个居民出资，个居民不出资）；综上所述，这样的均衡共有2种。讨论：1.通过例 27，谈谈集资建设和公共产品如何摊派和收取集资款？例 28 (经济学著名例子：公共地悲剧)n个牧民共同拥有一片草地，每年，他们在这片草地上放牧养羊。设牧民放牧的羊为只，则全体牧民养羊 ，照看一只羊的平均成本为c ，当草地上有只羊时，牧民养每只羊的价值为。假设使草地上草的生长和羊群达到平衡的羊的只数为，如果羊的数量超过了，必将使草地的生态受到损害，从而使整个羊群不能吃饱，使羊的价值下降（此地将自变量看作连续变量），这就可以用数学语言来表达为（） .公共地悲剧博弈 的基本式为:局中人的集合；策略空间；收益函数：博弈问题：每一个牧民如何确定自己羊群的数量，以获得自己的最大收益(仅仅考虑个人利益的最大化)？根据微积分的知识，这需要去求n元函数的极值, 而方法是先求n个变量的偏导数： .再令（），当为已知函数时，由以上n个方程，可以解出n个数，则得到Nash均衡局势。记 。我们以为例，有个方程构成的方程组：解出为简单起见，我们进一步假设这n个牧民的基本情况相同，因此，我们不妨设则n个收益函数成为，于是据（）式，那么，为什么称作公共地悲剧呢？这n个牧民的总收益函数是(3) .这n个牧民在Nash均衡下的总收益是（4） .如果这块草地是由政府管理的，专家认定最佳的放牧量是, 即是使得收益最优的值，即(5) ，或对一切的总收益.根据极值的必要条件应当有（边际收益边际成本）。从（3）式推得代入有: .令我们首先有所以函数是递减的，其次我们得到,即.牧民在均衡处的羊多于专家设定的羊的最佳数量，又由于是使得收益函数取得最大值的点，有： .公共地悲剧指出: 如果每个牧民仅仅考虑个人利益的最大化, 那么, 在Nash均衡处, 羊群的数量大, 但不如羊群为的收益, 而且, 草地将退化, 所以, 生产应当是有组织的, 公共资源应当科学地开发. 怎么组织, 学问很深!公共地悲剧(P. 87)公共卫生国家资源例 2-9(密封式二级价格拍卖) 密封式二级价格拍卖规则介绍分析 局中人的集合：; 策略集: ，策略空间：； 局势: 是一个无限集。 收益函数: 。表示为局中人12。n标的物价值。竞拍报价。收益。为讨论方便，除第个局中人的报价外，把其余的个局中人报价的最大值记作我们讨论如下： 这8种情况归纳起来就是3种情况下有非负收益： 。由于是由局中人在报价前主观决定的，不是由局中人决定的，所以局中人的报价即可，是局中人的严格优策略。每一个局中人都有这样的严格优策略，由这些策略构成的局势是此博弈的均衡解，其值为，即，每个局中人都把自己的标的物价值作为自己的竞拍报价。通过许多的例子，我们可以得到结论：企图通过严格优策略来获取博弈均衡解的情况是不多见的。下面，我们比较严格的来叙述Nash均衡的概念：在一个n个局中人的博弈中，如果局势是博弈的一个均衡的话，对任意的一个局中人，当其面对其余n1个局中人的策略时，他在均衡中的策略选择一定是最优的（最优的意思是：如果他想改变在均衡中的策略选择，则其收益必将下降）。定义2 (Nash均衡的数学定义)局势是博弈的一个Nash