15、同余法解题.doc

第十五讲 同余法解题一、知识要点在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，5224=24，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1、 同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：3744(mod7),“”读作同余。一般地，两个整数A和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：AB(modM)2、同余的性质（1）AA(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若AB(modM)，那么BA(modM)（这称作同余的对称性）（3）若AB(modM)，BC(modM)，则AC(modM)（这称为同余的传递性）（4）若AB(modM)，CD(modM)，则ACBD(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则ACBD(modM)（称为同余的可乘性）（5）若AB(modM)，则AB (modM)，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果AB(modM),那么M(AB)（AB的差一定能被M整除）,这是为什么呢？3、同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。4）、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。二、精典例题例1：有8只盒子，每只盒子内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17、23、33、36、38、42、49、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍，钢笔的支数是铅笔支数的，只有一只盒子里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？【解析】“钢笔的支数是铅笔支数的”可换为“铅笔的支数是钢笔的支数的3倍”，那么圆珠笔、铅笔、钢笔的总和一定是6的倍数，8盒一共有289支，因为2896481，所以水彩笔的支数除以6一定余1，故只能是49支。例2、 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a(412133),a(412257),a(257133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。(155,124,279)=31,所以a最大是31。例3、 249388234除以19，余数是几？【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。因为2492（mdo19）, 3888（mdo19）,2346（mdo19）, 所以2493882342861（mdo19）此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。例4、 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？【解析】这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？ 则 所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。三、练习题1. 求下列算式中的余数。 （1） （2）（3）（4）2. 6254与37的积除以7，余数是几？3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？4、300、262、205被同一个整数除，得到相同的余数，这个整数是几？5、一个自然数被247除余 63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。6、一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N