10-第十讲 正交阵与特征值问题(窄)1.doc

第十讲 正交阵、特征值问题教学目的：1. 介绍正交阵和正交变换；2. 介绍方阵的特征值与特征向量：概念、算法、性质。务使学生熟练掌握！教学内容：第五章： 5.2 三、正交阵与正交变换；第六章： 6.1 特征值与特征向量。教案提纲：l 首先回顾上一讲：内积与基本度量；正交组与正交化；正交基；第五章： 5.2，三、正交阵与正交变换： 1. 正交阵：定义5.12 （比较：对称阵、可逆阵、向量的内积、单位向量，注意区别）；定义5.12 设矩阵, 若有，则称为正交阵。l 定义也可以是。 2. 正交阵的性质：定理5.5，特别是（4）；定理5.5 正交阵有以下性质： （1）正交阵可逆，其逆阵即其转置，且仍为正交阵； （2）正交阵的行列式为； （3）正交阵之积仍为正交阵； （4）阶正交阵的行（列）向量组构成的正交规范基。 3. 正交变换：定义5.13（简介正交变换的性质）。（暂略，见附录）。l 阶段性习题：p.126: 4, 5, 9, 10, 13。第六章： 6.1 特征值与特征向量：一、特征值与特征向量： 1. 概念：定义6.1 设是阶方阵，若有数和非零列向量，满足等式 ， （6.1）则称为的一个特征值，为的属于特征值的一个特征向量。 2. 求法：特征多项式（特征方程）特征根（特征值）特征向量（特征子空间）。算法原理：将定义式（6.1）写成， （6.2）这是关于的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式为零，即 （6.3）即 （6.4） (6.4) 的左端展开是一个关于的次多项式，称为的特征多项式，记作，(6.4)式即是，是关于的次方程，称为的特征方程。据代数基本定理，这个方程在复数域上有且仅有个根，称为特征根，记作，它们就是所求的矩阵的特征值。由此可知：阶方阵有且仅有个特征值。将这些特征值逐一代入齐次方程（6.2），解出的所有非零解向量，就是属于各特征值的全部特征向量。具体说，对任一特征值，解齐次方程组 ， （6.5）称为特征方程组，所有的非零解都是属于的特征向量。例 6.1 求的特征值和特征向量。解 的特征多项式，于是解得的特征值为：。下面分别求特征向量：对于，解齐次方程组，即得基础解系，因此属于的全部特征向量为。对于，解齐次方程组，即，得基础解系，因此属于的全部特征向量为。例 6.2 求 的全部特征值和特征向量。解 的特征多项式为 ，所以的特征值为（二重根）。：解，由，得基础解系，则属于的所有特征向量为。：解，由得基础解系，则属于的全部特征向量为（不全为零）。让学生当堂练习（p.146，6-1(3)）。二、特征值和特征向量的性质：1.韦达定理：定理6.1；（引入矩阵的迹）；定理6.1 若的特征值为，则有：（1）； （6.6）（2）。 根据多项式的根与系数的关系（即韦达定理）即可导出上述结论（详细证明可参见所附文献9，p.216）。式中的，称为的迹（trace），定义为的主对角元素之和。2.特征子空间：（同一特征值定理6.2 设是的任一特征值，若都是属于的特征向量，则的任意非零线性组合仍是属于的特征向量。3.属于不同特征值的特征向量线性无关：定理6.3；4.属于重特征值的特征子空间至多维：讲述结论，不证明，只举例；“代数重数”与“几何重数”5.特征值和特征向量在矩阵运算中的变化：定理6.4 设是方阵的任一特征值，是所属的任一特征向量，则有如下结论：（1），是的特征值，是的属于的特征向量； （2），是的特征值，是的属于的特征向量； （3）若是的多项式，则是的特征值，是的属于的特征向量； （4）若可逆，则，且是的特征值，是的属于的特征向量； （5）若可逆，则是的特征值，是的属于的特征向量； （6）也是的特征值，。（例6.3及一个补例）例6.3 设的特征值为1、2、3，证明不可逆。证 易见，一个补例设多项式，而向量是的属于特征值2的特征向量，试验证仍是的特征向量，并问其相应的特征值是什么？从理论上讲，由定理6.4已有，且容易算出，下面我们来验证这一结果。首先展开行列式：因此 ，于是，可见仍是的特征向