2.121212函数的极限.doc

2.3函数的极限教学目标：1.使学生掌握当时函数的极限； 2.了解的充分必要条件是.教学重点：掌握当时函数的极限.教学难点：对“时，当时函数的极限的概念”的理解.教学过程： 数列的项可以看作的函数，即，.对于一般的函数，自变量的取值并不一定是正整数.下面我们讨论一般函数的极限.1当时，函数的极限Oyx （1） 画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作：.当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就是当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作，也可记作：当+时，. （2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作：当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，就说当趋向竽负无穷大时，函数的极限是，记作，也可记作当x-时，. （3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作.如果，且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作，也可记作：当，. 上述的等价说法是:当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：.也可以记作，当时，.特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即 .当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就是当x趋向于正无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作，也可记作：当x+时，f（x）a.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就说当x趋向竽负无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作，也可记作当x-时，f（x）a.如果，且，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作，也可记作：当x，f（x）a.说明（）上述定义是描述性的定义，严格的定量的-N定义将在高等数学中学习.（）存在，意味着与都存在，且两者相等，即既有+，又有-之意.（）函数y=f（x）的极限a仅与函数f（x）在点附近的函数值的变化有关，而与函数f（x）在点的值无关.（）常值函数的极限.例1 分别就自变量趋向于+和-的情况，讨论下列函数的变化趋势： （1） （2） （3） 解 （1）当时，无限趋向于0，即；当时，无限趋向于.(2) 当时，无限趋向于；当时，无限趋向于0，即.(3) 当时，的值保持为1,即;当时，的值保持为-1.2当时，函数的极限就问题（3）展开讨论：函数当无限趋近于2时的变化趋势当从左侧趋近于2时（）1.11.31.51.71.91.991.9991.99992y=x21.21当从右侧趋近于2时（）2.92.72.52.32.12.012.0012.00012y=x28.41.7.2912OXYHY1。发现.我们再继续看。当无限趋近于1（）时的变化趋势；函数的极限的概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作.也可记作当时, .也可叫做函数在点处的极限.特别地，设为常数,则；.说明（）上述定义是描述性定义，严格的定量的-N定义将在高等数学中学习.（）定义中x无限趋近于，不包含，有两层涵义：一是点可不属于函数的定义域；二是虽然点属于函数的定义域，但函数的极限与函数值无关.（）是双侧极限，即x可从大于和小于两个方向无限趋近于.例2 当时,写出下列函数的极限:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .解 (1) .(2) .(3) .(4) 是常数函数,函数值始终等于常数5.由函数极限的定义,容易得出.3函数的左、右极限对于极限表达式中的,应理解为可以用任何方式无限趋近于,即可以从表示的左边无限趋近于,也可以从表示的右边无限趋近于, 还可以从表示的点的两侧交错地无限趋近于,只要,就有.如果当x从点x=x0左侧（即xx0）无限趋近于x0，函数无限趋近于常数a，就说a是函数在点x0处的左极限，记作.如果当x从点x=x0右侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数在点x0处的右极限，记作.函数极限与左、右极限的关系:.这是函数极限存在的一个充要条件.四小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。五练习及作业：1对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于1时的变化趋势，说出当时函数的极限0.10.90.990.9990.99990.999991y=2X11.51.11.011.0011.00011.000011y=2X12对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于3时的变化趋势，说出当时函数的极限2.92.992.9992.99992.999992.9999993y=X213.13.013.0013.00013.000013.0000013y=X213 （）.函数，极限定义的区别和联系，讨论变量极限的定义具体如下表变化方式自变量的变化趋势函数值的变化趋势极限表示从数值上看从数轴上看从图象表格上看从上看取正值且无限增大单方向向右无限增大无限趋近于常数差式无限趋近于0 取负值且绝对值无限增大单方向向左绝对值无限增大无限趋近于常数差式无限趋近于0 取正值且无限增大取负值且绝对值无限增大双方向向右无限增大和向左绝对值无限增大无限趋近于常数差式无